生態平衡動力學優化算法*

陸秋琴，黃光球

西安建筑科技大學 管理學院，西安 710055

生態平衡動力學優化算法*

陸秋琴+，黃光球

西安建筑科技大學 管理學院，西安 710055

為了解決復雜函數優化問題,提出了一種Lotka-Volterra生態平衡動力學優化算法。該算法假設在某個生態系統中有自養者、消費者和分解者3個種群。自養者主要是植物；消費者主要是以自養者為食的動物；分解者主要分解消費者的死有機體,并給自養者提供營養物質。根據上述生態系統中種群的關系構造出了消費者-自養者算子、自養者-分解者算子、分解者-消費者算子和生長算子。自養者、消費者和分解者種群的生長變化相當于搜索空間的試探解從一個位置轉移到另外一個位置。該算法具有搜索能力強和全局收斂性的特點，為復雜優化問題的求解提供了一種解決方案。

啟發式算法；群智能優化計算；進化計算；Lotka-Volterra生態平衡動力學模型

1 引言

考慮函數優化問題

式中，Rn是n維歐氏空間；X=(x1,x2,…,xn)是一個n維決策向量，變量xi(i=1,2,…,n)為非負實數；H為搜索空間，又稱解空間；f(X)為目標函數；gi(X)≥0為第i個約束條件，i=1,2,…,I,I為不等式約束條件個數；hi(X)=0為第i個等式約束條件，i=1,2,…,E,E為等式約束條件個數。f(X)和gi(X)、hi(X)不需要特殊的限制條件，傳統的基于函數連續性和可導性的數學優化方法無法解決該問題。上述優化問題（1）的求解方法是群體智能優化算法，這類算法具有較廣泛的適用性。已有的智能優化算法有遺傳算法[1]、蟻群算法[2]、粒子群算法[3]、魚群算法[4]、生物地理學優化算法[5]、蝙蝠算法[6]等。

然而，與本文相關的算法是競爭協同進化類算法[7]。該類算法是通過對生態進化中捕食現象的模擬來搜索最優解。彭復明[8]考慮了進化復雜性，對一種競爭協同進化算法進行了進一步擴展研究；彭虎等人[9]提出了一種新的精英區域學習動態差分進化算法，以提高差分進化算法的全局勘探能力和收斂精度；沈佳杰等人[10]提出了一個基于自適應縮放比例因子的差分進化算法，用于解決高維多峰函數全局最優值搜索能力和差分進化算法對高維優化問題的收斂速度問題；李學哲等人[11]提出模擬競爭與協同并存的生物進化機理來求解維數較高或結構復雜系統的優化問題；戚玉濤等人[12]針對多目標優化問題Pareto最優解集合的分布特點，提出了一種基于合作模型的協同免疫多目標優化算法。

為了體現生態系統中常見的不同類型種群間的復雜連環捕食-被食關系，在進化過程中體現不同類型種群的出生率、死亡率、捕食者的捕食率、捕食者食餌消化吸收后轉化的增長率等參數的隨機變化，本文提出了一種新的生態平衡動力學優化方法（ecological balance dynamics-based optimization，EBDO），本文方法具有搜索能力強和全局收斂性的特點，為復雜優化問題的求解提供了一種解決方案。

2 Lotka-Volterra生態平衡動力學優化方法原理

2.1 算法場景設計

為了使本文方法適用于各種優化問題，將優化問題（1）的目標函數改寫成下式：

式中，Fmax為非常大的實數，用于對不滿足約束條件的試探解進行懲罰。

假設在某個生態系統中生長有3個生物種群，第一個是自養者種群，主要是綠色自養，能進行光合作用，吸收無機營養元素的種群，該種群主要指植物；第二個是消費者種群，主要是以自養生物為食的動物；第三個是分解者種群，該種群把消費者死的有機體分解成營養物質，并為自養者種群提供養分。以自養者種群為食的消費者種群有若干種，消費者種群與自養者種群構成消費-自養關系；以分解者種群為食的自養者種群有若干種，自養者種群與分解者種群有自養-分解關系；以消費者種群為食的分解者種群有若干種，分解者種群與消費者種群構成分解-消費關系。生態系統中的3個種群之間相互聯系、相互影響，維持著生態的平衡。將上述場景影射到優化問題（1）的解空間，其含義如下所述。

