基于非參數和半參數CARR模型的上海股票市場波動性研究

郭名媛，韓志楠

(天津大學 管理與經濟學部， 天津 300072)

基于非參數和半參數CARR模型的上海股票市場波動性研究

郭名媛，韓志楠

(天津大學 管理與經濟學部， 天津 300072)

以上證綜指日對數價格的極差為研究對象，分別建立參數、半參數和非參數CARR(1,1)模型來研究上海股票市場的波動性。采用MSE、MAE兩種誤差度量指標比較參數、非參數、半參數CARR(1,1)模型的擬合能力。結果表明：半參數CARR(1,1)模型在對上海股市波動性的擬合方面表現最優，非參數CARR(1,1)模型次之，GCARR(1,1)模型最差。

局部線性估計；非參數CARR模型；半參數CARR模型；波動性；擬合能力

Abstract: Previous empirical results reveal that CARR significantly outperforms GARCH in the prediction of volatility. As we all know, the estimation of CARR is based on the function form and the residual’s distribution. It is because the estimation of the nonparametric and semi-paremetric CARR ignores the hypothesis, and the two models can reduce the error obviously. By using the daily range data of Shanghai composite index, we establish the parametric, nonparametric and semi-paremetric CARR to study Shanghai stock market’s volatility. We select MSE and MAE to compare the fitting ability of the three models. The results show that among the three models, the best one to feature shanghai stock market’s volatility is semi-parametric CARR, and the nonparametric CARR is inferior and the weak one is parametric CARR.

Keywords: local linear method; nonparametric CARR; semi-parametric CARR; volatility; fitting

ability

1 研究背景

近年來，證券市場中金融工具的價格波動逐漸引起投資者的關注，同時也成為了學術界的研究熱點。有關金融工具價格波動性的模型被相繼提出。例如，Engle[1]提出了自回歸條件異方差模型(auto-regression conditional heteroscedasticity， ARCH)。基于ARCH模型，Bollerslev[2]提出了廣義ARCH模型(generalized auto-regression conditional heteroscedasticity， GARCH)。隨后GARCH模型的理論內容不斷完善，并且產生了許多衍生模型，如指數GARCH、求和GARCH，最終形成了GARCH類模型。隨著GARCH類模型理論的豐富，該類模型被大量運用于實證研究中。

GARCH類模型是基于采用收盤價格計算的收益率序列構造的。Parkinson[3]提出使用極差預測股價波動性比使用收盤價更有效；Chou[4]在2005年提出了條件自回歸極差模型(conditional auto-regressive range， CARR)，該模型借鑒GARCH模型的建模思想，刻畫了極差的動態結構。自從CARR模型被提出以來，該模型與GARCH模型的對比成為了研究的熱點。Heng-Chih Chou[5]選取金融時報100指數和日經225指數為樣本數據進行實證研究，比較了CARR模型和GARCH模型的預測能力，結果表明CARR模型在波動率估計和預測方面比GARCH模型表現更好，結果還顯示在英國市場和日本股票市場中都存在著杠桿效應。國內學者程細玉等[6]也在這方面做了很多研究，通過選取美元對港幣的5 min匯率比價和美元對日元的15 min匯率比價研究CARR類和GARCH類模型的性質，結果都表明CARR類模型比相同形式的GARCH模型在價格波動預測方面有更好的效果。張蘇林[7]以我國黃金現貨市場的主要交易品種Au99.95為研究對象，建立GARCH模型和CARR模型來研究其波動率，結果表明CARR模型在波動率預測面優于GARCH模型。此外，有學者在CARR模型中引入外生變量來研究引入的變量是否對模型的預測能力有影響。比如，耿立艷等[8]將最小二乘支持向量回歸機(LSSVR)應用于CARRX模型，通過對滬深300指數的預測實證分析，發現在長期預測中，基于LSSVR估計的CARRX模型能捕捉到極差波動率的變動趨勢。盧米雪[9]以混合分布假說理論為分析框架，選取了2010年1月4日至2013年4月26日滬深300指5 min數據位研究對象，運用CARR-X模型對我國股市的交易量與價格波動之間的動態關系進行了實證研究，結果表明交易量對股價波動有部分解釋作用，且解釋能力主要來自非預期的交易量部分。除此之外，基于CARR模型的風險價值研究也受到了學者的青睞，Ray Chou等[10]、Heng-Chih Chou等[11]以及國內學者趙樹然等[12]等都在這方面做了大量研究。

