總結(jié)規(guī)律配方歸類

顏廷亮

總結(jié)規(guī)律配方歸類

顏廷亮

詞典中對(duì)規(guī)律一詞的解釋是：自然界和社會(huì)諸現(xiàn)象之間必然、本質(zhì)、穩(wěn)定和反復(fù)出現(xiàn)的關(guān)系.在數(shù)學(xué)解題方面，往往也會(huì)有必然、本質(zhì)、穩(wěn)定和反復(fù)出現(xiàn)的題型和方法，我們掌握了這樣的規(guī)律，便能對(duì)一類題“一通百通”.

例如學(xué)完“用配方法解一元二次方程”之后，同學(xué)們知道了“配方法”在解方程方面的作用，其實(shí)它的作用可不止這一個(gè)，我們可以按照“配方法”這一方法，對(duì)題型進(jìn)行歸類.

例1用配方法解方程x2+6x+2=0.

變式1將代數(shù)式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式為_______.

解：x2+6x+2

=（x2+6x+9）-7

=（x+3）2-7.

變式2若x2+2xy+2y2-4y+4=0，求x與y的值.

解：由題意知：

x2+2xy+y2+y2-4y+4=0，

∴（x+y）2+（y-2）2=0，

∵（x+y）2≥0，（y-2）2≥0，

∴x+y=0，y-2=0，

求得x=-2，y=2.

【點(diǎn)評(píng)】上述例題都是直接運(yùn)用配方法來解決問題，跟同學(xué)們分享如下經(jīng)驗(yàn)：

1.如果ax2+bx+c是常見的完全平方式，對(duì)其系數(shù)要熟悉，例如a、b、c的取值分別為1，2，1或1，4，4，或1，6，9，或9，6，1等.

2.對(duì)x2+bx型代數(shù)式進(jìn)行添加常數(shù)項(xiàng)配方時(shí)，常數(shù)項(xiàng)等于；若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則先提取二次項(xiàng)系數(shù)，再利用上述規(guī)律配方.

例2求m2+m+4的最小值.

變式1若x為任意實(shí)數(shù)，求-2x2+4x+7的最大值.

解：原式=-2（x2-2x）+7

=-2（x-1）2+9.

當(dāng)x=1時(shí)，原式最大值為9.

變式2某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個(gè)長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成.如圖，設(shè)AB=xm，請(qǐng)問：當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？

解：由題意得花園面積為

x（20-2x）=-2x2+20x

=-2（x-5）2+50，

∵-2（x-5）2+50≤50，

∴原式≤50，當(dāng)x=5時(shí)，原式有最大值50.

答：x取5m時(shí)，花園面積最大為50.

A.M＜NB.M=N

C.M＞ND.不能確定

解：∵N-M=a2-a+1

=（a-）2+，

而（a-）2≥0，則N-M＞0，

∴M＜N，選擇A.

變式4求證：x，y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2-4x-6y+15的值總為正數(shù).

解：原式=（x2-4x+4）+（y2-6y+9）+2

=（x-2）2+（y-3）2+2＞0，

即原式的值總是正數(shù).

變式5求證：無論m取何值，x2+（m-5）x +m-8=0一定有兩個(gè)不同的實(shí)根.

解：Δ=（m-5）2-4（m-8）

=m2-14m+57

=（m-7）2+8，

∵（m-7）2≥0，

∴Δ＞0，原方程一定有兩個(gè)不同的實(shí)根.

變式6閱讀材料：已知x，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，

∴x+y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)，等號(hào)成立.

解決問題：當(dāng)x＞0時(shí)，求y=x++4的最小值.

解：y=x+，所以最小為6.

【點(diǎn)評(píng)】上述例題都是應(yīng)用配方法來解決相關(guān)問題，題目種類雖多，但是萬變不離其宗，跟同學(xué)們分享以下幾點(diǎn)：

1.配方法的應(yīng)用，都涉及二次三項(xiàng)式ax2+ bx+c的最值求解，如求最大值或者最小值.判斷ax2+bx+c的符號(hào)、比較代數(shù)式的大小、應(yīng)用題求最佳方案等.

2.a＞0時(shí)，ax2+bx+c取得最小值，a＜0時(shí)，ax2+bx+c取得最大值，同學(xué)們可以結(jié)合配方法，用a、b、c表示出這個(gè)最值，這對(duì)以后學(xué)習(xí)其他知識(shí)很有幫助.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）