優化問題的搜索空間H與生態系統相對應。任何時期t，自養者、消費者和分解者種群分別有N個，生態系統共有3N個種群在活動，N個自養者、消費者和分解者種群分別對應于搜索空間中的N個試探解，即，其中，i=1,2,…,N;u∈{P,C,D},P表示自養者種群，C表示消費者種群，D表示分解者種群。每個種群i中的一個特征屬性j對應于優化問題試探解(t)中的一個變量(t)。自養者種群、消費者種群和分解者種群的生長變化相當于搜索空間的試探解從一個位置轉移到另外一個位置。

基于上述場景，可以構造出用于求解優化問題（2）的生態平衡算法。Lotka-Volterra生態平衡的系統動力學模型為：

式中，、分別為自養者種群的出生率和死亡率；、分別為消費者種群的出生率和死亡率；a、b、ciii分別為自養者、消費者和分解者的生物量（密度）；Vij為第j類消費者的單位生物量所需第i類自養者生物量的消費系數；Zki為第i類自養者吸收第k類分解者營養的吸收系數；Gij為第i類分解者分解第j類消費者的消費系數；Uij為第j類消費者被分解為i類養分的生產強度；Wki為第k類生產者吸收i類養分的吸收系數。MA為對消費者產生影響的自養者集合；MB為對自養者產生影響的消費者種群集合；MC為對自養者產生影響的分解者集合；MD為對消費者產生影響的分解者集合。

為方便計算，將式（3）涉及到的參數改為隨時間隨機變化，并將式（3）改為離散遞推形式，即：

經過上述改進后，式（4）更能體現種群演化過程中的隨機變化特征，且模型參數個數大幅減少。在時期t，自養者種群i、消費者種群i和分解者種群i在它們各自所在的種群中所占的比例分別為和(t)，即：

時期t，種群類別為u∈{P,C,D}的種群i的生長能力強弱用生長指數IPI來表示，其計算方法為：

式中，(t)為時期t類別為u的種群i對應的試探解。

2.2 特征種群集合生成方法

時期t，當前種群類別為u，u∈{P,C,D},種群編號為i，具有不同特征的種群集合生成方法如下。

（1）高密度種群集ASu：從類別為u的N個種群中隨機挑選出L個種群，由其編號形成的集合使得對于所有滿足。L又稱為施加影響的種群數。

（2）優勢種群集合OMu：從類別為u的N個種群中隨機挑選出L個種群，這些種群的IPI指數比當前類別為u的種群i的IPI指數高，由其編號形成的集合使得對于所有滿足。

（3）強勢種群集合SOu：從類別為u的N個種群中隨機挑選出L個種群，這些種群的IPI指數和占比要比當前類別為u的種群i的IPI指數和占比高，形成強勢種群集合即對于所有有且占比

2.3 演化算子設計

在算子設計中，因各算子描述的是一個種群以另外一些種群為食或者以另外一些種群制造的養分為食后，其生長特征發生變化情況，故算子設計的生物學原理是：讓被食者種群的一些特征的生長狀態值經過加工處理后賦給捕食者種群，使得捕食者種群的生長特征發生變化。此相當于捕食者種群食用一些被食者種群的部分器官或者提供的一些養分（此相當于一些特征），并經過消化吸收（相當于加工處理）后，捕食者種群因吸收到營養而獲得生長。加工處理的方法可以設計出不同的形式，本文提出了兩種最簡單的形式：一種是對被食者種群若干特征的生長狀態值進行加減混合運算（相當于加工處理）；另一種是對種群的若干特征的生長狀態值進行加權求和運算（也相當于加工處理）。

