巧用“區(qū)域法”解答函數(shù)問題

馬明蘋

【關鍵詞】 數(shù)學教學；“區(qū)域法”；函數(shù)問題；解答

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2017）17—0122—01

近幾年在各地的中考試卷中，頻繁出現(xiàn)已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)兩函數(shù)值的大小關系，求自變量取值范圍的試題，該類試題多以選擇題和解答題的形式出現(xiàn).此類題目一般的設問方式為已知兩函數(shù)值的大小關系，求解自變量x的取值范圍.解題實質(zhì)是求解反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的位置問題，并能正確地進行數(shù)與形的結合與轉化.下面通過幾道近幾年各地的中考試題，談談這類問題的基本解法.

例1 （2016天水中考）一次函數(shù)y1=x-1與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點A、B，則使y1>y2的x的取值范圍是（ ）

A.x>2 B.-12或-12或x<-1

解析：解決問題的關鍵是利用函數(shù)圖象的位置判斷x的取值范圍，聯(lián)立方程組y=x-1y=，解得x1=-1，x2=2.觀察圖象可知當一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方時，x的取值范圍為x<-1或02，即y1>y2.故而選C.

總結：兩個函數(shù)值比較大小，這類題目一般的設問方式為已知兩函數(shù)值的大小關系，求解自變量x的取值范圍.解題的實質(zhì)是求解反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的位置問題.若已知一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)y2=，當y1>y2時，就是求解一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象那部分的自變量取值范圍.同理，若求解y1

解這類型題的方法是：先求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象交點坐標的橫坐標x1、x2（x1x2；然后根據(jù)每個區(qū)域內(nèi)函數(shù)圖象的位置確定所求的解集，①③區(qū)域是所求解集的一種情況，②④區(qū)域是所求解集的一種情況；最后寫出滿足區(qū)域的x的取值范圍.這類解題方法可以歸納為“區(qū)域法”.下面舉例說明.

例2（2015遂寧中考）如下圖，反比例函數(shù)y1=的圖象與一次函數(shù)y2=ax+b的圖象交于點A（1，4）和點B（-4，n），直接寫出y1>y2時自變量x的取值范圍.

解析：用區(qū)域法解，已知題目中反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象交點的橫坐標為x1=-4，x2=1，直線x=-4、直線x=1、y軸把坐標系分成4個區(qū)域：①區(qū)域x<-4，②區(qū)域-41.觀察圖象得①③區(qū)域時反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，這時x的取值范圍為x<-4或0y2.

總結：用區(qū)域法來解反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象函數(shù)值的大小，關鍵是找反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點的橫坐標與y軸把坐標系分成的4個區(qū)域，再比較兩個圖象位置問題，看是滿足哪個區(qū)域，最后直接寫出滿足區(qū)域的x的取值范圍.

例3（2016甘肅中考）一次函數(shù)y1=-x+4與反比例函數(shù)y2=（k>0）的圖象交于點A（m，1）、B（1，n）兩點，（1）求k、m、n的值；

（2）利用圖象寫出當x>0時，y1和y2的大小關系.

解析：由待定系數(shù)法可求出n=3，k=3，m=3.用區(qū)域法解第2問，兩圖象交點的橫坐標為x1=1，x2=3，直線x=1、直線x=3、 y軸把坐標系分成4個區(qū)域：①區(qū)域x<0，②區(qū)域03.題目要求x>0，所以去掉①區(qū)域，觀察圖象在②④區(qū)域時反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，即y1>y2；圖象在③區(qū)域時反比例函數(shù)在一次函數(shù)圖象下方，即y13時y1>y2；當1

總結：用區(qū)域法解題，要根據(jù)題目靈活應用，此題目有條件限制，所以去掉了一個區(qū)域.并且要注意滿足區(qū)域的x的取值范圍，就是所求兩函數(shù)值大小自變量x的取值范圍.

編輯：謝穎麗