考慮橢圓化和材料各向異性的管道極限 彎矩承載力解析解研究

王慧平，李 昕，周 晶

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室,遼寧 大連 116024)

考慮橢圓化和材料各向異性的管道極限 彎矩承載力解析解研究

王慧平，李 昕，周 晶

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室,遼寧 大連 116024)

已有的管道極限彎矩承載力解析方法忽略了截面的橢圓化變形，且假設管道截面達到全塑性抵抗力，這對于薄壁管道是不合理的。針對這些不足，在已有解析解的基礎上，考慮管道截面塑性區的橢圓化變形以及管道軸向與環向材料的各向異性，推導了管道在內壓、軸向力和彎矩聯合荷載作用下的極限彎矩承載力解析解。并通過定義材料屈服后不同的廣義模量，提出了管道極限彎矩承載力的上限解析解和下限解析解。在此基礎上，研究了材料各向異性系數、徑厚比以及初始荷載等參數對極限彎矩承載力上限和下限解析解的影響，并得到了一些有益的結論。

管道； 聯合荷載；橢圓化；材料各向異性；彎矩承載力；解析解

Abstract: The previous analytic solution ignored the ovalization of the pipe cross-section, and assumed the pipe section able to attain its fully plastic capacity, which seems inappropriate for pipeline with large diameter to thickness ratio. On this basis, by considering the ovalization of the plastic region and the pipe material’s anisotropy of the axial and circumferential direction, an analytical solution of the ultimate bending capacity of pipeline subjected to combined internal pressure, axial forces and bending moments was derived in this research project. Both the lower and upper bound solutions are proposed based on the selection of a general modulus in the process of calculation. Based on the analytical solution, the effect of the anisotropy coefficient, the ratio of diameter to thickness, and the initial loading on moment capacity was studied, and some useful conclusions are obtained.

Keywords: pipeline; combined loading; ovalization; material anisotropy; ultimate bending capacity; analytical solution

隨著海洋油氣資源的開發，海底管道被廣泛應用在海上油氣田的開發、生產和產品運輸中。海底管道建設日益增多，被稱為海上油氣田的“生命線”[1-2]。一般情況下，內壓荷載是確定海底管道壁厚的控制荷載，而當管道受到滑坡、沉降、地震等影響時，由土體運動引起的彎矩荷載成為管道設計的控制荷載[3-6]。

在過去的四十年間，眾多學者致力于聯合荷載作用下海底管道的極限彎矩承載力研究。早期的研究主要集中于在內壓和軸向力作用下管道極限彎矩承載力的實驗研究[7-9]，20世紀開始，眾多學者致力于海底管道在復雜荷載作用下的極限彎矩承載力理論研究。20世紀90年代期間，Mohareb和Bai等[10-13]采用Mises屈服準則，基于理想彈塑性假設得到了鋼制管道在內/外壓和軸向力作用下的極限彎矩承載力解析方程，該解析解被DNV規范[14]采用。Hauch和Bai[15]推導了管道在內壓、軸向力和彎矩聯合作用下的極限彎矩承載力解析解，并計入了管道材料各向異性系數的影響。隨后，Mohareb發展了管道在軸向力、內/外壓、扭矩、雙軸彎矩和雙軸剪力聯合作用下的無量綱相互作用方程[16-17], 與他們的實驗結果吻合較好[11,18]。黨學博等[19]考慮材料各向異性系數的影響，推導出深水海底管道在彎矩、軸向拉力和外壓共同作用下的極限承載能力公式，并應用到S型深水鋪管施工受力分析中。陳嚴飛等[20-21]在Mohareb方程的基礎上，考慮了管道軸向與環向材料強度的各向異性，提出了腐蝕缺陷管道在內壓、軸力和彎矩組合荷載作用下極限彎矩承載力的一組廣義解。

實驗研究表明[22-24]，Mohareb解析解預測得到的彎矩承載力與實驗得到的結果符合較好，具有一定的可靠性且計算簡便，因此常被用作實驗結果和數值預測結果的基準。然而，Mohareb以及Hauch和Bai[15]的解析方法在推導過程中忽略了截面橢圓化的影響，且假設管道截面達到全塑性抵抗力。這使得解析解無法給出管道在外力作用下的變形特性，且這些假設對于薄壁管道不合理。本文針對這些不足，在Mohareb解析解的基礎上，考慮管道截面塑性區橢圓化變形和管道軸向與環向材料強度的各向異性，發展了管道在內壓、軸向力和彎矩荷載聯合作用下極限承載力解析解。