（1）消費者-自養者算子。該算子描述的是消費者種群食用一些自養者種群后，其生長特征發生變化情況。該算子分3種情況：消費者種群食用高密度自養者種群、優勢自養者種群和強勢自養者種群。對于消費者種群i來說，3種情況的計算公式如式（9）所示，3種情況計算的區別是消費者種群的食物來源不同。

（2）自養者-分解者算子。該算子描述的是自養者種群吸收分解者提供的養分，其生長特征發生變化的情況。該算子分為3種情況：自養者種群吸收高密度分解者種群、優勢分解者種群和強勢分解者種群。3種情況的計算公式如式（10）所示，3種情況計算的區別是自養者種群的食物來源不同。

（3）分解者-消費者算子。該算子描述的是分解者種群吸收消費者種群，其生長特征發生變化的情況。該算子分為3種情況：分解者種群吸收高密度消費者種群、優勢消費者種群和強勢消費者種群。3種情況的計算公式如式（11）所示，其計算的區別是分解者種群的食物來源不同。

（4）生長算子。該算子描述的是自養者種群、分解者種群和分解者種群的生長，即：

2.4 EBDO算法設計

Lotka-Volterra生態平衡動力學優化方法包括如下步驟：

步驟1初始化。（1）令t=0,按表1初始化本文方法中涉及到的參數。（2）分別隨機確定N個自養者種群、消費者種群和分解者種群的初始密度a1(0),a2(0),…,aN(0);b1(0),b2(0),…,bN(0);c1(0),c2(0),…,cN(0)。（3）隨機確定3N個試探解。

Table 1 Methods of parameters taking values表1 參數的取值方法

步驟2執行如下EBDO算法主體。

Fort=0toG

初始化Lotka-Volterra生態平衡的系統動力學模型參數：

生成特征種群集合ASu、OMu、SOu，u∈{P,C,D};

按式（4）計算ai(t+1)、bi(t+1)、ci(t+1);

p=Rand(0,1);//p為自養者種群i、消費者種群i和分解者種群i食用其他種群或吸收其他種群提供的養分，其生長特征受到影響的實際概率q0=Rand(0,1);//q0為消費者-自養者算子、自養者-分解者算子、分解者-消費者算子被執行的實際概率

Ifq0≤1/3then//執行消費者-自養者算子

m0=Rand(0,1);//m0為執行消費者-自養者算子時采用高密度種群、優勢種群和強勢種群執行的實際概率

從高密度種群集合ASP中隨機選擇3個種群，按式（9）計算消費者-自養者算子，得到vi,j(t+1);

從優勢種群集合OMP中隨機選擇3個種群，按式（9）計算消費者-自養者算子，得到vi,j(t+1);

從強勢種群集合SOP中隨機選擇3個種群，按式（9）計算消費者-分解者算子，得到vi,j(t+1);

d0=Rand(0,1);//d0為執行自養者-分解者算子時采用高密度種群、優勢種群和強勢種群執行的實際概率

從高密度種群集合ASD中隨機選擇L個種群，按式（10）計算自養者-分解者算子，得到vi,j(t+1);

從優勢種群集合OMD中隨機選擇L個種群，按式（10）計算自養者-分解者算子，得到vi,j(t+1);

從強勢種群集合SOD中隨機選擇L個種群，按式（10）計算自養者-分解者算子，得到vi,j(t+1);

f0=Rand(0,1);//f0為執行分解者-消費者算子時采用高密度種群、優勢種群和強勢種群執行的實際概率

從高密度種群集合ASC中隨機選擇L個或3個種群，按式（11）計算分解者-消費者算子，得到vi,j(t+1);

從優勢種群集合OMC中隨機選擇L個或3個種群，按式（11）計算分解者-消費者算子，得到vi,j(t+1);

