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中考里的“一元二次方程”

2017-09-23 02:02:37諸廣平
初中生世界 2017年35期
關鍵詞:方法

諸廣平

中考里的“一元二次方程”

諸廣平

考點一:一元二次方程根的定義

例1(2016·雅安)已知關于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一個實數根為2,則另一實數根及m的值分別為().

A.4,-2B.-4,-2C.4,2D.-4,2

【分析】由題意,方程有一個實數根為2,根據根的定義,當x=2時,方程左右兩邊相等.因此只需要將2代入原方程,即可求得m的值,另一實數根自然也可以輕松求得.

解:把x=2代入原方程得:4+2m-8=0,因此m=2.原方程即為x2+2x-8=0,求得另一根為-4,因此選D.

考點二:判別一元二次方程根的情況

例2(2016·自貢)已知關于x的一元二次方程x2+2x-(m-2)=0有實數根,則m的取值范圍是().

A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤1

【分析】根據關于x的一元二次方程x2+2x-(m-2)=0有實數根,可知Δ≥0,從而可以求得m的取值范圍.

解:由題意得Δ=b2-4ac=22-4×1×[-(m-2)]≥0,m≥1,選C.

例3(2016·莆田)關于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情況是().

A.無實數根

B.有一個實數根

C.有兩個相等的實數根

D.有兩個不相等的實數根

【分析】先計算判別式的值,然后判斷方程根的情況.

解:∵Δ=a2+4>0,故選D.

考點三:根與系數的關系

例4(2016·威海)已知x1,x2是關于x的方程x2+ax-2b=0的兩實數根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,則ba的值是().

解:∵x1+x2=-a=-2,x1·x2=-2b=1,解得a=2,b=.故選A.

例5(2016·煙臺)x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的兩根,則x12-x1+x2的值為().

A.-1B.0C.2D.3

【分析】由根與系數的關系得x1+x2=2,x1·x2=-1,將代數式x12-x1+x2變形為x12-2x1-1+x1+1+x2,其中x12-2x1-1的值根據根的定義可得其值為0,再代入數據即可得出結論.

∴x12-x1+x2=x12-2x1-1+x1+1+x2

=1+x1+x2=1+2=3.故選D.

考點四:一元二次方程的解法

例6(2013·廣州)解方程:x2-10x+9=0.

【分析】解一元二次方程通常有四種方法,即直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法.只要方程有實數根,配方法和求根公式法都是可以的,但要根據具體的方程選擇合適的方法才不會讓解方程變得很麻煩.直接開平方法和因式分解法適合特殊形式的方程,解起來簡捷輕松.因此,本題可以運用配方法、求根公式法和因式分解法三種方法求解.

解:方法一(配方法):配方得(x-5)2=16,解得,x1=1,x2=9.

方法二(求根公式法):因為Δ=100-36= 64>0.由求根公式解得,x1=1,x2=9.

方法三(因式分解法):(x-1)(x-9)=0,解得,x1=1,x2=9.

考點五:一元二次方程的應用

例7(2016·臺州)有x支球隊參加籃球比賽,共比賽了45場,每兩隊之間都比賽一場,則下列方程中符合題意的是().

【分析】先列出x支籃球隊,每兩隊之間都比賽一場,共可以比賽x(x-1)場,再根據題意列出方程為x(x-1)=45.故選A.

例8(2014·畢節)某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次.第1檔次(最低檔次)的產品一天能生產95件,每件利潤6元.每提高一個檔次,每件利潤增加2元,但一天產量減少5件.

(1)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元(其中x為正整數,且1≤x≤10),求出y關于x的函數關系式;

(2)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元,求該產品的質量檔次.

【分析】列方程解應用題的一般步驟如下:(1)審題:讀題,明確哪些是已知量,哪些是未知量,以及它們之間的關系;(2)設元:就是設未知數,根據題意,選擇適當的未知量,并用字母表示出來,設元又分直接設元和間接設元;(3)列方程:根據題目中給出的等量關系,列出符合題意的方程;(4)解方程:求出所列方程的解;(5)檢驗:檢驗未知數的值是否符合題意,特別在檢驗時,對一元二次方程的兩個根一方面要結合生活實際檢驗,另一方面要結合具體的問題檢驗;(6)寫出答案.

解:(1)y=[6+2(x-1)]×[95-5(x-1)],整理,得y=-10x2+180x+400.

(2)由-10x2+180x+400=1120,化簡,得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不合題意,舍去).所以,該產品為第6檔次的產品.

例9(2013·重慶)“4·20”雅安地震后,某商家為支援災區人民,計劃捐贈帳篷16800頂,該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運送,計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂,大、小貨車每天均運送一次,兩天恰好運完.

(1)求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂?

(2)因地震導致路基受損,實際運送過程中,每輛大貨車每次比原計劃少運200m頂,每輛小貨車每次比原計劃少運300頂.為了盡快將帳篷運送到災區,大貨車每天比原計劃多跑m次,小貨車每天比原計劃多跑m次,一天剛好運送了帳篷14400頂,求m的值.

【分析】(1)把握兩個等量關系,一是“大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂”,二是“大、小貨車兩天恰好運完16800頂”,利用這兩個等量關系可設一元(或二元)建立一元一次方程(或二元一次方程組)解答;(2)在第(1)小題所得數據的基礎上,一方面需用常數或含m的式子表示大、小貨車每次的運輸量和實際每天的運輸次數,另一方面,需抓住“2輛大貨車和8輛小貨車一天共運送帳篷14400頂”這個等量關系式解答.

解:(1)設小貨車原計劃每輛每次運送帳篷x頂,則大貨車原計劃每輛每次運送帳篷(x+200)頂,根據題意,得

2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800.

x+200=800+200=1000.

答:大、小貨車原計劃每輛每次分別運送帳篷1000頂、800頂.

(2)根據題意,得

2(1000-200m)+8(800-300)(1+m)=14400,

化簡為m2-23m+42=0,

解得m1=2,m2=21.

∵1000-200m不能為負數,且m為整數,∴m2=21不符合實際,舍去,故m的值為2.

(作者單位:江蘇省無錫市張涇中學)

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