核心素養，數學課堂教學中一道亮麗的風景線
——以《橢圓的標準方程》教學設計為例

☉浙江省寧波市鄞州區正始中學 鄧慧靜

核心素養，數學課堂教學中一道亮麗的風景線
——以《橢圓的標準方程》教學設計為例

☉浙江省寧波市鄞州區正始中學 鄧慧靜

筆者于2017年1月參加了寧波市高中數學“核心素養與教學改進”論壇，以《橢圓的標準方程》教學設計為例，在課堂中滲透數學核心素養，提高了教學質量，并得到評委專家的一致肯定和贊賞，榮獲寧波市一等獎.下面將演講內容重新整理成稿，供大家參考.

一、“層巒疊嶂”——構建模型，引入課題

對于《橢圓的標準方程》這節課的引入，首先通過觀察生活中常見的橢圓形狀的物體讓學生能夠對橢圓有一個感性的認識.接著觀察生活中幾個常見的現象：一束光照在一個球上，一個平面去截一個圓錐，水裝在傾斜的圓柱杯內.學生通過仔細觀察后發現問題，提出問題：這些截面是否都是橢圓，并進一步引導學生去分析問題，滿足怎樣條件的圖形才是一個橢圓.從而構建出橢圓的數學模型，體現了數學建模的素養.

設計意圖：從生活實際出發，有利于提高學生學習的積極性，提高學習效率.讓學生意識到數學不只是抽象的符號與代數，還能用來解決現實生活中的許多問題.

二、“山重水復”——動手實驗，形成概念

在課題引入后，對于橢圓定義的教學，筆者設計了兩個動手實驗：

實驗1：一支筆，一條細繩，怎么畫出一個圓？

實驗2：用圖釘將細繩的兩端固定在平面內的兩點，套上鉛筆，觀察畫出的圖形是什么？

提出問題：

（1）在實驗中筆尖滿足什么條件？

（2）在實驗過程中什么保持不變？

通過觀察及實際操作，學生能夠很快發現：在兩次實驗中，筆尖到定點的距離都等于繩子的長度，繩子的長度保持不變.

從而得出圓與橢圓的共同屬性：即平面內到一個（或兩個）定點的距離（或距離之和）等于定長的點的軌跡.

接著根據圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡.從而類比得到橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡.

對于橢圓的定義中難點的突破，筆者又設計了實驗3與實驗4.

實驗3：如果繩子的長度等于兩定點間的距離，觀察畫出的圖形是什么呢？

實驗4：如果細繩的長度小于兩定點間的距離，是否能畫出圖形？

學生通過仔細觀察，動手實驗，從而不斷完善橢圓的定義.

設計意圖：在這個過程中，師生一共經歷了三次抽象，第一次是從語言文字中，在理解的基礎上，根據題目意思將軌跡用數學圖形表示出來.之后通過動手實驗，分析了繩長與定點距離不同造成軌跡不同的原因，舍棄具體的屬性，抽象出橢圓的數學本質.而下定義可以視為第三次抽象，是把橢圓的本質屬性用數學語言進行表述，完成了對橢圓定義的得出及定義中常數進行限制的理解.整個過程中師生共同經歷概念的形成到完善，提高了學生的數學抽象素養.

三、“柳暗花明”——思維風暴，如何建系

在得出橢圓的定義后，如何建立直角坐標系，才能使所求的橢圓方程形式比較簡單？

同學們展開了激烈的討論，并提出了自己的看法，教師歸納后主要有以下幾種建系方案.

方案1：以橢圓上的任意一點建立坐標系；

方案2：以F1、F2所在直線為x軸，F1或F2為坐標原點建立y軸；

方案3：以F1、F2所在直線為x軸，F1F2的中垂線為y軸.

同學們為自己提出的方案據理力爭，并提出為何這樣建系的理由，最后考慮到橢圓圖形的美觀性和對稱性選擇了方案3.

設計意圖：在這個過程中，對于如何建系的猜想是直觀想象，對數學表達式結構的優化是直觀想象，將平面圖形用建立坐標系后的點坐標來表示，這也是一種直觀想象.通過本環節增強了學生將圖形與數學代數運算相結合的能力，從而提高了學生的直觀想象素養.

四、“百花齊放”——化簡優化，得出方程

建立坐標系后，在求解橢圓的標準方程的過程中，如何化簡方程（*），才能使運算更加簡便，化簡后的形式更加簡單，成了學生最后運算化簡的目標.

1.學生的嘗試

嘗試1：直接兩邊平方，得到（x+c）2+y2+2·+（x-c）2+y2=4a2，整理合并后，得到·=2a2-（x2+y2+c2），化簡到這里，出現了兩個根式相乘的形式，很多同學就不愿意再化簡下去了.