從強勢種群集合SOC中隨機選擇L個或3個種群，按式（11）計算分解者-消費者算子，得到vi,j(t+1);

End for

按式（12）執行生長算子，得到Xi(t+1);

End for

If新得到的全局最優解X*t+1與最近一次獲得的全局最優解之間的誤差滿足最低要求εthen轉步驟3；

End if

保存新得到的全局最優解X*t+1;

End for

步驟3結束。

2.5 EBDO算法的特性

（1）演化過程具有Markov特性。從消費者-自養者算子、自養者-分解者算子、分解者-消費者算子等的定義知，任何一個種群新一代的生成只與該種群的當前狀態有關，而與該種群以前是如何演變到當前狀態的歷程無關。

（2）演化過程具有“步步不差”特性。由生長算子的定義可知每個種群不會向差的方向演化。

2.6 EBDO算法的時間復雜度

EBDO算法的時間復雜度計算過程如表2所示，其時間復雜度與演化時期數G、種群個體規模3N、變量個數n和各算子的時間復雜度以及其他輔助操作相關。

Table 2 Time complexity in EBDO algorithm表2 EBDO算法的時間復雜度

3 EBDO算法的收斂性證明

EBDO算法的演化過程具有Markov特性，則表明新一代試探解的生成只與當前代試探解有關，老的試探解無需保留，故可以使算法的空間復雜度降到最低。

從當前位置出發，下一步可能的搜索方向有3個：向比當前位置更好的方向搜索，留在當前位置不動，向比當前位置更差的方向搜索。文獻[13]已證明，若上述3個搜索方向等概率發生，則搜索過程收斂到全局最優解的概率為0。

但是，若從當前位置出發，下一步搜索方向只保留兩個，即要么向比當前位置更好的方向搜索，要么留在當前位置不動，這種搜索策略簡稱為“步步不差”。文獻[14]已證明，搜索過程收斂到全局最優解的概率為1。

由于EBDO算法的演化過程具有Markov特性和“步步不差”特性，根據文獻[14]可得如下定理成立。

定理1 EBDO算法具有全局收斂性。

定理1的證明方法可參見文獻[14]，本文不再贅述。

EBDO算法的收斂性由算法的特性決定，更精確地說，EBDO算法的收斂性由消費者-自養者算子、自養者-分解者算子、分解者-消費者算子的Markov特性和生長算子的“步步不差”特性決定，而這些特性正是大自然進化法則“優勝劣汰，適者生存”的體現。EBDO算法另一個突出優勢是：算法利用生態平衡動力學理論，使搜索過程達到生態平衡時出現收斂，而生態平衡動力學理論可以幫助算法選擇最合理的參數實現收斂。

4 EBDO算法的性能比較及其探查和求精能力分析

4.1 EBDO算法與其他算法比較

EBDO算法測試實驗采用的硬件環境：CPU是Intel Core? I5，M520@2.40 GHz，內存是4 GB，操作系統為Windows 7。本文使用CEC2013[15]所提供的國際上通用的基準函數來測試EBDO的性能。本文選擇的6個基準函數為F23～F28，如表3所示，這6個基準函數在CEC2013所提供的28個基準函數中是最難求解的。這些函數更多的信息見參考文獻[15]。

在表3中，優化問題的維數為D,D=n;O是一個n維決策向量。這里用EBDO算法求解表3所示的基準函數，EBDO算法的參數是D=n=10,30,50,ε=1.0E-10,N=200,G=100 000D,運行次數=51;F23～F28中參數M1和M2的值根據文獻[15]設置，為了進行收斂性分析，O的值隨機產生。

Table 3 Optimization problems of benchmark functions表3 基準函數優化問題

選擇7種優化算法與EBDO算法進行比較，這些算法包括：RC-GA（real code genetic algorithm）[16]，DASA（deferential ant-stigmergy algorithm）[17]，NPPSO（non-parametric particle swarm optimization）[18]，BBO（biogeography-based optimization）[5]，DE（deferential evolution）[19]，SaDE（self-adaptive deferential evolution）[20]和 ABC（artificial bee colony）[21]。計算時，7種被比較的優化算法的參數按表4進行初始化，這些參數來自其對應的文獻。

