整體化思維在數學解題中的應用

李修前

關鍵詞：整體化；思維方法；數學；解題應用

【中圖分類號】G633.6

1. 引言

整體思想是系統論的基本原理之一。一道數學題目就能構成一個系統，就是一個整體，對于一個整體的處理，就需要一個整體化的思想方法。事實上，任何一個個題目的每個條件都構成有機的整體，各個條件之間的互相利用是解決數學問題的必要前提。

在以往的解數學題的過程中，我們過分地講究步步為營，各個擊破的邏輯思維，將數學題分解成為了一個個我們能解決的問題，分解成為以往能夠解決的題目類型，從而忽略了整體化的思維方法。

2.整體化思維

整體化思維是指抓住整體的信息，全面地考慮數學問題，把數學題整體對待，從整體的角度來思考、分析問題的一種思維模式。對于某些數學問題，應該仔細分析這個數學問題的整體結構，而不是只看到了一些局部的條件，通過全面地思考、觀察，從宏觀的角度去認識、分析、理解并解決問題。認真挖掘已知的信息在這個整體中的作用和地位，從而找到解決數學問題的思路和方法。

3. 培養整體化思維的意義

3.1 有利于數學直覺思維的發展

一般的情況下，在解決數學問題的時候，講究的是精確，一絲不茍，步步為營，并且，反對猜測。這種情況下，很大程度地會把學生的數學直覺能力、創新能力給扼殺，從而變成簡單機械的去解決數學問題。

實際上，在解決數學問題時，不僅要去猜想，還要大膽猜想，小心求證。這種猜想，需要的就是數學直覺，而整體化思維作為一種獨特的思維方法，它就有利于培養學生的數學直覺能力。

數學直覺能力的兩個重要特點是：一、把握數學題目的整體性；二、洞察數學題目的深刻性。數學直覺能力的產生在于對該數學題目相關的基礎知識和結構的深刻了解，具體表現為在解決數學問題時的突然頓悟，因此，會出現忽視某些細節和跳過一些中間步驟過程，并且能夠從整體的角度來直接把握問題的關鍵的現象。

3.2 有利于辯證思維能力的形成

數學中的各種思維方法體現了哲學中的各種思想，如果將哲學中的思想運用到數學當中來，這將對我們去了解數學問題的本質有著巨大的幫助，尤其是對理解掌握數學中的思維方法有著深刻的影響，從而提高解決數學問題的能力。

數學問題中普遍存在著哲學中的辯證唯物主義的觀點，最常見的包括問題的對立統一規律，運動的變化規律，問題的相互聯系與相互轉化的規律，矛盾的轉化，部分與整體的辯證思想。而整體化的思維方法強調的就是“始終把所研究的數學問題作為一個整體來對待”，這正是對立統一規律的體現，把數學問題當做一個矛盾體，從問題中的普遍發展聯系、運動變化的角度來思考、觀察并分析問題，從而找到解決數學問題的答案，這之間，無形中培養了辯證思維的能力。

4. 整體化思維在解題中的應用

4.1 整體代入

在遇到一些特殊的數學問題時，每個個體的求解比較繁瑣，甚至會出現個體無法求解出來的現象，這個時候通?？梢园涯承┙M合式子看做一個整體，并把這個整體直接代入另一個式子，這樣就可以避免繁瑣的計算，避免無解的現象，這種解題方法就是整體化的思維方法中的整體代入法。

例1 假設方程 的根為 。試求出 的值。

分析 這道題可以求解出方程的根 的具體值，但是這樣求解會得出兩個帶根號的數值。再將 的值帶入后面的式子將會出現含有根式的高次式，對于初高中的學生來說，解題將會變得非常繁瑣。而換個角度，用整體代入的方法將使得問題變得簡單。

4.2 整體把握

在數學中的數字不僅跟這個數字本身的大小有關，也和數字所在的位置有很大的關系，正是因為這個原因，使得數學中會出現這樣一類涉及數字所在的位置相關的題目，而這類問題用普通的計算難以求出結果，這個時候就可以把問題中需要求式的值或者一些式子的組合當做為一個“字母”，這樣就把這個問題轉化為對這個“字母”的計算，而這樣往往會得到意想不到的效果，這就是整體化的思維方法中的整體把握。

例2 有一個六位數，如果將它的末位上的數字移動到首位，這樣得到的新數字是原來數字的5倍，試求出這個六位數字是說多少。

分析 按常規的計算方法，這道題難以下手，但是從整體把握，將末位上的數字單列出來，而其它的數字當做整體，這樣問題就可以獲得一定的簡化效果。

解 設這個六位數中的前面五位數為 ，末位上數字為 ，由題意可得：

因為14285剛好不能被7整除，所以 必定為7的倍數，又因為 是數字，所以由題意可得： ，因此這個六位數解得 。

4.3 整體轉換

解決數學題的一個常規思路就是將問題轉換成另一個簡單熟悉的題目，而整體化的思維方法中也會用到類似的方法，不過整體化額思維方法是把要求解問題當做是一個整體，并且通過變形簡化等方法使得整個問題轉換成為另一個較為簡單、熟悉的問題，這樣就可以達到化難為易的目的，這就是整體化的思維方法中的整體轉換。

例3 已知兩異面直線 與 所成的角度為 ， 是空間的一個定點，問：經過點 且與 ， 兩直線所構成的角都是 的直線共有且僅有幾條？

分析 這道題對于空間的想象能力有一定的要求，并且條件非常分散，不容易求出答案。如果將這道題轉換為另外一個同解題：如果兩直線 ， 相交于 點，并且所成角度為 ，那么經過 點且與 ， 所成角都是 的直線有且僅有多少條？這樣一來，問題一下變得簡單了許多，且顯然知道答案就是兩條。

答 經過點 且與 ， 兩直線所構成的角都是 的直線共有且僅有兩條。

5. 結束語

整體化的思維方法是體現哲學辯證法思維特性的一種思維方法。在解決數學問題時應用整體化的思想，一般情況下是需要將題目中的問題或者是問題的某些條件看做成一個整體，并且通過對這個整體的結構、形式以及特征來進行分析、討論、研究，一些特殊的問題需要通過對問題的條件和所要求的問題在這個整體中所占的地位及作用來分析研究，從而使問題得以解決。

運用這種處理數問題的思維方法，往往可以站得高，看得遠，及時地發現解決問題的有效途徑。在數學的學習當中，注重整體化的思維方法的學習，對于培養解決數學難題的能力有著顯著而積極的意義。

參考文獻

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