以上學者所做的研究都是基于參數CARR模型。參數CARR模型是極差的條件期望與殘差項的乘積，而極差的條件期望則為極差的條件期望的滯后期與極差的滯后期的函數，其中殘差項的分布需人為假設。當參數估計出來后，極差的條件期望的函數形式就十分明確，還可利用估計出的參數對模型進行解釋。但是參數CARR模型的估計結果依賴于極差的條件期望的函數形式和對殘差項的分布所做的假設，采用不同形式的模型或者假設殘差項服從不同的分布就可能得出不同的結論。為了避免參數CARR模型依賴于模型形式這一缺陷，有必要建立非參數和半參數CARR模型。

非參數模型由于完全不依賴設定的模型形式，所以能削減因模型設定錯誤而帶來的誤差。非參數模型的一般形式為：

Yi=m(Xi)+εi,i=1,2,…,n

(1)

其中：m為未知回歸函數。如何估計該模型中的未知函數，很多學者都做了大量研究。Wand等[13]介紹了使用核估計方法來進行未知函數的估計；Fan[14]、Fan等[15]提出了局部多項式的估計方法；Green等[16]、Stone[17]都采用了樣條估計的方法對一般非參數模型中的未知函數形式進行了擬合。Bühlmann等[18]給一般非參數模型中的變量賦予了實際意義，提出了基于非參數GARCH模型的收斂估計方法。此后，很多學者開始了非參數GARCH模型的實證研究[19-22]。與非參數GARCH模型相比，將非參數的思想與CARR模型相結合而進行的研究就非常少了。目前，只有王敏等[23]在其碩士論文中以滬深300指為研究對象，建立了參數、非參數CARR(1,1)模型，并且證實了非參數CARR(1,1)模型的擬合度高于參數CARR(1,1)模型。

盡管非參數模型能得到非常接近真實值的估計值，但是該模型的解釋能力非常弱，這是因為非參數模型不能得到有關函數形式的任何信息。所以為了同時保留非參數CARR模型不依賴于模型形式和參數CARR模型中參數對模型的解釋作用這兩個優點，有必要建立半參數CARR模型。

半參數模型是介于參數和非參數模型之間的一種過渡模型。通過比較這3種模型，可知半參數和非參數模型都避免了參數模型依賴于模型形式這一缺陷，同時，半參數模型還保留了參數模型中參數對模型具有解釋作用這一優點，而非參數模型不具備該能力，使得該模型逐漸成為了學者研究的熱點[24-27]。

半參數模型的一般形式為：

(2)

其中：g為R1上的未知函數；B為p維待估參數向量；εi為獨立同分布的隨機變量，均值為0，具有有限的方差σ2。相對來說，針對式(2)的性質及其估計方法的文章就有所減少了。Shi Peide等[28]考慮了固定設計下該模型的估計問題。國內學者柴根象等[29]基于模型的可加性估計出了模型的參數。趙選民等[30]對該模型的非參數部分采用核估計方法，獲得了非參數函數的最優收斂估計量。與前述兩種研究方向相比，將式(2)設定為波動性模型進行研究的文章就非常之少了，而且研究中所采用的波動性模型僅限于GARCH模型。國內學者陸書芳[31]以上證綜指為研究對象建立了半參數GARCH模型來研究上海證券市場的波動性；國外學者Gallant[32]提出了基于半參數GARCH模型的最大線性估計方法；Shin[33]提出了半參數GARCH(1,1)-M模型；Yang[34]針對匯率交換市場的波動性建立了半參數GARCH模型。Yang等[35]提出了半參數 EGARCH 模型，并將其用于中國股票市場的實證分析中。