1 基本假定和屈服準則

1.1基本假定

Mohareb[11,22]，Bai和Hauch[15]推導了管道在內壓、軸向力作用下極限彎矩承載力解析解，這里沿用其部分基本假定：1)忽略管道材料塑性部分的應力強化效應；2)在達到極限狀態時，塑性中性軸將管道橫截面分為壓縮和拉伸兩個區域；3)不考慮應變局部化的影響。在此基礎上，又引入如下假設：1)管道在彎矩作用下，管道的橫截面逐漸發生橢圓化變形，但是仍然在同一平面內；2)管道彎曲變形后，曲率半徑沿管道截面的變化可以忽略不計，在推導過程中，采用管道截面中心線的曲率半徑作為計算值；3)根據受力特性，把屈服后的管道結構簡化為拱梁。

1.2屈服準則

管道在內壓、軸力和彎矩作用下發生塑性變形時，表現為管道材料在多軸應力下的屈服，其中徑向應力和剪應力分量可忽略不計。考慮到管道加工過程中會引起材料軸向和環向的各向異性[25-27]，則軸向應力和環向應力的相互作用方程可表示為[21,28-29]：

由式(1)得到管道軸向壓應力和拉應力的極限值：

其中，R為管道的平均半徑，t為管壁厚度。

2 內壓和軸向力作用下管道極限彎矩承載力解析解

2.1橢圓化應力

在彎曲荷載作用下管道的橫截面發生轉動變形，進而使軸向壓應力σc與軸向拉應力σt產生向內的應力分量qc和qt，如圖1所示。qc和qt會使管道橫截面發生橢圓化變形，稱其為橢圓化應力。根據圖1，由平衡方程和幾何方程，可得到：

其中，下標c和t分別代表橫截面壓縮和拉伸區的變量，dsc、dst分別為橫截面上壓縮和拉伸塑性區的長度，dl為管道小微段長度，ρ為彎曲變形后的曲率半徑，θ為管道變形產生的轉角，如圖1。

由公式(3)和(4)，可得到橢圓化應力：

圖1 管道截面橢圓化變形機理圖Fig. 1 Ovalization mechanism of the pipe cross-section

圖2 管道截面在橢圓化應力作用下的變形Fig. 2 Deformation of pipe cross-section under inward stress

2.2彎矩承載力影響系數

在某一彎矩荷載的作用下，假設管道截面的分布為：[αc,π-αt]與[π+αt,2π-αc]為彈性區；[2π-αc,αc]與[π-αt,π+αt]為塑性區，如圖2所示。

管道材料剛度越大，截面的橢圓化變形就越小。材料進入塑性后，剛度急劇降低，橢圓化變形與彈性區的橢圓化相比會大很多。為了簡化計算，只考慮塑性區的橢圓化變形及其對彎矩荷載的影響，彈性區的橢圓化變形被忽略。因此彈塑性區分界點Ac、Bc、At、Bt的豎向位移為零。在qc與qt的作用下，這些點只有水平向位移，分別移動到Ac'、Bc'、At'和Bt'，如圖2所示。為了計算塑性區橢圓化對彎矩承載力的影響，把壓縮和拉伸塑性區簡化為拱梁結構，如圖3所示。

圖3 塑性區的簡化結構示意Fig. 3 Simplified structures of the plastic regions

在qc與qt作用下，管道截面最外側點Gc和Gt分別移動到Gc'和Gt'，可求得其豎向位移為：

其中，E'為管道材料屈服后的廣義模量，關于E'的討論見第三部分。

由于Δdc、Δdt相對管道半徑R較小，因此可以把塑性區的豎向位移看作是線性變化的。即有：

壓縮或拉伸塑性區對管道中心線的彎矩可分為兩部分：一部分為塑性區對截面彈性與塑性分界線AcBc或AtBt的彎矩；另一部分為從分界線到管道中心線的移軸彎矩。其中第一部分彎矩受橢圓化的影響，而第二部分與橢圓化變形無關。為了得到橢圓化變形后的彎矩承載力，只需求出橢圓化變形對第一部分彎矩的影響即可。橢圓化變形后，塑性區對分界線的彎矩可以表示為：