Table 4 Parameters setting of 7 compared optimization algorithms表4 7個被比較優化算法的參數設置

用這些算法對每個基準函數獨立求解51次，表5列出了平均最優目標函數值和CPU耗時。表5的排名是按該算法的平均最佳目標函數值和CPU耗時排序，表中ac分別表示D=50、30、10時的名次。表6是對EBDO算法和7個被比較算法的最好結果進行非參數Wilcoxon秩和檢驗，以便確定對每個基準函數進行求解時，EBDO算法所產生的結果是否在統計學意義上與7個被比較算法所得到的結果有顯著差異。檢驗結果如表6所示，表中h-value=1表明EBDO算法的性能差異從統計意義上來說有99%的概率優于被比較的算法，h-value=-1表示被比較的算法明顯優于EBDO算法，而h-value=0表示兩個算法的結果差異不顯著。

從表5中可以看出，EBDO、RC-GA、DASA、NPPSO、BBO、DE、SaDE和ABC的綜合排序如下：

EBDO＞NP-PSO＞DE＞BBO＞ABC＞SaDE＞DASA＞RC_GA

從表6中可以知道，EBDO算法的性能明顯優于7個被比較算法。

圖1（a）～（f）說明 EBDO、RC-GA、DASA、NPPSO、BBO、DE、SaDE和ABC 算法求解基準函數F23～F28時的收斂曲線。為了突出這些收斂曲線的變化，水平和垂直軸采用對數刻度。

4.2 EBDO算法探查和求精的能力分析

EBDO算法的探查新空間（exploration）和求精（exploitation）的能力表現在如下幾方面。

（1）求精能力：當種群個體通過尋優聚集在最優區域時，生態系統逐步趨于平衡，Lotka-Volterra生態平衡動力學理論可使得一些種群個體有效找到全局最優解。例如，在圖1（a）中，當演化進行到10 s以后，即進入最優區域，此時生態系統逐步趨于平衡，搜索已開始接近最優解，算法的求精能力開始起作用。

（2）探查能力：當種群個體通過搜索時，種群間通過捕食和被捕食發生信息交換，從而使得搜索快速探測出新搜索區域。例如，在圖1（c）中，當演化在100 s之內出現過4次強烈的探測新空間的活動，IPI指數上升很快，算法的探查能力起明顯作用。

（3）探查和求精活動交替出現：當搜索接近最優區域時，生態系統逐步趨于平衡，算法的探查和求精

活動會交替出現。例如，在圖1（b）中，當演化進行到13 s以后，即進入最優區域，此時生態系統趨于平衡，IPI指數上升較慢，算法的探查和求精能力會交替起作用。

Table 5 Comparison results of EBDO and 7 compared algorithms when solving benchmark functions F23～F28表5 EBDO和7個被比較算法求解基準函數F23～F28的結果比較

Fig.1 Convergence curves of benchmark functions F23～F28圖1 基準函數F23～F28的收斂曲線

Table 6 Results comparison of Wilcoxon rank sum test of performance of EBDO and 7 compared algorithms(α=0.01,D=50)表6 EBDO和7個被比較算法的性能的Wilcoxon秩和檢驗結果比較(α=0.01,D=50)

