幾何圖形變換問題的思考

吉林省長春市第104中學 李 文

幾何圖形變換問題的思考

吉林省長春市第104中學 李 文

近年來，一些地區中考相繼出現了圖形變換問題，也就是“感知”、“探究”、“應用”，關于這類問題該如何思考和解決呢？“感知”就是利用特殊的圖形易證得線段相等、角相等、三角形全等或相似等等，雖然不要求學生書寫證明過程，但學生要清楚這一證明過程。“探究”就是圖形有了變化，一般在已知不變或增加條件的情況下，圖形由一種圖形到另一種圖形，或原有圖形經過旋轉、平移等，一般情況下，“探究”結論的證明與“感知”的證明是完全一樣的，“感知”怎樣思考，“探究”就怎樣思考，個別時有些變化，也就是感知為探究作了鋪設。“應用”就是在探究的基礎上求線段的長度、角的度數以及圖形的面積、周長等等，這一過程的思考是在探究的基礎上，要有探究過程的思維模式，運用新增加的條件及圖形的變化來解決。結合這幾年的試題，歸納出以下幾種常見類型：

一、“探究”是全等，“應用”也是全等

例1 感知：如圖①，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、E在一條直線上，連接BD和AE，BD、AE相交于點P，猜想線段BD與AE的數量關系以及BD與AE相交構成的銳角的度數。（只要求寫出結論，不必說明理由）

探究：如圖②，將△CDE繞點C逆時針旋轉一定的角度，其他條件不變，上述的結論是否還成立？請說明理由。

應用：將△CDE繞點C逆時針旋轉至如圖③所示位置時，恰好有∠AEC=30°，AE=6，BE=9，則CE= 。

圖①

圖②

圖③

解：感知：BD=AE，BD與AE相交構成的銳角度數是60°（可通過△ACE≌△BCD證得）。

探究：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△BCD≌△ACE。

∴BD=AE，∠BDC=∠AEC。

∵∠GFD=∠CFE，

∴∠DGF=∠DCE=60°。

二、“探究”是全等，“應用”是相似

例2 探究：如圖①，在菱形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、CD、AD、BC上的點，已知AE-DF=AG-BH。求證：GH=EF。

圖①

圖②

解：探究：如圖，在菱形ABCD中，過點D做DE'∥EF交AB于點E'，過點B做BG'∥GH交AD于點G'，則四邊形DFEE'、四邊形BHGG'為平行四邊形。

∴ DE'=EF ，BG'=GH，DF= E'E ，BH= G'G。

在菱形ABCD中，AD=AB，

∠BAD=∠DAB。

∵AE-DF=AG-BH，

∴AE'=AG'。

∴△ADE'≌△ABG'。

∴DE'=BG'。

∴EF=GH。

三、“探究”是相似，“應用”也是相似

例3 探究：如圖①，點D是等腰直角三角形ABC的斜邊AB上的一點，點E是直角邊AC上的一點，∠EDF=45°，DF交另一直角邊BC于點F。求證：△AED∽△BDF。

應用：如圖②，點D是等腰三角形ABC的底AB的中點，點E是腰AC上的一點，∠EDF=65°，DF交另一腰BC于點F。若∠A=65°，AE=5，AB=6，則BF= 。

圖②

圖①

解：探究：∵三角形ABC是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠ADE=135°，

∵∠EDF=45°，∴∠ADE+∠BDF=135°，

∴∠AED=∠BDF。

又∵∠A=∠B=45°，

∴△ADE∽△BDF。