把式(7)代入式(8)中，得到：

由最小勢能原理[31]可知，當殼體結構在內壓、軸力和彎矩作用下且處于穩定平衡狀態時，不會產生向內凹陷的變形。因此當Δdc>Lc或Δdt>Lt時，令Δdc=Lc，Δdt=Lt。

2.3壓縮與拉伸塑性區夾角

若要得到管道橫截面的彎矩承載力，還需要求出壓縮和拉伸塑性區的夾角αc、αt。圖4和圖5分別為一般截面應力分布圖和相應的軸向變形圖。

圖4 管道橫截面的應力分布Fig. 4 Stress distribution of pipe section

圖5 管道截面的軸向變形Fig. 5 Deformation along the axial direction

由圖4和圖5，可以得到：

其中，E為管道材料的彈性模量，εc和εt為壓縮和拉伸彈性區最外側的軸向應變，Δlc和Δlt為相應的變形，如圖5所示。

由式(11)、(12)，可以得到：

2.4管道的彎矩承載力

在計算過程中，將管道橫截面的彎矩M分為六部分：M1為受壓塑性區對彈塑性分界線的彎矩；M2為受壓塑性區從分界線到截面中心線的移軸彎矩；M3為受壓彈性區對中心線的彎矩；M4為受拉彈性區對中心線的彎矩；M5為受拉塑性區對分界線的彎矩；M6為受拉塑性區從分界線到中心線的移軸彎矩。對于給定的曲率半徑ρ，根據塑性區的位置，可以分為以下四種工況來求解管道的彎矩承載力。

這種工況為管道截面全部在彈性范圍內，管道截面最外側的軸向壓應力和拉應力分別為σc'和σt'。與式(11)和(12)類似，有：

根據式(14)和(15)，可得到：

則橫截面的軸向力為：

在已知實際軸力的情況下，可根據式(17)采用二分法[32]求出中性軸夾角ψ。從而求出管道截面的彎矩承載力M：

這種工況為僅部分壓縮區達到屈服，軸向力可以表示為式(19)，同理可由此確定中性軸夾角ψ。

彎矩承載力M由應力沿整個截面的積分得到：

其中，M4與式(18)中M4相同。

這種工況為僅部分拉伸區達到屈服，此時管道截面軸力F和彎矩M可表示如下：

其中，M3與式(18)中M3相同。

這種工況為截面壓縮區和拉伸區都達到了屈服，此時管道截面軸向力F和彎矩M可表示為：

其中，M1、M2、M3見式(20)，M4、M5、M6見式(22)。

3 參數分析

由上一節的推導可知，E′是用于求解壓縮和拉伸塑性區的豎向位移Δdi的一個材料參數，見式(6)。管道材料進入塑性后，應力-應變曲線是非線性的，材料的切線模量不斷變化。為了求出考慮橢圓化的彎矩承載力，在計算過程中可以引入一個確定的E′值來代替不斷變化的切線模量，稱為屈服后的廣義模量。從物理意義上講，E′的取值范圍應該在應變強化模量Et和彈性模量E之間，其中Et為材料的應力-應變曲線上屈服點和極值點連線的斜率。因此，E′=Et和E′=E分別代表管道下限解析解和上限解析解。與前人的實驗結果以及有限元計算結果的對比表明[33]，理論推導所得到的下限解和上限解可以很好地預測管道的極限彎矩承載力。

下面開展管道極限彎矩承載力的參數分析，分別研究了材料各向異性系數α、徑厚比D/t以及初始荷載對極限彎矩承載力上限解析解和下限解析解的影響，其中初始荷載包括初始內壓和初始軸向力荷載。計算管道的幾何參數為：直徑508 mm，壁厚7.9 mm，彈性模量196 110 MPa。

