中考里的“一元二次方程”

諸廣平

中考里的“一元二次方程”

諸廣平

考點一：一元二次方程根的定義

例1（2016·雅安）已知關于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一個實數根為2，則另一實數根及m的值分別為（）.

A.4，-2B.-4，-2C.4，2D.-4，2

【分析】由題意，方程有一個實數根為2，根據根的定義，當x=2時，方程左右兩邊相等.因此只需要將2代入原方程，即可求得m的值，另一實數根自然也可以輕松求得.

解：把x=2代入原方程得：4+2m-8=0，因此m=2.原方程即為x2+2x-8=0，求得另一根為-4，因此選D.

考點二：判別一元二次方程根的情況

例2（2016·自貢）已知關于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有實數根，則m的取值范圍是（）.

A.m＞1B.m＜1C.m≥1D.m≤1

【分析】根據關于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有實數根，可知Δ≥0，從而可以求得m的取值范圍.

解：由題意得Δ=b2-4ac=22-4×1×［-（m-2）］≥0，m≥1，選C.

例3（2016·莆田）關于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情況是（）.

A.無實數根

B.有一個實數根

C.有兩個相等的實數根

D.有兩個不相等的實數根

【分析】先計算判別式的值，然后判斷方程根的情況.

解：∵Δ=a2+4＞0，故選D.

考點三：根與系數的關系

例4（2016·威海）已知x1，x2是關于x的方程x2+ax-2b=0的兩實數根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，則ba的值是（）.

解：∵x1+x2=-a=-2，x1·x2=-2b=1，解得a=2，b=.故選A.

例5（2016·煙臺）x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的兩根，則x12-x1+x2的值為（）.

A.-1B.0C.2D.3

【分析】由根與系數的關系得x1+x2=2，x1·x2=-1，將代數式x12-x1+x2變形為x12-2x1-1+x1+1+x2，其中x12-2x1-1的值根據根的定義可得其值為0，再代入數據即可得出結論.

∴x12-x1+x2=x12-2x1-1+x1+1+x2

=1+x1+x2=1+2=3.故選D.

考點四：一元二次方程的解法

例6（2013·廣州）解方程：x2-10x+9=0.

【分析】解一元二次方程通常有四種方法，即直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法.只要方程有實數根，配方法和求根公式法都是可以的，但要根據具體的方程選擇合適的方法才不會讓解方程變得很麻煩.直接開平方法和因式分解法適合特殊形式的方程，解起來簡捷輕松.因此，本題可以運用配方法、求根公式法和因式分解法三種方法求解.

解：方法一（配方法）：配方得（x-5）2=16，解得，x1=1，x2=9.

方法二（求根公式法）：因為Δ=100-36= 64＞0.由求根公式解得，x1=1，x2=9.

方法三（因式分解法）：（x-1）（x-9）=0，解得，x1=1，x2=9.

考點五：一元二次方程的應用

例7（2016·臺州）有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）.

【分析】先列出x支籃球隊，每兩隊之間都比賽一場，共可以比賽x（x-1）場，再根據題意列出方程為x（x-1）=45.故選A.

例8（2014·畢節）某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次.第1檔次（最低檔次）的產品一天能生產95件，每件利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件.

（1）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元（其中x為正整數，且1≤x≤10），求出y關于x的函數關系式；

（2）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元，求該產品的質量檔次.

【分析】列方程解應用題的一般步驟如下：（1）審題：讀題，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系；（2）設元：就是設未知數，根據題意，選擇適當的未知量，并用字母表示出來，設元又分直接設元和間接設元；（3）列方程：根據題目中給出的等量關系，列出符合題意的方程；（4）解方程：求出所列方程的解；（5）檢驗：檢驗未知數的值是否符合題意，特別在檢驗時，對一元二次方程的兩個根一方面要結合生活實際檢驗，另一方面要結合具體的問題檢驗；（6）寫出答案.

解：（1）y=［6+2（x-1)］×［95-5（x-1)］，整理，得y=-10x2+180x+400.

（2）由-10x2+180x+400=1120，化簡，得x2-18x+72=0，解得x1=6，x2=12（不合題意，舍去）.所以，該產品為第6檔次的產品.

例9（2013·重慶）“4·20”雅安地震后，某商家為支援災區人民，計劃捐贈帳篷16800頂，該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運送，計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完.

（1）求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？

（2）因地震導致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運200m頂，每輛小貨車每次比原計劃少運300頂.為了盡快將帳篷運送到災區，大貨車每天比原計劃多跑m次，小貨車每天比原計劃多跑m次，一天剛好運送了帳篷14400頂，求m的值.

【分析】（1）把握兩個等量關系，一是“大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂”，二是“大、小貨車兩天恰好運完16800頂”，利用這兩個等量關系可設一元（或二元）建立一元一次方程（或二元一次方程組）解答；（2）在第（1）小題所得數據的基礎上，一方面需用常數或含m的式子表示大、小貨車每次的運輸量和實際每天的運輸次數，另一方面，需抓住“2輛大貨車和8輛小貨車一天共運送帳篷14400頂”這個等量關系式解答.

解：（1）設小貨車原計劃每輛每次運送帳篷x頂，則大貨車原計劃每輛每次運送帳篷（x+200）頂，根據題意，得

2［8x+2（x+200）］=16800，解得x=800.

x+200=800+200=1000.

答：大、小貨車原計劃每輛每次分別運送帳篷1000頂、800頂.

（2）根據題意，得

2（1000-200m）+8（800-300）（1+m）=14400，

化簡為m2-23m+42=0，

解得m1=2，m2=21.

∵1000-200m不能為負數，且m為整數，∴m2=21不符合實際，舍去，故m的值為2.

（作者單位：江蘇省無錫市張涇中學）