由兩道題所引發的對幾何概型的思考

邊靜雯

有這樣兩道題，很多人對答案存在爭議，首先看一下這兩道題。

第1題（如下圖），在等腰直角三角形RtVABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一射線CM，與線段AB交于點M，求AM

第2題（如上圖），在等腰直角三角形RtVABC中，點M為線段AB上任意一點，求AM

對于上面這兩個題，有兩種不同的解法，如下：

記事件E={在∠ACB內部任作一射線CM，與線段AB交于點M，AM

則所有可能結果的區域為∠ACB，

事件E構成的區域為∠ACC'，

解法2：記事件F={AM

在等腰直角三角形RtVABC中，設AC長為1，則AB長為，

在AB上取點C'，使得AC'=AC=1，則若點M在線段AC'上，滿足條件。

于是P（F）=P（AM

故AM

有些人認為這兩個題其實是同一個題的不同問法，一部分人贊同解法1，而有些人認為解法2是對的。

我們回顧下幾何概型的定義：如果每個基本事件發生的概率只與構成事件區域的面積（長度或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

幾何概型有這樣兩個特征，一是無限性，也就是說在一次試驗中，基本事件的個數可以是無限的；二是機會均等性，即在一次試驗中每一個基本事件發生是等可能的。

在幾何概型中，事件A的概率的計算公式是：

由上面公式可以看出，在解決幾何概型問題時重要一點在于能否將問題幾何化，怎樣將問題轉化相應的幾何測度來處理。

我認為在上面兩個題中，對于第1題來說，解法1是對的，解法2是錯誤的。雖然在線段AC'上任意取一點M是等可能的，但是過C和任取的點所作的射線是不均勻的，先有的射線后有點M，因而不能簡單地把等可能取點看成是等可能的作射線，盡管射線與點是一一對應的。射線在角內是均勻分布的，故只能選擇角度作為測度，結果為。

對于第2題來說，點在斜邊上是等可能分布的，解法2是對的，以線段長度作為度量，結果為。

因此在確定基本事件時，一定要特別注意選擇好觀察出發點，注意判斷基本事件發生的等可能性。對于一個能用幾何概型公式計算的概率，要根據實際問題以及題意的具體情況，選擇恰當的度量，使所有結果構成的區域能夠度量即可解決相應的問題。有興趣的同學可以看一下著名的貝特朗悖論。

[責任編輯：田吉捷]