區間二型模糊子空間0階TSK系統*

陳俊勇，鄧趙紅，王士同

江南大學 數字媒體學院，江蘇 無錫 214122

區間二型模糊子空間0階TSK系統*

陳俊勇+，鄧趙紅，王士同

江南大學 數字媒體學院，江蘇 無錫 214122

Abstract:People tend to adopt a few representative features to describe a rule,ignoring very minor,redundant information.The classical interval type-2 TSK(Takagi-Sugeno-Kang)fuzzy system adopts full data feature space at the antecedent and consequent of each rule.For high-dimensional data,it is easy to increase the complexity and reduce the interpretability.This paper proposes the interval type-2 fuzzy subspace zero-order TSK system for this problem.It uses fuzzy subspace clustering and grid partition to generate sparse and structured rule centers at the antecedent,and simplifies the consequent to be zero-order.So an interval type-2 fuzzy system using semantic more concise rules can be built.The experimental results on synthetic datasets and real datasets show that the proposed method owns good classification performance with better interpretability.

Key words:interval type-2 fuzzy system;TSK system;subspace;classification;interpretability

人們傾向于使用少量的有代表性的特征來描述一條規則，而忽略極為次要的冗余的信息。經典的區間二型TSK（Takagi-Sugeno-Kang）模糊系統，在規則前件和后件部分會使用完整的數據特征空間，對于高維數據而言，易導致系統的復雜度增加和可解釋性的損失。針對于此，提出了區間二型模糊子空間0階TSK系統。在規則前件部分，使用模糊子空間聚類和網格劃分相結合的方法生成稀疏的規整的規則中心，在規則后件部分，使用簡化的0階形式，從而得到規則語義更為簡潔的區間二型模糊系統。在模擬和真實數據上的實驗結果表明該方法分類效果良好，可解釋性更好。

區間二型模糊系統；TSK系統；子空間；分類；可解釋性

1 引言

模糊推理系統（fuzzy inference system，FIS）是以模糊集合理論和模糊推理方法為基礎的，具有處理模糊信息能力的系統[1]。傳統的一型模糊系統得到了很多的研究，現已被成功用于智能控制等諸多領域[2-3]。近些年，二型模糊系統吸引了更多研究者的注意[4-8]。這是因為二型模糊系統采用了二型模糊集，增強了其對不確定性問題的處理能力。其中，區間二型TSK模糊系統是易于設計和實現的，同時它的IF-THEN規則是語義化的，易于理解和解釋[5-8]。文獻[5-8]基于KM（Karnik-Mendel）算法[9-11]，結合使用梯度下降[5,8]、支持向量回歸（support vector regression，SVR）[6]、極限學習機（extreme learning machine，ELM）[7]等方法，給出了不同的區間二型TSK模糊系統或區間二型徑向基函數（radial basis function，RBF）神經網絡的構建方法。

在實際應用中，由于缺少專家知識，人們可能制定出冗長的多余的規則，導致模糊系統在可解釋性上有所損失。常用的規則生成方法中[12]，網格劃分法得到的規則易于表述，但可能產生無用的規則；聚類法控制了生成規則的數目，但可能不易描述。又在每一條模糊規則中，一般都要使用所有的輸入特征，但事實上，某些特征在某條規則中的作用極其微小。選擇性地排除規則中的次要信息，有助于得到稀疏后的語義簡單的規則。文獻[13]提出的F-ELM，實則是在一型TS系統中使用網格劃分和隨機法得到前件較為稀疏的規則。由于存在隨機成分，F-ELM生成規則的方式具有一定的盲目性。文獻[14]采用了模糊子空間聚類方法[15-16]，為規則前件的稀疏化提供可信的依據。

針對上述問題，為了得到語義簡單的規則庫，提高模糊系統整體的可解釋性，本文提出了區間二型模糊子空間TSK（Takagi-Sugeno-Dang）系統，主要在規則前件IF部分采用了模糊子空間聚類同網格劃分相結合的方法來生成規則，并簡化規則后件THEN部分為0階形式，基于KM算法，結合使用嶺回歸（ridge regression，RR）[17]方法來學習后件參數。