3.1各向異性系數α對極限彎矩荷載的影響

研究X80管道在不同內壓和軸向壓力作用下，各向異性系數對極限彎矩承載力的影響。表1給出了不同計算工況下，管道材料環向和軸向的屈服強度、抗拉強度以及管道材料的各向異性系數[27]。圖6給出了不同內壓作用下，管道的彎矩承載力的下限值和上限值。其中，P代表管道承受的內壓作用力，M代表管道的彎矩承載力。

從圖6可以看出，當各向異性系數為0.5，即材料為各向同性時，材料的屈服應力越高，管道的極限彎矩承載力越大。當材料的環向屈服強度相同時，管道的彎矩承載力隨軸向屈服強度的增大而增大。當材料的軸向屈服強度相同時，環向屈服強度對彎矩承載力的影響與內壓值有關：內壓值越大，環向屈服強度的影響也越大，且管道的彎矩承載力隨環向屈服強度的增大而有所提高。

這里還計算了不同軸向力作用下，管道彎矩承載力的下限值和上限值。理論上來說，管道在軸向力和彎矩共同作用下的承載力只與管道的軸向屈服強度有關，與環向屈服強度無關，這與本文的解析結果相同。由于篇幅的限制，這里沒有列出相應的計算結果。

表1 X80管道材料參數Tab. 1 Material properties for X80 pipe

圖6 內壓作用下各向異性系數對彎矩荷載的影響Fig. 6 Effect of anisotropy coefficient on the moment capacity under internal pressure

圖7 徑厚比對彎矩承載力的影響Fig. 7 Effect of radio of D/t on moment capacity

3.2徑厚比D/t對極限彎矩荷載的影響

工程中使用的管道的徑厚比D/t大多為30～100，因此在直徑不變的基礎上計算了八種不同徑厚比的管道，分別為30、40、50、60、70、80、90、100。管道的材料參數取為工況1，α=0.5。圖7給出了在純彎矩作用下，管道極限彎矩承載力下限值和上限值隨徑厚比的變化情況。

從圖7中可以看出，管道的極限彎矩承載力隨著徑厚比的增大而減小。在徑厚比相對較小的情況下，管道的彎矩承載力隨徑厚比的增大急劇減小，當徑厚比較大時，彎矩承載力的變化趨勢逐漸趨于平緩。上限值和下限值的變化趨勢一致。

3.3初始荷載對極限彎矩荷載的影響

圖8給出了在不同的軸向力作用下，無量綱的內壓對極限彎矩承載力下限值和上限值和的影響。其中，P與F為管道實際的內壓和軸向力荷載，Py與Fy為管道的屈服內壓和屈服軸力，Py=2σyt/D，Fy=σyA，A為管道截面面積。F/Fy為負值代表管道承受軸向壓力，F/Fy為正值代表管道承受軸向拉力。

從圖8中可以看出，無論是下限還是上限解析解，軸向壓力會大大降低管道內壓荷載的作用范圍，而軸向拉力會增加內壓荷載的作用范圍。對于無軸向力作用或承受軸向壓力作用的管道，隨著內壓荷載的增加，管道的極限彎矩承載力會逐漸降低；對于承受軸向拉力作用的管道，隨著內壓荷載的增加，管道的極限彎矩荷載表現為先增加后減小的趨勢。

從圖8中還可以看出，對于無內壓作用的管道，當承受相同的軸向拉力和軸向壓力時，管道的彎矩承載力也是相同的，也就是說在無壓狀態下軸向拉力和軸向壓力對管道的極限彎矩承載力的削弱程度相同。

圖8 內壓、軸向力對極限彎矩荷載的影響Fig. 8 Effect of axial force and internal pressure on moment capacity

4 結 語

考慮管道截面塑性區橢圓化以及材料各向異性的影響，發展了在內壓和軸向力組合荷載作用下管道的極限彎矩承載力上限和下限解析解，并研究了材料各向異性系數、徑厚比、初始內壓和軸向力荷載對管道極限彎矩承載力的影響。得到如下結論：

1)管道材料為各向同性時，材料的屈服應力越高，管道的極限彎矩承載力越大。

2)當無內壓作用時，管道的極限彎矩承載力只與管道的軸向屈服強度有關，與環向屈服強度無關。當有內壓作用時，各向異性系數對管道的極限彎矩承載力有一定的影響。內壓值越大，環向屈服強度對彎矩承載力的影響也越大，且管道的彎矩承載力隨環向屈服強度的增大而有所提高。

