機電集成形狀記憶合金活齒傳動裝置受力分析

柴宗興 許立忠

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

機電集成形狀記憶合金活齒傳動裝置受力分析

柴宗興 許立忠

燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

為了研究機電集成形狀記憶合金(SMA)活齒傳動裝置的受力規律，采用電流直接加熱方式并基于Brinson的一維本構模型，推導出裝置中SMA的驅動方程；通過活齒傳動裝置受力分析，建立了裝置的耦合力學方程,繪出了裝置參數變化時活齒受力隨輸出軸轉角變化曲線和不同輸入電流下輸出特性曲線，得到了裝置參數變化對活齒受力的影響規律和輸入電流對裝置輸出特性的影響規律。研究結果為裝置的進一步優化和動力學研究提供了參考，為樣機的制作和試驗提供了依據。

形狀記憶合金； 活齒傳動； 多場耦合； 受力分析； 輸出特性

Abstract:In order to study the force laws of a movable teeth transmission integrated with SMAs, using direct current heating method and one-dimensional constitutive model of Brinson ,the driving equations of the SMA in the transmission were derived. Through the force analysis of the movable gear transmission, the coupling force equations of the transmission were established. The force curves of the movable tooth with the output shaft angles were plotted when the device parameters were changed,and the output curves were plotted under different input currents. The influences of the parameters on the force in the the movable tooth and the output curve under the input current were obtained.The results provide a theoretical basis for the further optimization and dynamics of the system, and provide the basis for the prototype manufactures and tests.

Keywords:shape memory alloy (SMA); movable teeth transmission; many field coupling; force analysis; output characteristics

0 引言

當前國內外常采用的智能驅動方式有壓電驅動、磁致伸縮驅動和形狀記憶合金(SMA)驅動三類。與壓電材料和磁致伸縮材料比較，SMA的能量密度最高,同時也具有較高的驅動頻率和較大的應力應變，綜合性能突出[1]。SMA在航空航天、微型機器人、精密儀器儀表、生物工程、醫學工程等領域均有廣闊的應用前景。

SMA驅動器可分為直線式和旋轉式。目前國內外大部分采用直線式。何存富等[2]提出了預拉伸的SMA絲扭力圓管驅動。劉穎等[3]利用SMA的記憶特性設計了一種低轉速可連續旋轉的電機。李賀等[4]提出了一種基于SMA與電機混合驅動的電機。吳佳俊等[5]提出了一種可實現正反兩向扭轉的SMA驅動器。HWANG[6]設計出由三根SMA絲驅動,以漸開線齒輪為傳動的旋轉驅動器。SMA驅動的旋轉驅動器鮮有報道。

本文提出了機電集成SMA活齒傳動裝置。該裝置利用活齒傳動把SMA的拉伸變形轉化為激波器的行波運動，從而轉化為輸出軸的旋轉運動。該裝置具有結構簡單、體積小和低轉速等優點。活齒傳動作為一種重要傳動機構，一直受到科技工作者的廣泛關注。李瑰賢等[7]對滾柱活齒傳動進行了受力研究；李劍鋒等[8]研究了一種采用凸輪激波的滾動活齒傳動；李懷勇等[9]、李沖[10]研究了新型壓電電機中活齒傳動規律； YI 等[11]研究了一種新型純滾動活齒傳動。機電集成SMA活齒傳動裝置的受力分析是該種傳動裝置設計、分析和性能控制的重要基礎，目前研究仍處于空白階段。本文通過建立該傳動裝置的力學方程，得出活齒受力隨輸出軸轉角變化的規律、基本參數變化對活齒受力的影響及輸入電流對裝置輸出特性的影響。

1 基本結構及工作原理

機電集成SMA活齒傳動裝置主要由驅動和傳動兩部分組成，其結構如圖1所示。驅動部分由一對互成90°的SMA絲和一對互成90°的偏置彈簧組成。傳動部分是由激波器、活齒、活齒架和中心輪組成的活齒傳動,其中活齒架與輸出軸固連，中心輪與機架外殼固連。

圖1 機電集成SMA活齒傳動裝置組裝圖Fig.1 The assembly diagram of the movable teeth transmission integrated with shape memory alloys