5 結論

與現有算法相比，EBDO算法具有如下優點：

（1）EBDO算法采用Lotka-Volterra生態平衡動力學理論，該理論與其他算法所采用的理論完全不同，為復雜優化問題的求解提供了一種解決方案。

（2）EBDO算法的搜索能力很強。EBDO算法包括消費者-自養者算子、自養者-分解者算子和分解者-消費者算子，這些算子可增加其搜索能力。

（3）模型參數取值簡單。采用隨機方法確定算法中消費者-自養者算子、自養者-分解者算子和分解者-消費者算子模型中的相關參數，既大幅減少了參數輸入個數，又使模型更能表達實際情況。這是因為：①生態系統本身在演化過程中充滿隨機性，在消費者-自養者算子、自養者-分解者算子和分解者-消費者算子模型中的相關參數采用隨機方法確定的確能反映生態系統隨機變化的實際情況；②生態平衡動力學理論就是基于隨機性場景構建的；③群智能算法是隨機搜索算法的一種，確保隨機性能，防止搜索陷入局部最優解陷阱而無法跳出。

（4）自養者種群、消費者種群和分解者種群數量的增減相當于搜索空間的試探解從一個位置跳到另外一個位置，這種性質有利于使搜索跳出局部最優解陷阱。

（5）EBDO算法所涉及的演化過程豐富多彩，體現出了生態系統中常見的不同類型種群間的復雜連環捕食-被食關系。

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Ecological Balance Dynamics-Based Optimization*

LU Qiuqin+,HUANG Guangqiu
School of Management,Xi'an University ofArchitecture and Technology,Xi'an 710055,China

To solve some complicated function optimization problems,this paper proposes the ecological balance dynamics-based optimization(EBDO)algorithm based on the Lotka-Volterra ecological balance dynamics.The algorithm supposes that some types of autotrophy(such as plants),consumer(such as animals)and decomposer population exist in the ecosystem,consumer populations take autotrophy populations as food;decomposer populations take dead consumer populations as food and provide nutrition for autotrophy populations.This paper constructs the consumer-autotrophy operator,autotrophy-decomposer operator and decomposer-consumer operator by using the above relationship between ecosystem phenomena.The growth of autotrophy,consumer and decomposer populations is equivalent to alternative solutions transferring from a position to another in the search space of an optimization problem.Results show that the algorithm has the characteristics of strong search capability and global convergence,and has a high convergence speed for the complicated function optimization problems.

heuristic algorithm;swarm intelligence optimization computation;evolution computation;Lotka-Volterra ecological balance dynamics model

+Corresponding author:E-mail:luqiuqin88@163.com

LU Qiuqin,HUANG Guangqiu.Ecological balance dynamics-based optimization.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(10)：1689-1700.

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology

1673-9418/2017/11(10)-1689-12

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* The General Project of Humanity and Social Science Programming Foundation of Ministry of Education of China under Grant No.15YJA910002 (教育部人文社會科學研究規劃基金項目); the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China under Grant No. 2017JM5011 (陜西省自然科學基礎研究計劃面上項目); the Industrialization Project of Department of Education of Shaanxi Province under Grant No. 16JF015 (陜西省教育廳服務地方專項計劃項目).

Received 2016-07,Accepted 2016-10.

CNKI網絡優先出版:2016-10-18,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20161018.1622.012.html

A

TP301.6

LU Qiuqin was born in 1966.She received the Ph.D.degree in management science and engineering from Xi’an University of Architecture and Technology in 2010.Now she is a professor at Xi’an University of Architecture and Technology.Her research interests include Petri-net theory and application,swarm intelligent algorithm and numerical simulation,etc.

陸秋琴（1966—），女，廣西南寧人，2010年于西安建筑科技大學獲得博士學位，現為西安建筑科技大學教授，主要研究領域為Petri網理論與應用，群智能算法，數值模擬等。

HUANG Guangqiu was born in 1964.He received the Ph.D.degree from Northeastern University in 1995.Now he is a professor and Ph.D.supervisor at Xi’an University of Architecture and Technology.His research interests include Petri-net theory and application,system dynamics,swarm intelligent computation and computer simulation,etc.

黃光球（1964—），男，湖南桃源人，1995年于東北大學獲得博士學位，現為西安建筑科技大學教授、博士生導師，主要研究領域為Petri網理論與應用，系統動力學，群智能算法，計算機模擬等。