平面向量在解析幾何中的應用

江蘇省鹽城市亭湖高級中學 孫 東

平面向量在解析幾何中的應用

江蘇省鹽城市亭湖高級中學 孫 東

平面向量與解析幾何是高中數學課程至關重要的組成內容，也是高考考查的熱點和重難點之一。從平面向量角度研究解析幾何問題，往往可以使問題化難為易，化繁為簡，使解題更加快速、簡便、高效，同時也有助于培養學生思維的發散性、深刻性、靈活性以及創造性，提高學生的解題能力。

一、向量數量積在解析幾何中的應用

向量數量積是解答解析幾何問題中較為常見的方法之一，近年來，向量數量積與圓錐曲線的交匯和綜合應用是高考命題的一大熱點。

例1 如圖1，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）(m＞0)，作直線交拋物線于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點，若設點P分有向線段所成的比為λ，求證：

證明：由題意可設直線AB的方程為y=kx+m，將其代入x2=4y中，可得x2-4kx-4m=0 ①，

設A（x1，y1）、B(x2，y2)，則由①可知：

x1+x2=4k， x1.x2=-4m。

圖1

【點評】平面向量的數量積在求解解析幾何有關長度、角度、垂直等問題時有著廣泛的應用，它可以使幾何問題坐標化、符號化、數量化，達到化難為易的目的。

二、向量夾角公式在解析幾何中的應用

設θ是 與 的夾角（0＜θ＜180°），由向量數量積的定義可知cosθ=當時，則②當時，③當 .＞0時，

解：由題意可知，A（-2，0），B（2，0），設 M（x0，y0），

圖2

又點M異于頂點A、B，所以-2＜x0＜2。

∵-2＜x0＜2，∴2-x0＞0，∴則∠MBP為銳角，從而可知∠MBN為鈍角，所以點B在以MN為直徑的圓內。

【點評】在運用向量夾角公式求解解析幾何問題時，應先用向量將坐標表示出來，然后再使用向量夾角公式使問題迎刃而解。

三、共線向量定理在解析幾何中的應用

共線向量又被稱之為平行向量。在平面內，若兩個向量 和 （≠0），存在唯一實數λ，使得則向量共線，即共線向量定理。在解析幾何中，巧用共線向量定理解題可以化繁為簡，簡化運算過程，提高解題效率。

圖3

【點評】兩向量共線的充要條件是a=λb(b≠0)，在求解有關共線向量的解析幾何問題時，其關鍵在于正確理解共線向量與解析幾何中平行線、三點共線之間的內在聯系，先設出交點坐標，再利用共線向量的充要條件和坐標運算使問題有效獲解。

總之，平面向量融數與形于一體，與解析幾何有著十分密切的聯系。在平時數學學習中，教師應重視平面向量與解析幾何的交匯與應用，有效滲透平面向量解題方法，巧妙引導學生主動去思考、探索、領悟平面向量公式、定理和相關知識，體會平面向量解題的優越性，形成自覺應用平面向量的意識，從而不斷拓寬學生思路，發散學生思維，強化學生推理運算和解題能力。