本文組織結構如下：第2章簡單介紹了區間二型TSK模糊系統和模糊子空間聚類；第3章提出了區間二型模糊子空間TSK系統，詳細說明了規則前件的構造和規則后件的學習；第4章為實驗部分，在模擬數據集和真實的醫學數據集上進行了對比實驗，分析了實驗結果；最后給出一般性結論。

2 相關工作

2.1 區間二型TSK模糊系統

首先，一型TSK模糊邏輯系統（TSK fuzzy logic system，TSKFLS）[2]作為模糊系統中一種經典的推理模型，因其簡潔有效而被廣泛應用。一型TSKFLS的模糊推理規則定義如下。

一型TSK模糊規則RULEk：

其中，IF部分為規則前件，THEN部分為規則后件；K為模糊規則條數，∧表示模糊連接符；規則前件的表示輸入向量x=[x1,x2,…,xd]T的第i維特征xi所對應的第k條模糊規則的模糊子集；為規則后件參數，有時為簡化規則后件，常令=0,1≤i≤d,從而得到0階TSK模糊系統。TSKFLS的模型輸出表達式如下：

其中，fk(x)表示模糊規則IF部分輸出的啟動強度（firing strength），可取乘法算子作為模糊連接符，按式（3）計算得到：

常取高斯關系函數：

其中,和為對應高斯關系函數的中心和標準差。

二型模糊系統使用了二型模糊集，增強集合的模糊性和處理不確定性問題的能力[4]。在各類型的二型模糊系統中，區間二型TSK模糊邏輯系統是易于設計和實現的，其常用的推理規則定義如下。

區間二型TSK模糊規則RULEk：

區別于一型TSK模糊規則，這里IF前件中使用了區間二型的模糊子集?，并可取區間高斯關系函數：

于是，模糊規則IF部分輸出的啟動強度可表示為區間形式，下界和上界分別為：

Fig.1 Interval type-2 membership functions圖1 區間二型關系函數

模糊規則后件THEN部分一般采用IT1型集合，而非精確值，即：

于是后件輸出也是區間形式，可用左右界表示：

最后區間二型TSK模糊系統的輸出為：

式（5）為一般的A2-C1形式，即前件A為二型，后件C為一型。有時也可取A2-C0或A1-C1，A2-C0采用精確值為后件參數，A1-C1則在前件中采用一型模糊集合。

2.2 KM算法

沒有相關的理論可以直接求解式（11），通常要用KM算法迭代地求解出式（11）的近似結果[6-11]。KM算法存在一個規則重排的過程，重排前：

重排后的后件參數為：

Ql和Qr為K×K的矩陣，它們的每一行只有一個1，每一列只有一個1，其余元素為0，若Qr的第行的第k個元素為1，則表示將重排至位置。相應地，有。由此，區間二型TSK模糊系統的輸出可以近似地表示為：

式（15a）和式（15b）中L和R是由KM算法找到的可使yl和yr接近實際值的切換點。

2.3 模糊子空間聚類

傳統的K均值聚類[18]和模糊C均值（fuzzy C-means，FCM）聚類[19]默認數據的各維特征是同等重要，但這在實際應用可能并不成立。模糊子空間聚類（fuzzy subspace clustering，FSC）則充分考慮了各維特征對類簇的不同貢獻程度，從而發現高維數據可能存在的特征子空間[15-16]。FSC的優化目標函數定義如下：

其中，U={ukj}K×N是硬劃分矩陣，ukj表示第j個樣本xj是否屬于第k類簇；V={vki}K×d為K個聚類中心向量的集合；W={wki}K×d為模糊維度權重矩陣，wki表示第i維特征對第k類簇的貢獻程度。

與K均值聚類方法類似，在迭代求解過程中，依據“距離”遠近將不同的數據點劃分到不同的類簇中（更新U），再重新計算類簇的中心（更新V）。不同的是，FSC使用了加權距離每次迭代還要計算新的權重矩陣（更新W），即：

式（16）和式（17）中，指數α＞1，通常可令α=2，ε是一個極小的正則項常數。

理論上，若類簇在某一維度的分布更為緊湊，則對應的權重分量大。刪除極其次要的維度后，留下來的維度就可視為子空間。

3 區間二型模糊子空間0階TSK系統

對于分類問題來說，在一些場景下，依據某幾維特征即可判定輸入數據屬于某一類，也即某類數據具有明顯的子空間特征。如圖2所示，對于分布在第四象限的點，只需依據它們的縱坐標就可將它們同其他兩類分割開來；又如香蕉獨特的形狀有別于蘋果、梨等水果，顏色、含糖量等特征對于從中挑出香蕉這一任務則沒有太大作用。這種情況在其他場景的很多應用中也是很有可能出現的。為了規則語義的明確，定義如下稀疏化的區間二型TSK模糊規則。