目前，還鮮有文獻對半參數CARR模型進行研究。據上述相關文獻中非參數模型和半參數模型的階數設定經驗，本文建立了一階非參數和半參數CARR模型對上海證券市場的波動性進行研究，并對參數CARR模型、非參數CARR模型和半參數CARR模型的擬合能力進行了比較。

2 參數、非參數和半參數CARR(1,1)模型介紹

2.1參數CARR(1,1)模型

在模型形式和性質方面，參數CARR模型類似于GARCH模型以及ACD模型。CARR(1,1)模型如式(3)所示：

(3)

2.2 非參數CARR(1,1)模型

非參數CARR(1,1)模型只包含一般的函數形式：

(4)

式(4)中的Rt、λt、εt所表示的內容同式(3)，只是在非參數CARR(1,1)模型中并不要求εt服從某一特定的分布。式(4)與式(3)最大的區別在于引入了一個光滑但未知的函數m(·)。估計模型中函數m(·)是擬合非參數CARR(1,1)模型最主要的問題。

2.3 半參數CARR(1,1)模型

半參數CARR(1,1)模型包括簡單的參數CARR模型的形式，同時又引入了更一般的函數形式。半參數CARR(1,1)模型形式如式(5)：

(5)

式(5)中，Rt、λt、εt、α所表示的內容同式(3)，只是在半參數CARR(1,1)模型中并不要求εt服從某一特定的分布。同參數CARR(1,1)模型相比，α的存在增加了半參數CARR(1,1)模型的解釋能力。式(5)與式(3)最大的區別在于引入了一個光滑但未知的函數m(·)。估計模型中的α和函數m(·)是擬合半參數CARR(1,1)模型最主要的問題。

3 非參數、半參數CARR(1,1)模型的估計算法

3.1非參數CARR(1,1)模型的估計

為了估計非參數CARR(1,1)模型，必須對式(4)進行變形，變形之后的形式如式(6)所示：

Rt=m(Rt-1,λt-1) +ξt

(6)

其中：ξt=m(Rt-1,λt-1)(εt-1)，且ξt是期望為0、相互獨立的條件異方差過程。一般的非參數模型的估計方法主要有核估計、鄰近估計、局部線性估計、樣條估計等，這些估計方法都比較成熟。其中核估計和局部線性估計因其原理簡單易懂且可操作性強被經常使用，但是核估計存在邊界效應，估計結果的誤差會大于局部線性估計結果的誤差，所以局部線性估計方法的使用率更高于核估計方法。考慮到式(6)中含有未知變量λt-1，不同于一般的非參數模型，需采用迭代算法求出未知函數的漸進估計。綜合考慮，本文將局部線性估計嵌套到迭代算法中來估計最終的模型。

迭代過程如下：

第1步：采用極大似然估計方法估計基于標準指數、weibull分布、gamma分布下的參數CARR(1,1)模型中的參數，從中選擇最優模型，以該最優模型的極差的條件期望{λt,0;1≤t≤n}為半參數模型中的λt-1的初始值，此時設迭代次數j=1。

第2步：用{Rt;2≤t≤n+1}對{Rt;1≤t≤n}和第一步得到的{λt,0;1≤t≤n}做非參數回歸，此時非參數回歸采用二元局部線性回歸估計，該估計通過式(7)實現：

Kh1(Rt-1-R)Kh2(λt-1-λ)

(7)