嘗試2：把根式比較均勻地放在等號的兩邊，即將（*）式中的一個根式移項，得到然后兩邊平方后整理合并得到a2-cx=a，兩邊再平方整理后得（a2-c2）x2+a2y2=a（2a2-c2），并設a2-c2=b2，即可推得橢圓的標準方程為=1（a＞b＞0）.

上述解法也就是書本中提供的解法，雖然最后能夠推導出橢圓的標準方程，但過程十分復雜，對根式進行了兩次平方，那么，還有沒有其他解法呢？

2.拓展解法

①2-②2得4cx=4a2（cos4α-sin4α），化簡后得到cx=a（22cos2α-1），故有2acos2α=a+x，代入①式得x，兩邊平方，并設a2-c2=b2，即可推得橢圓的標準方程為=1（a＞b＞0）.

評注：運用三角代換能夠大大減少運算量.

無論選擇②式或者③式兩邊再平方均可得到（a2-c2）x2+a2y2=a（2a2-c2），并設a2-c2=b2，即可推得橢圓的標準方程為=1（a＞b＞0）.

將④式兩邊平方，并設a2-c2=b2，即可推得橢圓的標準方程為=1（a＞b＞0）.

3.學生的提問

在本節課后，某學生在完成書本《普通高中課程實驗標準教科書選修2-1》P41例三（即下文例題）時，能夠根據題意列出等式，進而得出動點M的軌跡，這時他提出這樣一個問題，為什么點M的軌跡表示橢圓？

例題 如圖1，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

圖1

分析：設點M的坐標為（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直線AM，BM的斜率之積是-，因此可以建立x，y之間的關系式，得出點M的軌跡方程.

4.學以致用

為了解決這個問題，我們對橢圓標準方程的化簡過程又有了新的理解：

上式的幾何意義為：動點M（x，y）到兩定點A（-a，0），B（a，0）的斜率乘積等于常數m（-1＜m＜0）的點的軌跡為橢圓（不包括點A、B），即橢圓的第三定義.

設計意圖：在一個班級中，會出現不同的算法.所謂算法多樣化，就是鼓勵學生獨立思考，鼓勵學生嘗試用自己的方法進行計算.有了算法多樣化，才能實現生生互動、師生互動.有了這樣的運算教學，才能切實有效提高學生的數學運算素養.

五、“寒木春華”——新舊對比，教學改進

滲透了數學核心素養之后的教學目標和教學設計，與筆者在日常教學過程中所制定的教學目標及教學設計有何不同？現通過表5-1，表5-2進行對比.

1.教學目標對比（表5-1）

表5-1教學目標對比

2.教學設計對比（表5-2）

表5-2教學設計對比

六、“千山萬水”——不斷反思，路長且艱

1.數學素養實施的可行性

愛因斯坦曾說過：“真正的教育，不是你能獲取什么知識，而是在你全都忘記以后，還剩下什么.”

“數學核心素養”就是數學基本思想的具體表現，而且最終落實到數學活動經驗上，即一個人最終養成的習慣：看問題的習慣，做事情的習慣，思考問題的習慣，這些都是經驗的積累，不是教出來的.因此，教師教數學的時候，要讓同學們感悟出來.通過自己的思考變成自己的東西，變成一種習慣，一個人的素養養成了，習慣也就養成了.

由改進后的教學設計可知，在課堂中滲透數學核心素養是可行的.

2.數學素養實施的整體性

每一個核心素養有自身獨立性，但也是一個有機聯系的整體，是相互“交著”，相互“滲透”的.例如，在求解橢圓的標準方程的過程中，文字語言、符號語言和圖形語言三種語言的轉化就需要直觀想象，邏輯推理，數學運算，數學抽象，數學建模等素養相互發揮作用才能完成.而邏輯推理貫穿于整堂課的教學始末，并與其他核心素養相互融合發揮作用，從而更好地培養學生的綜合能力.

3.數學素養歸根到底是一種文化素養

其實，數學素養歸根到底是一種文化素養，數學教育也就是一種文化素質的教育.它的培養不是一蹴而就的，而是潛移默化，逐漸滲透的，因此教師在教導數學知識和技能教學的同時，需要運用豐富的教學手段和教學方法，有意識地培養學生的核心素養，使學生感受到，數學不僅僅是一系列抽象的知識，更多的是一種方法，一種文化，一種思想，甚至于一種精神和態度，這樣才能切實有效地提高數學教學的質量.

1.任樟輝.數學思維論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

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