工作時，給一側的SMA絲通電，SMA絲溫度升高，發生馬氏體逆相變,產生形變克服彈簧力恢復變形前形狀，拉動激波器運動；當不通電時，SMA絲逐漸冷卻，在彈簧作用下產生變形，同時拉動激波器運動。從而激波器形成一個往復振動過程。同理，電信號作用在另一側SMA絲上時，激波器也形成一個往復振動過程。激波器在兩個垂直方向上往復振動的疊加，使激波器繞固定的中心做行波運動。激波器激發活齒轉動，使固連活齒架的輸出軸轉動輸出扭矩。

2 靜力學方程的建立

圖2所示為單根SMA絲驅動簡化模型。在加熱前，SMA組織結構全為非孿晶馬氏體。選取驅動應力σL=σf=210 MPa。

(a)加熱過程 (b)冷卻過程圖2 SMA驅動簡化模型Fig.2 SMA drive simplified model

當加熱升溫滿足逆相變條件

時，SMA發生馬氏體逆相變過程，由于T>TAs，由Brinson模型中相變方程可知[12]:

(1)

馬氏體逆相變一維本構方程為

(2)

式中，EM、EA分別為SMA在馬氏體、奧氏體狀態下的彈性模量；ε為應變；σ為應力；εmax為最大相變應變；ρ為密度；Δμ0為相對初始溫度下內能的變化量；Δη0為相對初始溫度下熵的變化量；σas為T>TMs時奧氏體相變開始臨界應力；σaf為T>TMs時奧氏體相變結束臨界應力；TMs為馬氏體相變開始溫度；εas、εaf分別為σas、σaf對應的彈性應變。

表1所示為本文選用SMA材料的參數取值。

表1 SMA材料參數表Tab.1 The parameters of SMA

將σL=σf和表1中相關參數代入馬氏體逆相變一維本構方程相應應變得εL=0.04875。

當滿足正相變條件

時，SMA發生馬氏體正相變。由于T>TMs，由Brinson模型中相變方程可知[7]:

(3)

式中，σs為T

激波器幾何中心運動到另一端時，SMA絲的應變

εH=εL-εa

(4)

設工作驅動力為W，則有

(5)

驅動過程中應力應變的驅動斜率關系為

(6)

則驅動路徑中應力應變關系為

(7)

由于SMA絲的表面積和質量都很小，輻射換熱量和相變潛熱遠小于加熱所產生的熱量，二者可忽略不計，則SMA熱效應方程為

(8)

式中，c為SMA的定壓質量熱容，其值為7.14J/(kg·K)；ρR為SMA絲的平均電阻率[13]，取為0.8×10-6Ω·m；I為SMA的加熱電流；S為SMA絲的換熱面積；h為自然條件下，對流換熱表面傳熱系數,為5W/(m2·K)；m為SMA絲的質量；d為SMA直徑；Tf為流體溫度，一般情況下，可認為與環境溫度近似相等；T1為SMA相變的初始溫度；t為加熱時間。

SMA驅動的受力如圖3所示。偏置彈簧的變形量與SMA絲的形變量關系為

(9)

式中，ε1、ε2分別為X軸和Y軸SMA絲的應變；L3、L4分別為X軸和Y軸偏置彈簧的伸長量。

圖3 SMA驅動受力圖Fig.3 The force diagram of SMA drive

如圖3所示，對X軸和Y軸SMA絲驅動進行受力分析，可得

(10)

SMA驅動對激波器的作用合力為

(11)

活齒傳動中激波器的受力分析如圖4所示。

圖4 激波器受力圖Fig.4 The force diagram of wave generator

以激波器為研究對象，列平衡式：

(12)

θ=2π/zG

式中，θ為相鄰兩個活齒間夾角；Fjmax為激波器對活齒的最大作用力;Fji為激波器對活齒i的作用力；zG為活齒數。

假設只有激波器變形，活齒和中心輪不變形，在驅動力F的作用下，激波器沿徑向的最大位移為δjmax，此時每個活齒的徑向位移為

δji=δjmaxcos(iθ)

(13)