區間二型0階TSK模糊子空間規則RULEk：

相比經典的區間二型TSK模糊規則，這里存在兩點不同之處。其一，為了規則的簡潔，后件部分已簡化為C0型0階的形式，即每條規則后件只有一個精確參數；其二，定義矩陣S=[s1,s2,…,sK]T∈RK×d,其中sk=[s(k,1),s(k,2),…,s(k,d)]∈Rd,s(k,i)∈{0,1}表示第k條規則所關心的特征子空間。s(k,i)=0時，,即表示第k條規則不關心第i個輸入特征；反之，表示第k條規則使用第i個輸入特征。特別的，當向量sk中的元素全為1時，前件部分就與經典的區間二型TSK模糊規則無異。

基于這樣一個新的規則定義，本文提出了區間二型模糊子空間TSK系統（IT2-FS-0-TSK system），并參考文獻[6-7]的方法，給了3段式構建方法，具體步驟見下文。

3.1 規則前件的構造

在缺少專家知識的情況下，通常可用網格劃分或聚類的方法產生模糊規則前件。網格劃分的可解釋性更好，但對于高維數據，網格劃分會生成數量龐大的規則，其中一些可能是無用的。減法聚類[12,20]、FCM等方法則可生成有限的規則，即可將聚類中心作為高斯關系函數的中心，但是所得到的規則的語義可能會有所損失。如圖2（a），對于二維坐標系中的3類數據點，它們分別分布在第一、二、四象限，若采用網格劃分法，則在第三象限對應生成了一些無意義的規則中心（圖2中網格線的交點），若采用聚類方法，則規則中心（圖2（a）中的圓點）不落在更具意義的點上。為保證規則的語義明確和數量有限，可以結合這兩種常規方法，即通過微調將聚類所得規則中心移至最近的網格劃分點，如圖2（b）。

Fig.2 Grid partition and cluster centers圖2 網格劃分與聚類中心

同時，還要尋找模糊規則的特征子空間。文獻[13]在網格劃分的基礎上，對規則前件做了隨機的稀疏處理，使得模糊規則更為簡潔。但是，由于含有隨機成分，就需要多次實驗來找到一組較好的稀疏化的規則前件，存在一定的盲目性。綜合考量，本文采用模糊子空間聚類的方法來尋找規則中心V={vki}K×d,并按網格劃分求vki的鄰近點。例如，網格劃分為[0,0.25,0.50,0.75,1.00]，若vki為 0.27，則取均值=0.25。給定超參數h和r：

