高中物理求變力做功幾種常見的方法

丁育強++姚博

【分類號】G633.7

功的計算在中學物理中占有十分重要的地位，中學階段所學的功的計算公式W=FScosa只能用于恒力做功情況，對于變力做功的計算則沒有一個固定公式可用，下面對變力做功問題進行歸納總結如下：

1.等效法

等效法即若某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過計算該恒力的功，求出該變力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa計算，從而使問題變得簡單。

例：如圖，定滑輪至滑塊的高度為h，已知細繩的拉力為F（恒定），滑塊沿水平面由A點前進S至B點，滑塊在初、末位置時細繩與水平方向夾角分別為α和β。求滑塊由A點運動到B點過程中，繩的拉力對滑塊所做的功。

分析與解：設繩對物體的拉力為T，顯然人對繩的拉力F等于T。T在對物體做功的過程中大小雖然不變，但其方向時刻在改變，因此該問題是變力做功的問題。但是在滑輪的質量以及滑輪與繩間的摩擦不計的情況下，人對繩做的功就等于繩的拉力對物體做的功。而拉力F的大小和方向都不變，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接計算。由圖可知，在繩與水平面的夾角由α變到β的過程中，拉力F的作用點的位移大小為：

2.微元法

當物體在變力的作用下作曲線運動時，若力的方向與物體運動的切線方向之間的夾角不變，且力與位移的方向同步變化，可用微元法將曲線分成無限個小元段，每一小元段可認為恒力做功，總功即為各個小元段做功的代數和。

例：如圖所示，某力F=10N作用于半徑R=1m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點的切線方向一致，則轉動一周這個力F做的總功應為：

A、 0J B、20πJ

C 、10J D、20J.

分析與解：把圓周分成無限個小元段，每個小元段可認為與力在同一直線上，

故ΔW=FΔS，則轉一周中各個小元段做功的代數和為W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，

故B正確。

3.平均力法：若參與做功的變力，其僅力的大小改變，而方向不變，且大小隨位移線性變化，則可通過求出變力的平均值等效代入公式 求解.

例：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘的阻力與鐵釘進入木塊內的深度成正比.在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內1cm.問擊第二次時，能擊入多少深度？（設鐵錘每次做功相等）

分析與解析：此題可根據阻力與深度成正比這一特點，將變力求功轉化為求平均阻力的功，進行等效替代.鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比， ，可用平均阻力來代替.

如圖，第一次擊入深度為 ，平均阻力 ，做功為 .

第二次擊入深度為 到 ，平均阻力

位移為 ，做功為

兩次做功相等： .得：

即：

4.運用 求變力做功

涉及到機車的啟動、吊車吊物體等問題，如果在某個過程中保持功率P恒定，隨著機車或物體速度的改變，牽引力也改變，要求該過程中牽引力的功，可以通過 求変力做功。

例：質量為5000Kg的汽車，在平直公路上以60kW的恒定功率從靜止開始啟動，速度達到24 的最大速度后，立即關閉發動機，汽車從啟動到最后停下通過的總位移為1200m.運動過程中汽車所受的阻力不變.求汽車運動的時間.

分析與解析：牽引力是変力，該過程中保持功率P恒定，牽引力的功可以通過 來求。汽車加速運動的時間為 ，由動能定理得：

汽車達到最大速度時，牽引力和阻力大小相等，則 即

可求得汽車加速運動的時間為

關閉油門后，汽車在阻力作用下做勻減速直線運動至停止，由動量定理得：

可求得汽車勻減速運動的時間為

則汽車運動的時間為：t=t1+t2=50s+48s=98s

5.運用動能定理求變力做功

動能定理的表述：合外力對物體做功等于物體的動能的改變，或外力對物體做功的代數和等于物體動能的改變。對于一個物體在某個過程中的初動能和末動能可求，該過程其它力做功可求，那么該過程中変力做功可求。運用動能定理求變力做功關鍵是了解哪些外力做功以及確定物體運動的初動能和末動能。

例：如圖所示，原來質量為m的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力

F將小球緩慢地拉到細線與豎直方向成θ角的位置的過程中，拉力F做功為（ ）

A. B.

C. D.

分析與解析：很多同學會錯選B，原因是沒有分析運動過程，對W=FLcosθ來求功的適用范圍搞錯，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運動過程是緩慢的，因而任一時刻都可看作是平衡狀態，因此F的大小不斷變大，F做的功是變力功，小球上升過程中只有重力和拉力做功，而整個過程的動能改變為零，可用動能定理求解：

所以 ，故D正確。

6.運用F-S圖像中的面積求變力做功

某些求変力做功的問題，如果能夠畫出変力F與位移S的圖像，則F-S圖像中與S軸所圍的面積表示該過程中変力F做的功。運用F-S圖像中的面積求變力做功的關鍵是先表示出変力F與位移S的函數關系，再在畫出F-S圖像。

例：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設阻力與釘子進入木板的深度成正比，每次擊釘時錘子對釘子做的功相同，已知第一次擊后釘子進入木板1cm，則第二次擊釘子進入木板的深度為多少？

分析與解析：鐵錘每次做功都是用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F=kx，以F為縱坐標，F方向上的位移x為橫坐標，作出F-x圖象，如圖，函數線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有：S1=S2（面積） 即：

kx12= k（x2+x1）（x2-x1）

得

所以第二次擊釘子進入木板的深度為：

求変力做功的方法很多，上述不同方法各有優點，同一道題目可用的方法不止一種，比如用平均值法的問題，必可用圖像法解決，用動能定理求解的問題亦可用功能關系解決等等。總之，要正確快速的求解変力做功問題，需要掌握求解変力做功的基本方法，并將這些方法融會貫通，做到舉一反三。endprint