其中：K(·)為核函數；h為帶寬。

第4步：將迭代次數j的值加1返回第2步，持續到估計結果穩定時為止。

研究以上步驟可以發現：如何進行局部線性估計是整個迭代過程的核心問題。

3.2 半參數CARR(1,1)模型的估計

為了估計半參數CARR(1,1)模型，必須對式(5)進行變形，變形之后的形式如式(8)所示：

Rt=αRt-1+m(λt-1) +ξt

(8)

其中：ξt=Rt-λt，ξt是一個期望為0、相互獨立、條件異方差過程。

一般的半參數模型的估計方法主要有最小二乘核估計、最小二乘鄰近估計、最小二乘局部線性估計等。其中，最小二乘局部線性估計因其原理簡單易懂且可操作性強被經常使用。考慮到式(8)中含有未知變量λt-1，不同于一般的半參數模型，需采用迭代算法求出參數和未知函數的漸進估計。綜合考慮，本文將最小二乘局部線性估計嵌套到迭代算法中來估計最終的模型。

具體的運算步驟如下：

第1步：采用極大似然估計方法估計基于標準指數、weibull分布、gamma分布下的參數CARR(1,1)模型中的參數，從中選擇最優模型，以該最優模型的極差的條件期望{λt,0;1≤t≤n}為半參數模型中的λt-1的初始值，此時設迭代次數j=1。

第4步：將迭代次數j的值加1返回第2步，持續到估計結果穩定時為止。

研究以上步驟可以發現：最小二乘局部線性估計實質上是局部線性估計和最小二乘估計相結合而形成的一種方法。其中，最小二乘法是計量經濟研究中最常用的方法，在此不作贅述。所以，同非參數CARR(1,1)的估計方法一樣，如何進行局部線性估計是擬合半參數CARR(1,1)模型的核心問題。

3.3 局部線性估計

局部線性估計是局部多項式估計的特殊情況。

設變量Y,X，且變量Y與X之間的回歸關系為y=m(x)，回歸函數m(x)在x0的一個鄰域內有連續的p階導數，利用Taylor公式將m(x)在x0處展開：

(9)

運用最小局部加權平方和的方法估計出βj，計算公式如下：

(10)

其中：n為樣本數；k(·)表示核函數；h表示帶寬；β0=m(xr)；β1=m′(xr)。經過計算可以得到：

(11)

其中：

(12)

衡量估計精度的常用指標為均方誤差(mean square error， MSE)

(13)

其中

(14)

(15)

3.3.1 核函數的選取原則

在理論上，核函數必須為高階函數族，而且具備對稱性，即滿足：

(16)

證明見文獻[36]。

從以上理論可知：核函數不一定是密度函數。但是在應用中，一般選取密度函數為核函數，這是因為選取密度函數作為核函數進行估計，估計精度更高。常見的核函數有Boxcar、Gaussian、Epanechnikov、Tricube。而核函數的性能通常是通過漸進均方誤差(asymptotic integral mean square error，AMISE)來衡量的，核函數Epanechnikov能使AMISE達到最小[37]，所以本文選取Epanechnikov作為核函數。

3.3.2 帶寬的選取原則

由式(14)、(15)可知：帶寬過大意味著過度平均化，會掩蓋分布的局部特征，造成較大的偏差；帶寬過小會增加隨機效應，造成較大的方差。鑒于此，需選取最優帶寬來權衡偏差與方差。理論上，最優帶寬的確定主要有3種方法，分別是極小化均方誤差法(mean square error， MSE)、極小化積分均方誤差法(integral mean square error， MISE)和極小化漸進積分均方誤差(asymptotic integral mean square error， AMISE)[38]。采用以上3種方法確定最優帶寬都需要對密度函數有一定的假設，實際上在進行實證時，數據是隨機的，往往存在不滿足假設的情況，導致了這3種方法在理論上具備可行性，在實際操作中困難較大。