3)管道的極限彎矩承載力隨著徑厚比的增大而減小。在徑厚比相對較小的情況下，管道的彎矩承載力隨徑厚比增大急劇減小，當徑厚比較大時，彎矩承載力的變化趨勢逐漸趨于平緩。

4)對于無軸向力作用或承受軸向壓力作用的管道，隨著內壓荷載的增加，管道的極限彎矩承載力會逐漸降低；對于承受軸向拉力作用的管道，隨著內壓荷載的增加，管道的極限彎矩荷載表現為先增加后減小的趨勢。

5)對于無內壓作用的管道，軸向拉力和軸向壓力對管道極限彎矩承載力的削弱程度是相同的。

[1] 周晶,馮新,李昕.海底管線全壽命安全運行的關鍵問題研究[J].工程力學, 2011, 28(S2):97-108. (ZHOU J, FENG X, LI X. Reasearch on critical issues of life-cycle service safety for subsea pipelines[J].Engneering Mechanics, 2011, 28(S2):97-108.(in Chinese))

[2] PALMER A C, KING R A. Subsea pipeline engineering[M]. Tulsa: Penn Well Books, 2004.

[3] 王慧平,李昕,周晶.初始幾何缺陷對管道極限承載力影響研究[J].海洋工程,2014,32(5):50-56. (WANG H P, LIN X, ZHOU J. Effects of initial imperfections on pipeline capacities[J]. The Ocean Engineering, 2014, 32(5):50-56. (in Chinese))

[4] 陳嚴飛.海底腐蝕管道破壞機理和極限承載力研究[D].大連:大連理工大學,2009. (CHEN Y F. Study on failure mechanism and ultimate load capacity of corroded submarine pipeline[D]. Dalian:Dalian University of Technology,2009. (in Chinese))

[5] KARAMPOUR H, ALBERMANI F, VEIDT M. Buckle interaction in deep subsea pipelines[J]. Thin-walled Structures, 2013, 72:113-120.

[6] LIU R, XIONG H, WU X L, et al. Numerical studies on global buckling of subsea pipelines[J]. Ocean Engineering, 2014(78):62-72.

[7] BOUWKAMP J G, STEPHEN R M. Large diameter pipe under combined loading[J]. Journal of Transportation Engineering, 1973, 99(TE3): 521-536.

[8] SHERMAN D R. Test of circular steel tubes in bending[J]. Journal of the Structural Division, 1976,102 (ST11): 2181-2195.

[9] SCHNEIDER P S. Flexural capacity of pressurized steel pipe[J]. Journal of Structural Engineering,1998,124(3), 330-340.

[10] MOHAREB M E, ELWI A E, KULAK G L, et al. Deformational behaviour of line pipe[R]. Canada: University of Alberta, 1995.

[11] MOHAREB M,MURRAY D W. Mobilization of fully plastic moment capacity for pressurized pipes[J].Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering,1999,121(4):237-241.

[12] BAI Y, IGLAND R, MOAN T. Tube collapse under combined pressure,tension and bending[J].International Journal of Offshore and Polar Engineering,1993,3(2):121-129.

[13] BAI Y, IGLAND R, MOAN T. Tube collapse under combined external pressure,tension and bending[J].Journal of Marine Structures,1997,1(5):389-410.

[14] DNV.Rules for submarine pipeline system[S]. Norway: Det Norske Veritas,1996.

[15] HAUCH S R, BAI Y. Bending moment capacity of pipes[J]. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, 2000,122(4):243-252.

[16] MOHAREB M. Plastic Interaction relations for pipe sections[J]. Journal of Engineering Mechanics,2002,128(1): 112-120.

[17] MOHAREB M. Plastic resistance of pipe sections: upper bound solution[J]. Journal of Structure Engineering, 2003,129(1):41-48.

[18] OZKAN I F, MOHAREB M. Testing of steel pipes under bending,twist,and shear[J]. Journal of Structural Engineering,2003,129(10):1350-1357.