根據赫茲理論，活齒和激波器嚙合副間各接觸點變形與二者間相互作用力Fji間的關系[14]為

(14)

式中，KH為赫茲接觸剛度。

聯立式(12)～式(14)得

(15)

本裝置采用中心輪齒數zK=14,活齒數zG=15的活齒傳動,則有傳動比

i12=zG/(zG-zK)=15

每個活齒在轉動過程中可以轉動到其他活齒的位置,為使研究問題得以簡化，以第i個活齒為研究對象來代替其他所有活齒轉動[15]。忽略傳動過程中的摩擦及裝配誤差，則第i個活齒的受力如圖5所示。圖中，R為激波器半徑，r為活齒半徑。

以第i個活齒球心O2、激波器的圓心A和中心輪軌跡的幾何中心O三點共線位置(即O1、A1和O三點共線)為Y軸，建立圖5所示坐標系。已知當激波器轉過φ1角時，第i個活齒隨活齒架轉過φ2角,則傳動比i12=φ1/φ2。通過分析可知，活齒架每轉過π/210 角度時，就會有一個活齒與中心輪齒廓的齒頂相切。轉過π/105角度時，就會有一個活齒退出嚙合。

對第i個活齒列受力平衡方程：

(16)

式中，Fsi為活齒架作用在第i號活齒上的力；Fgi為中心輪作用在第i號活齒上的力。

圖5 活齒受力圖Fig.5 The force diagram of movable teeth

忽略傳動過程中間隙，且只考慮激波器與圓柱活齒接觸的彈性變形，則在驅動力作用下，當激波器轉過微小角度Δθ時，活齒與激波器間接觸處產生的彈性變形為[16]

式中，ε為活齒對激波器造成的最大彈性變形。

假設活齒與激波器間作用力與激波器變形量成正比，則有

(17)

由轉矩的定義可得裝置的輸出轉矩:

(18)

式中，Si為第i號活齒的向徑。

聯立式(1)～式(3)、式(7)、式(8)、式(10)、式(11)、式(15)～式(17)，裝置的耦合靜力學方程為

3 算例的求解與分析

3.1 活齒受力分析

選取X軸SMA絲電流

式中，n為自然數。

進行加熱，其中Y軸方向電流比X軸滯后1 s，其電流曲線如圖6所示。裝置的基本參數如表2所示，代入裝置的耦合靜力學方程，則SMA溫度曲線如圖7所示。以剛開始進入嚙合區域的活齒為研究對象，激波器轉過2π為例進行求解。繪制活齒受力曲線,如圖8所示。

由圖8可得如下結論：

(1)當輸出軸轉角為0(激波器轉角為0)時，剛進入嚙合區域的活齒恰好處于受力的臨界點；

(2)當輸出軸轉到π/30(即激波器轉角為π/2)時，活齒受到來自激波器、中心輪和活齒架的力均達到最大值；

圖6 電流I1曲線Fig.6 The curve of current I1

參數數值參數數值d(mm)0.3zK14L0(mm)20a(mm)0.2K(N/mm)10.6R(mm)7.5L'0(mm)2.6r(mm)1.5zG15

圖7 溫度θw曲線Fig.7 The curve of temperature θw

圖8 活齒受力曲線Fig.8 The curve of forces on movable teeth

(3)當輸出軸轉到π/14(即運動到中心輪齒頂)時，活齒所受激波器的力為0(即不參與嚙合)；

(4)活齒在傳動過程中，中心輪對活齒的作用力Fgi最大，其次是激波器對活齒的作用力Fji，活齒架對活齒的作用力Fsi最小。

3.2 裝置參數對活齒受力影響

不改變SMA的輸入電流和冷卻方式，只改變裝置的相關參數，可得一系列裝置參數對活齒受力的影響。圖9～圖12所示分別是 SMA絲直徑d、激波器偏心距a、活齒半徑r和激波器半徑R變化對活齒受力的影響。