Allen[39]和Rudemo[40]提出了采用交叉驗證法(cross validation，CV)確定帶寬。Stone[41]證明了交叉驗證法的合理性。CV法是一種數據本源法(data based)，不需要對密度函數假設，但是CV方法計算復雜。Wahba[42]對CV方法進行了改良，提出了廣義交叉驗證(generalized cross validation，GCV)。

(17)

(18)

其中：I表示單位矩陣；tr(·)表示矩陣的跡。最小化GCV可得到所需要的最優帶寬。

Parkasa[43]證明了在進行非參數回歸估計時，核函數的不同選擇對估計結果并不敏感，而相差甚小的帶寬的估計結果卻差別很大，說明了帶寬決定著估計效果的優劣。因此，本文在確定以Epanechnikov為核函數后，再采用GCV方法確定帶寬以進行局部線性估計。

4 實證研究

4.1 數據的基本統計特征

本文選取上海證券綜合指數(簡稱上證綜指)為研究對象，以該對象的日內最高價與最低價的自然對數之差為樣本序列。樣本的選取時間段為1990年12月19日至2014年6月18日，總共 5 746個數據。

表1 上證綜指日對數價格極差序列的基本統計特征

從表1可知：該樣本的中位數小于均值，存在明顯的右偏現象。針對樣本的正態分布特征，本文采用了Jarque-Bera(即JB)統計量來檢驗。該統計量的值為1 635.395 2，明顯拒絕了正態分布的原假設。

表2給出了利用Augmented Dickey-Fuller(ADF)方法對上證綜指日對數價格極差序列的平穩性檢驗的結果。

表2 上證綜指日對數價格極差序列的平穩性檢驗結果

從檢驗結果看，在1%、5%、10% 3個顯著性水平下，單位根檢驗的臨界值分別是-3.431 3、-2.861 8、-2.567 0，均大于相應臨界值，從而拒絕原假設，表明上證綜指日對數價格極差序列不存在單位根，是平穩序列。

4.2 參數CARR(1,1)模型的建模

假設參數CARR(1,1)模型中的殘差項分別服從標準指數分布、Weibull分布和Gamma分布，以平穩的上證綜指日對數價格的極差序列為樣本數據建立參數CARR(1,1)模型，見表3。

表3 參數CARR(1,1)模型的估計結果

注：[ ]中是參數的t統計量，( )是參數的p值

從表3可以看出：按照最大似然值法，GCARR(1,1)模型的對數似然值最大，并且該模型中的參數可全部通過檢驗，說明在所建立的3個模型中，GCARR(1,1)模型是最優模型，能貼切地描述上海股票市場的波動性。

4.3 非參數CARR(1,1)模型的建模

以平穩的上證綜指極差序列為樣本數據建立非參數CARR(1,1)模型，因為非參數CARR(1,1)模型沒有具體的函數形式，所以在迭代的過程中只能通過選取誤差度量指標來衡量模型的擬合優度。本文選取平均平方誤差(MSE)、平均絕對誤差(MAE)兩種度量指標作為評判標準。

(19)

非參數CARR(1,1)模型的逐次迭代結果如表4所示。

表4 非參數CARR(1,1)的MSE和MAE

從表4可以看出：在迭代的過程中，MSE和MAE的值逐漸變小，說明采用局部線性估計方法進行迭代得到的結果具備穩定性和收斂性。其中，MSE的結果從第1次迭代的0.000 397 613到第12次迭代的0.000 125 349，誤差下降了68.47%，12次迭代的平均誤差是0.000 250 63。非參數CARR(1,1)模型的MAE的結果從第1次迭代的0.006 961 668到第12次迭代的0.006 209 946，誤差下降了10.79%，12次迭代的平均誤差是0.006 557 332。

4.4 半參數CARR(1,1)模型的建模

表5 參數α的逐次估計結果

從表5可以看出：以上證綜指為樣本建立的半參數CARR(1,1)模型中的參數α的估計經過每次迭代后，估計結果都相差不大，說明了該估計方法具備穩定的性質。參數α的取值表示極差的滯后期對極差的條件期望的影響程度，表5中參數α的估計結果可以說明極差的滯后期對極差的條件期望的影響不是很大。

