例說“一元二次方程”在中考中的應用

程軍

例說“一元二次方程”在中考中的應用

程軍

一元二次方程是初中數學的重要內容，它與一元一次方程和后繼學習的二次函數關系密切，承上啟下.它應用較多的是解方程、根的判別式、根與系數的關系.而在一元二次方程的應用中，主要有百分率、面積、利潤問題等三大類型，在中考中歷來是熱點.

一、與一元二次方程相關的概念問題

1.一元二次方程和根的判別式.

一元二次方程的一般式為：

ax2+bx+c=0（a≠0），根的判別式為：Δ=b2-4ac.

例1（2016·聊城）如果關于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實根，那么k的取值范圍是_______.

【解題策略】計算根的判別式當然重要，它是一元二次方程特有的“好朋友”，是判別方程有無根的制勝法寶.但同學們別忽視一個大前提，就是首先保證它是一元二次方程，即a≠0.

【解題思路】先觀察二次項系數，令k≠0；再算Δ=9+4k＞0，答案為k＞-且k≠0.

【解后反思】利用根的判別式時一定要保證它是一元二次方程，碰到這類題，先看二次項系數a，再考慮根的判別式，然后考慮其他，思考順序不能錯.

2.一元二次方程和根與系數的關系.

若ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+

例2（2014·煙臺）關于x的方程x2-ax+2a=0的兩個根的平方和是5，則a的值是（）.

A.-1或5B.1C.5D.-1

【解題策略】這類問題，同學們經常只看重兩根和與兩根積這兩個表達式，而忽視了根的判別式，請同學們回上去閱讀根與系數關系的完整表達.

【解題思路】先保證方程有實根，

即Δ≥0，即a2-8a≥0，

再考慮，x1+x2=a，x1·x2=2a，

a2-4a-5=0，a1=5，a2=-1，

后檢驗，a=5不合題意，所以a=-1.

【解后反思】解這類題（根與系數關系）要注重問題的思考順序：①二次項系數a≠0，②Δ的正與負，

二、與一元二次方程相關的應用問題

1.一元二次方程與百分數問題.

例3（2015·長沙）現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高速發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件.現假定該公司每月的投遞總件數的增長率相同：（1）求該快遞公司投遞快遞總件數的月平均增長率；（2）如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業務員？

【解題策略】理解清楚增長率的含義，它必有基數，例如4月份增長率，它的基數就是3月份的快件量10萬，5月份增長率就是相對4月份來說的，基數是4月份的快件數量.當我們清楚題意后，列出代數式，由于是算月平均增長率，故每個月比上月增長的百分數相同，可設這個百分數為x，先列出4月的快件數量，再列出5月的快件數量.

【解題思路】（1）先設月平均增長率為x（或月平均增長的百分數為x），

依題意，4月份快件數量10（1+x），5月份快件數量10（1+x）（1+x），

再列方程10（1+x）2=12.1，解方程并檢驗. x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去）.

（2）6月：按照10%的增長率，6月的快件數量為12.1×（1+10%）=13.31，而21人每月最多的完成量為21×0.6=12.6＜13.31，所以至少還需增加（13.31-12.6）÷0.6≈2（人）.

【解后反思】百分率問題在一元二次方程中的正確運用，關鍵是要弄清楚增長率（下降率）的含義.

一般地，對于平均增長率問題，設原來數量為a，經過兩次增長后數量變為b，若這兩次的平均增長率為x，則b=a（1+x）2，這里的a就是基數；若這兩次的平均下降率為x，則b= a（1-x）2；若經過n次增長后數量變為b，若這n次的平均增長率為x，則b=a（1+x）n.請讀者自己體悟.

2.一元二次方程與面積問題.

例4（2016·包頭）一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖1，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3∶2.設豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2.

（1）求y與x之間的函數關系式；

圖1

圖2

【解題思路】觀察圖形，先表示y與x的函數關系式y=-3x2+54x，再列出方程，-3x2+54x=×20×12，整理，得：x2-18x+32=0，解得：x1=2，x2=16，檢驗，因為當x=16時x=24＞12（不合題意，舍去），再作答.

【解后反思】本題有兩個易錯點，一個是如何表示陰影部分面積，另一個是要檢驗.一般列出一元二次方程后，解出結果有兩個，若出現負數，舍去，但若出現兩個均為正，則應回到題中，檢驗其是否符合題意，根據題情取舍.

3.一元二次方程與利潤問題.

例5（2014·巴中）某商店準備進一批季節性小家電，單價40元.經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個；定價每減少1元，銷售量凈增加10個.因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個，商店若獲利2000元，則應進貨多少個？定價為多少元？

【解題策略】本題有兩問，設銷量好還是設定價好？依據題意，設定價，列出銷量的代數式，是順向思維，例如設每個商品的定價是x元，則銷售量為180-10（x-52）；若設銷量x個，則定價為-40.后者煩瑣.

【解題思路】先設每個商品的定價是x元，列出銷量代數式為180-10（x-52）；再依據題意，列出方程（x-40）［180-10（x-52）］=2000；

再整理，得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60.后檢驗：當x=50時，進貨180-10（50-52）=200（個）＞180（個），不符合題意，舍去；當x=60時，進貨180-10（60-52）=100（個）＜180（個），符合題意.最后作答.

【解后反思】本題是一元二次方程的應用，值得同學們注意的地方有兩個，一是列出定價和銷量的代數式；二是要檢驗，看結果是否符合題意.檢驗是解一元二次方程應用題的必要步驟.

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學）