由圖9～圖12可得：

(1)隨著SMA絲直徑d的增大，活齒受力Fji、Fsi和Fgi均隨之增大，其中對Fgi影響最為顯著，對Fsi影響最小；

(2)隨著激波器偏心距a的增大，活齒受力Fji、Fsi和Fgi均隨之增大，其中對Fsi影響最為顯著，對Fji影響最小；

(3)隨著活齒半徑r的增大，活齒受力Fgi隨之增大，活齒受力Fji和Fsi隨之減小，但變化均不顯著；

(4)隨著激波器半徑R的增大，活齒受力Fji、Fsi和Fgi均隨之減小，其中對Fsi影響最大，對Fji影響最小，但變化均不顯著；

(5)當輸出軸轉角在0～π/14角度范圍內變化時，隨著輸出軸轉角增大，同一參數變化對活齒受力影響顯著增強；當輸出軸轉到π/30時，同一參數變化對活齒受力影響達到最大；之后隨著轉角增大，同一參數變化對活齒受力影響又逐漸減小。

3.3 SMA輸入電流對輸出特性的影響

分別選取SMA輸入電流I1、I2和I3進行加熱，Y軸方向電流比X軸滯后1/4周期，其電流曲線如圖6、圖13和圖14所示。其中IX2、IY2的幅值分別為15.16 mA和13.975 mA，周期為3.2 s，冷卻方式采用吹冷風的強制冷卻，對流換熱表面傳熱系數為6.3 W/(m2·K)；IX3、IY3的幅值分別為19.41 mA和17.89 mA，周期為2 s，冷卻方式仍采用強制冷卻，對流換熱表面傳熱系數為10.32 W/(m2·K)。分別把輸入電流I1、I2、I3及相應的冷卻參數和表2中裝置的基本參數代入靜力學方程和輸出轉矩式(18)，可得SMA輸入電流對裝置輸出轉矩的影響曲線，如圖15所示。

(a)Fji曲線 (b)Fsi曲線 (c)Fgi曲線圖9 SMA絲直徑d變化對活齒受力的影響Fig.9 The effects of don stress of movable tooth

(a)Fji曲線 (b)Fsi曲線 (c)Fgi曲線圖10 激波器偏心距a變化對活齒受力的影響Fig.10 The effects of a on stress of movable tooth

(a)Fji曲線 (b)Fsi曲線 (c)Fgi曲線圖11 活齒半徑r變化對活齒受力的影響Fig.11 The effects of r on stress of movable tooth

(a)Fji曲線 (b)Fsi曲線 (c)Fgi曲線圖12 激波器半徑R變化對活齒受力的影響Fig.12 The effects of R on stress of movable tooth

圖13 電流I2曲線Fig.13 The curve of current I2

圖14 電流I3曲線Fig.14 The curve of current I3

(a)隨時間變化

(b)隨輸出轉角變化圖15 輸入電流對輸出轉矩的影響曲線Fig.15 The effects of input current on the output torque

由圖15可得：當SMA輸入電流I增大時，輸出轉矩隨時間變化的周期縮短，即裝置的輸出轉速隨電流的增大而增大,但對輸出轉矩隨輸出轉角變化無影響。

4 結論

(1)中心輪受力最大，最易出現磨損現象，在活齒傳動裝置實際設計中應優先考慮中心輪材料的力學性能。

(2)SMA絲直徑和激波器偏心距對活齒受力影響較大，若想改變裝置中受力情況，應主要考慮改變SMA絲直徑和激波器偏心距兩個參數。

(3)活齒受力與SMA絲直徑、激波器偏心距成正相關，與激波器半徑成負相關；中心輪作用在活齒上的力與活齒半徑成正相關，激波器作用在活齒上的力和活齒架作用在活齒上的力與活齒半徑成負相關。

(4)當X軸和Y軸兩相輸入電流相差1/4周期時，SMA輸入電流只影響輸出轉速，導致輸出轉矩隨時間變化的周期縮短，而對任一轉角位置的輸出轉矩無影響。

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(編輯袁興玲)

ForceAnalysisoftheMovableTeethTransmissionIntegratedwithSMAs

CHAI Zongxing XU Lizhong

School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei,066004

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.19.011

2016-11-21

2017學年燕山大學碩士研究生創新項目(2017XJSS012)

柴宗興，男，1992年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。主要研究方向為機電集成SMA活齒傳動系統。許立忠(通信作者)，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。