根據FSC算法得到的權重矩陣W={wki}K×d來適當地抽取子空間特征，以此達到對規則前件進行稀疏的目的。可按式（20）選取權重大的特征：

式（20）中，0≤η＜1為超參數。

于是，按照公式定義的模糊規則，IF部分輸出的啟動強度可表示為區間形式，下界和上界分別為：

3.2 規則后件的初始化

在生成規則前件之后，先初始化規則后件。系統的輸出左界和右界分別為：

最終輸出結果為左右界的中間值：

可令前件參數為：

以及后件參數為：

式（23）即可寫為線性形式：

對于給定的訓練數據集D={xj,yj}，可以得到變換后的數據集={?1(xj),yj}，可令：

按式（27）得到：

這里運用嶺回歸的理論[17]，待優化的目標函數為：

式（30）中λ是正則項超參數。取式（30）關于ω的導數并令其等于0，得到后件參數的最優解：

3.3 規則后件的再學習

在得到初始化的模糊規則后件參數后，即可用KM迭代算法來計算區間二型TSK模糊系統的輸出結果。根據KM算法，增序排列得到重排后的后件參數，并找到切換點L和R：

其中，IM表示M×M的單位矩陣；0M表示M×M的全零矩陣。同理：

式（35）中：

對于給定的訓練數據集D={xj,yj},可以得到變換后的數據集，可令：

按式（37）得到：

這里運用嶺回歸的理論，待優化的目標函數為：

式（41）中λ是正則項超參數。取式（41）關于ω的導數并令其等于0，得到后件參數的最優解：

4 實驗研究

4.1 實驗設置

本文以Matlab 8.1為實驗平臺，所用計算機主頻3.40 GHz，內存4.00 GB，64位操作系統。用到的對比算法為核嶺回歸（kernel ridge regression，KRR）[21]、支持向量機（support vector machine，SVM）[22]、極限學習機（ELM）[23-24]、模糊推理系統（FIS）、基于模糊子間聚類的0階嶺回歸TSK模糊系統（FSC-0-RR-TSKFS）[14]和二型模糊極限學習算法（T2FELA）[7]。其中SVM來自著名的LIBSVM[25]，FIS來自Matlab自帶的工具箱，其他算法依據相關文獻編程實現。

本文分別在模擬和真實數據集上進行了實驗，并采用了網格參數尋優和5折交叉驗證的策略。各算法參數設置及搜索網格如表1所示。最終以“均值±標準差”的形式給出分類測試精度。

Table 1 Parameter settings and search grids of different methods表1 各算法參數設置及搜索網格

4.2 模擬數據集實驗

為了充分體現本文方法的意義，現構造3類、共300例的模擬數據集，每一類100例。每例數據具有12維特征，記為F1～F12。特征分布如圖3所示，可見各類數據具有明顯的特征子空間。A類數據在F4～F7上集中分布在[0,0.4]的范圍，其余特征分布散亂；B類數據在F2～F5上集中分布在[0.35,0.65]的范圍，其余特征分布散亂；C類數據在F7～F10上集中分布在[0.6,1.0]的范圍，其余特征分布散亂；而F1、F11和F12完全都屬于噪聲。

Fig.3 Feature distribution of 3-class synthetic dataset圖3 3類模擬數據的特征分布

在這樣特殊的數據集上，本文方法和FSC-0-RRTSK-FS都將規則數目設為3（不依照表1對此尋優），期望的輸出為[1,0,0]、[0,1,0]和[0,0,1]這3類，實驗結果如表2所示。在去除噪聲維時，KRR、SVM、ELM和本文方法都獲得了0.97以上的分類精度，而在含有噪聲時，各對比算法的分類精度受到明顯影響。在η=0時，即本文方法不使用特征子空間時，其表現與ELM等算法相近；而當η＞0時，即本文方法使用特征子空間，生成稀疏規則時，其表現優于各對比算法。這說明，當分類數據具有特征子空間時，本文方法可有效排除噪聲和次要特征。

表3顯示了5折交叉實驗中最后一折時訓練所得模型參數，即產生了3條模糊規則，每條規則正好對應一類數據。例如，規則R1對應于B類，只使用了F2～F5，而忽略了其他次要特征（包括噪聲）的影響，可解釋為當F2～F5處于中等左右的水平時，數據屬于B類的可能性為1.26。規則R3與期望的有所出入，這是因為FSC是無監督聚類，初始化時含有隨機因素。FSC-0-RR-TSK-FS得到了與表3相似的稀疏規則。總體而言，對于模糊系統而言，本文方法可得到語義更為簡潔的規則，可解釋性更好。實際應用中，情況會復雜得多，通常需要更多的規則來構建區間二型模糊子空間0階TSK系統。

Table 2 Classification accuracies of different methods on synthetic dataset表2 模擬數據集上各算法的分類精度

Table 3 Rules generated by the proposed method on synthetic dataset表3 本文方法在模擬數據集上生成的規則

4.3 真實數據集實驗

本文用到了9個醫學相關的真實數據集，涉及乳癌、心臟病、肝炎等，全部來自UCI機器學習庫（http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets.html），如表4所示。實驗中，除了類標簽外，所有特征都被歸一化到區間[0,1]。其中一些數據集的全部特征都是連續量，而另一些則包含或全部為離散型特征。例如，年齡是連續量特征，而性別是離散型特征。