同樣以MSE和MAE為誤差度量指標，半參數CARR(1,1)模型在迭代的過程中誤差變化如表6所示。

表6 半參數CARR(1,1)的MSE和MAE

從表6所示的MSE和MAE的結果可以看出：半參數CARR(1,1)模型的估計值與真實值之間的誤差經過逐次迭代后，估計結果逐漸趨于穩定。MSE的結果從第1次迭代的0.000 181 055到第12次迭代的0.000 115 915，誤差下降了35.97%，12次迭代的平均誤差是0.000 160 327。半參數CARR(1,1)模型的MAE的結果從第1次迭代的0.006 663 427到第12次迭代的0.006 033 249，誤差下降了9.45%，12次迭代的平均誤差是0.006 473 115。

4.5 模型的擬合能力評價

圖1～3分別表示了GCARR(1,1)、非參數CARR(1,1)、半參數CARR(1,1)模型的實際值與估計值之間的對比。

圖1 GCARR(1,1)的真實值與估計值對比

圖2 非參數CARR(1,1)的真實值與估計值對比

圖3 半參數CARR(1,1)的真實值與估計值對比

為了更精確地判別參數GCARR(1,1)、非參數、半參數CARR(1,1)模型哪個可以更好地擬合上海證券市場的波動性，本文對比了這3個模型的MSE和MAE。

表7 參數GCARR(1,1)、非參數、半參數CARR(1,1)的MSE和MAE

表7通過比較MSE和MAE可知：GCARR(1,1)模型的估計值與真實值之間的差異最大。通過比較非參數CARR(1,1)和半參數CARR(1,1)可知：半參數(1,1)的擬合優度高于非參數CARR(1,1)模型，說明在以上證綜指日對數價格的極差為研究對象時，半參數CARR(1,1)模型比非參數CARR(1,1)模型更加穩定。所以，半參數CARR(1,1)的擬合優度最高，非參數CARR(1,1)次之，參數GCARR(1,1)擬合優度最差，說明了半參數CARR(1,1)最適合描述上海股票市場的波動性。

5 結束語

本文基于參數、非參數和半參數CARR(1,1)模型討論了上海股票市場的波動性，實證分析結果表明：

1) 本文采用迭代算法進行非參數、半參數CARR(1,1)模型擬合時，每次擬合的結果都相差不大，說明本文采用的估計方法具有比較穩定的性質。

2) 通過實證得出的MSE和MAE可知：在所建立的3種模型中，半參數CARR(1,1)模型是擬合優度最高的模型。在對上證綜指日對數價格的極差數據進行半參數模型擬合時，趨于穩定的非參數部分擬合的曲線大致呈直線形式，說明極差的條件期望的滯后期以線性的方式影響著極差的條件期望的函數形式。 3) 無論是參數、非參數還是半參數CARR(1,1)模型都說明了上海股票市場的波動具有聚集性和持續性。

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(責任編輯何杰玲)

NonparametricandSemiparametricCARRModelsforShanghaiStockMarketVolatility

GUO Mingyuan, HAN Zhinan

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

2016-02-24

國家社會科學基金資助項目(14CTJ012)

郭名媛(1979—)，女，天津人，博士，副教授，碩士生導師，主要從事金融系統分析研究，E-mail：leu2@163.com；韓志楠(1991—)，女，山西臨汾人，碩士研究生，主要從事金融時間序列分析研究。

郭名媛，韓志楠.基于非參數和半參數CARR模型的上海股票市場波動性研究[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(9):172-181.

formatGUO Mingyuan, HAN Zhinan.Nonparametric and Semiparametric CARR Models for Shanghai Stock Market Volatility[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(9):172-181.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.027

O21;F830

A

1674-8425(2017)09-0172-10