[19] 黨學博, 龔順風, 金偉良, 等. 深水海底管道極限承載能力分析[J]. 浙江大學學報:工學版, 2010, 44(4): 778-782. (DANG X B, GONG S F, JIN W L, et al. Analysis on ultimate bearing capacity of deepwater submarine pipe[J]. Journal of Zhejiang University, Engineering Science, 2010,44(4):778-782. (in Chinese))

[20] 陳嚴飛，李昕，周晶. 不規則腐蝕缺陷管道極限承載力研究[J]. 工程力學，2009, 26(11): 190-196. (CHEN Y F, LI X, ZHOU J. Ultimate bending capacity of pipe with arbitrary corrosion defects[J]. Engineering Mechanics,2009, 26(11): 190-196. (in Chinese))

[21] 陳嚴飛，李昕，周晶. 組合荷載作用下腐蝕缺陷管道的極限承載力[J].計算力學學報，2011, 28(1):132-139. (CHEN Y F, LI X, ZHOU J. Ultimate flexural capacity of pipe with corrosion defects subject to combined loadings [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2011, 28(1):132-139. (in Chinese))

[22] MOHAREB M, KULAK G L, ELWI A, et al. Testing and analysis of steel pipe segments[J]. Journal of Transportation Engineering, 2001, 127(5): 408-417.

[23] DOREY A B, CHENG J J R, MURRAY D W. Critical buckling strains in energy pipelines[R]. Department of Civil and Environmental Engineering, University of Alberta, 2001.

[24] OZKAN I F, MOHAREB M. Testing and analysis of steel pipes under bending, tension, and internal pressure[J]. Journal of Structural Engineering, 2009, 135(2): 187-197.

[25] PALMER A C, KING R A. Subsea pipeline engineering[M].Tulsa: Penn Well Books, 2004.

[26] 陳文，劉清友，孫新軍，等．降低管線鋼拉伸強度各向異性的熱軋工藝[J]. 鋼鐵研究學報，2010, 22(12): 53-57. (CHEN W, LIU Q Y, SUN X J, et al. Hot rolling technology to reduce tensile strength snisotropy of pipeline steel[J]. Journal of Iron and Steel Research, 2010, 22(12): 53-57. (in Chinese))

[27] 鄭茂盛, 李金波, 李海軍. X80級管線鋼的各向異性特征[J]. 焊管, 2005, 28 (3): 13-16. (ZHENG M S, LI J B, LI H J. The anisotropic of the X80 pipeline[J]. Welded Pipe,2005, 28 (3): 13-16. (in Chinese))

[28] 徐秉業，劉信生．應用彈塑性力學[M]. 北京：清華大學出版社，1995. (XU B Y, LIU X S. Application of elastic-plastic mechanics[M]. Beijing: Tsinghua University Press，1995. (in Chinese))

[29] HILL R. The mathematical theory of plasticity[M]. Oxford: Oxford University Press，1998．

[30] KYRIAKIDES S, CORONA E. Mechanics of offshore pipelines[M]. Elsevier Ltd., 2007．

[31] 龍馭球，包世華，匡文起，等. 結構力學[M]．北京：高等教育出版社, 2001. (LONG Y Q, BAO S H, GUANG W Q, et al. Structural mechanics[M]. Beijing: Higher Education Press,2001. (in Chinese))

[32] 張宏偉，金光日，施吉林，等. 計算機科學計算[M].北京：高等教育出版社，2005. (ZHANG H W, JIN G R, SHI J L, et al. Computer science calculation[M].Beijing: Higher Education Press,2005. (in Chinese))

[33] WANG H P, LI X, ZHOU J. Ultimate bending capacities of steel pipelines under combined loadings[J]. Advances in Structural Engineering, 2016, 19(4): 642-659.

Analytical solution of ultimate bending capacity of pipeline considering ovalization and material anisotropy

WANG Huiping, LI Xin, ZHOU Jing

(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

TE973；P756.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.01.008

1005-9865(2017)01-0071-09

2016-01-15

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(2011CB013702); 新世紀優秀人才支持計劃資助(NCET-11-0051)

王慧平(1985-)，女，吉林長春人，博士研究生，主要從事海底管道承載能力的研究。E-mail：whpwanghuiping@126.com

李 昕。E-mail：lixin@dlut.edu.cn