多角度解決一個圓錐曲線問題

吉斌波

【摘要】圓錐曲線是高中數學的必考內容，此類題目學生普遍感到無從下手。文章就一個習題的多角度解法進行了探索，較為透徹地解決了該類型題目。

【關鍵詞】圓錐曲線；判別式法；配方法；三角函數；數形結合

習題：已知、是雙曲線和橢圓的公共焦點，是它們的公共交點且，則雙曲線和橢圓的離心率的倒數之和的最大值為 .

解答：

不妨取點在第一象限，設橢圓的長軸長為，離心率為，雙曲線的實軸長為，離心率為e1，、分別為兩者的左右焦點.設=s，=t，可得，① .由于，由余弦定理易知②，離心率的倒數之和.

方法一：判別式法.由①易得，故由②易得，將看作自變量，則關于的一元二次方程，有，即，解得，所以.等號成立時，即取到最大值.

補充說明：此時，發現兩者互為倒數.此題中使用“主參”互換思想，根據題意合理確定主變量和參變量，以便求得最值.

方法二：配方法.因為，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，則，取到最大值.

補充說明：將求解對象轉化為二次函數，使用二次函數配方法解決最值.

方法三：數形結合.將代入化簡后，根據題目求解目標，兩邊同除以得到，可看作.即，設，則求的最大值即可由的圖象可知，當兩者相切且切點在第一象限時，取到最大值，所以有，在此令，則，因為，所以.

補充說明：采用數形結合的數學思想，利用圖形的幾何意義巧妙求解.

方法四：三角函數.根據方法三整理得到的，可令，，，則，其中，所以.

補充說明：充分利用進行代換以及三角函數自身特性求解最值. 數學解題中形式看似繁瑣，堅持到底，結果簡練精辟！

方法五：柯西不等式.根據方法三整理得到的，構造柯西不等式.即，當且僅當時等號成立.

補充說明：特殊值不等式的使用可以起到事半功倍的效果.

方法六：構造向量.根據方法三整理得到的，構造，因為，所以，即，當且僅當和共線時等號成立，故.

補充說明：向量性質的靈活使用.

方法七：導數.根據方法三整理得到的

，設，代入得.即，設，令，則.當時，；

當時，.所以，當時，取到最大值.

補充說明：導數是求最值的最根本方法.

通過以上解法，不難發現，的大小決定了本題的最終結論.

引申：已知、是雙曲線和橢圓的公共焦點，是它們的公共交點且，則雙曲線和橢圓的離心率的倒數之和的最大值為[其中]，且取最大值時兩者的離心率的乘積為1.

證明：必有解，經化簡即，當且僅當時等號成立，利用求根公式易知即又，，

補充說明：從特殊到一般，又回到了方法一，由也易知當時無最大值.

一道較有深度的習題可以將數學解題思想和解題方法淋漓盡致地展現出來，進而升華到對數學思想的認知，通過細化探究，讓學生在教師的這一探究活動中發現邏輯之美、數學魅力！endprint