對于離散型特征，本文方法在生成模糊規則時，將FSC得到的規則中心微調至相近的特征值上；而對于連續量特征，本文方法先設該特征有[0,0.25,0.50,0.75,1.00]這5個等級，生成模糊規則時，將FSC得到的規則中心微調至相近的等級上。這樣做的目的就是為了保證規則語義的清晰。例如，對于人的年齡，可將[0,0.25,0.50,0.75,1.00]解釋為少年、青年、中年、中老年和老年。

實驗結果如表4所示，由于真實數據集的復雜性，本文方法只在部分數據集上獲得了略好于對比算法的分類精度。且當本文方法在Hepatitis等數據集上體現一定優勢時，同樣考慮子空間的FSC-0-RRTSK-FS也取得了相近的結果。在缺少專家知識的情況下，由此可佐證模糊子空間在構造規則前件時所能發揮的作用。

但是，特征子空間的利用不能完全保證取得更高的分類精度，相反，對于各項特征都一般重要的數據集，不恰當地排除一些不十分次要的特征，可能導致信息完整性的缺失。不過，對于本文方法，子空間是可選的，η=0時，即能保證不丟失信息（可能含噪聲），分類精度亦能與其他算法匹敵。而就模糊系統而言，需要強調的是，當采用特征子空間時，結合網格劃分法，本文方法的規則語義更簡潔，可解釋性更好。

一般而言，模糊規則數K會小于訓練樣本數N，于是本文方法的時間復雜度為O(KNt+K2N)，其中t為FSC算法的迭代次數，KM算法最壞時間復雜度和嶺回歸的時間復雜度都是O(K2N)。KRR的時間復雜度和SVM最壞時間復雜度為O(N3)。訓練過程中，本文方法分為3段，包含多個超參數，FSC需要迭代，KM算法涉及排序過程，因而實際用時相比部分算法不具有優勢。

5 結束語

針對傳統的區間二型TSK模糊系統存在的不足，本文使用模糊子空間聚類和網格劃分相結合的方法生成稀疏的規整的規則中心，并簡化規則后件為0階形式，從而得到規則語義更為簡潔，可解釋性更好的區間二型模糊子空間0階TSK系統。對于特征子空間較為明顯的數據，本文方法可發揮去噪、易于解釋等優勢；對于特征子空間不夠明顯的數據，本文方法可取η=0，使用完整的特征空間，保證不丟失信息的完整性。未來工作中，需要研究如何自動識別數據有無特征子空間，以使算法更加智能化。

Table 4 Classification accuracies of different methods on real datasets表4 真實數據集上各算法的分類精度

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Interval Type-2 Fuzzy Subspace Zero-Order TSK System*

CHEN Junyong+,DENG Zhaohong,WANG Shitong
School of Digital Media,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

A

TP181

+Corresponding author:E-mail:enjolras1024@163.com

CHEN Junyong,DENG Zhaohong,WANG Shitong.Interval type-2 fuzzy subspace zero-order TSK system.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(10)：1652-1661.

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology

1673-9418/2017/11(10)-1652-10

10.3778/j.issn.1673-9418.1608023

E-mail:fcst@vip.163.com

http://www.ceaj.org

Tel:+86-10-89056056

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61170122(國家自然科學基金);the Outstanding Youth Fund of Jiangsu Province under Grant No.BK20140001(江蘇省杰出青年基金).

Received 2016-08,Accepted 2016-10.

CNKI網絡優先出版:2016-10-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20161018.1622.014.html

CHEN Junyong was born in 1990.He is an M.S.candidate at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and neural fuzzy computation.

陳俊勇（1990—），男，安徽池州人，江南大學碩士研究生，主要研究領域為人工智能，神經模糊計算。

DENG Zhaohong was born in 1981.He received the Ph.D.degree in light industry information technology and engineering from Jiangnan University in 2008.Now he is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and neural fuzzy computation.

鄧趙紅（1981—），男，安徽蒙城人，2008年于江南大學輕工信息與技術專業獲得博士學位，現為江南大學教授、碩士生導師，主要研究領域為人工智能，神經模糊計算。

WANG Shitong was born in 1964.He received the M.S.degree in computer science from Nanjing University of Aeronautics and Astronautics in 1987.Now he is a professor and Ph.D.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and pattern recognition.

王士同（1964—），男，江蘇揚州人，1987年于南京航空航天大學獲得碩士學位，現為江南大學教授、博士生導師，主要研究領域為人工智能，模式識別。