一道高考數(shù)學(xué)選擇題的解法探究

☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 張江松

☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 蘇賢昌

一道高考數(shù)學(xué)選擇題的解法探究

☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 張江松

☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 蘇賢昌

試題 幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為了激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案.已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)為20，接下來(lái)的兩項(xiàng)為20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)為20，21，22.依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)n，n＞100，且該數(shù)列的前n項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，那么該款軟件的激活碼是（ ）.

A.440B.330C.220D.110

分析：本題是2017年全國(guó)高考統(tǒng)一考試（全國(guó)卷Ⅰ）理科數(shù)學(xué)選擇題的第12題，許多考生都是望而生畏，無(wú)從下手.其主要原因是試題的取材獨(dú)特，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，情景新穎，思維量大，一下子難以把握.實(shí)際上，對(duì)它的求解，只要我們注重探究，抓住“第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推”這一信息分析、探究，將該數(shù)列按第1組1個(gè)數(shù)，第2組2個(gè)數(shù)，第3組3個(gè)數(shù)，…，第k組k個(gè)數(shù)劃分，即可抓住問(wèn)題的本質(zhì)，找到解題的突破口.若注重對(duì)備選項(xiàng)與題干的考查，逆推探索，亦可使問(wèn)題獲解.在此，現(xiàn)給出如下三種探究性解法，僅供讀者參考.

解法1：直接探究法.因?yàn)閿?shù)列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…，1，2，4，8，…，2k-1，… （※），故將數(shù)列（※）按第1組1個(gè)數(shù)，第2組2個(gè)數(shù)，第3組3個(gè)數(shù)，…，第k組k個(gè)數(shù)，分成若干組.其中第k組的k個(gè)數(shù)為1，2，4，…，2k-（1k∈N*）.

于是，目測(cè)得142=196，152=225，由此可得k≥14.

由題意得2k+1-k-2＞0，所以k+2＜2k+1.

顯然，k+2不可能為2k.

因?yàn)楫?dāng)k+2=2k時(shí)，有k=2，這與k≥14矛盾.

由此可得，“k+2”這一尾巴只能是數(shù)列（※）的第k+1組的等比數(shù)列中的前部分項(xiàng)的和.

故設(shè)k+2=1+2+4+…+2m-1=2m-1，

即k=2m-3（m∈N*）.（※※）

又目測(cè)知，當(dāng)m=4時(shí)，k=16-3=13＜14，不合題意，舍去.

當(dāng)m=5時(shí)，k=32-3=29＞14，合題意.

所以m=5是使n取最小值的正整數(shù).

故選A.

解法2：上接（※※）式，可得k+3=2m.

故設(shè)數(shù)列：an=2n，bn=n+3（n∈N*）.

不難得知a2=b1=4；a3=b5=8；a4=b13=16；a5=b29=32；…

因?yàn)閗≥14，所以符合條件的最小公共項(xiàng)為a5=b29=32.

故取m=5，k=29.

所以選A.

解法3：篩選法.

因?yàn)閿?shù)列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…，1，2，4，8，…，2k-1，… （※），而題目要求的是n的最小值，于是，結(jié)合選項(xiàng)知，先考查選項(xiàng)D.

顯然，215+15不是2的整數(shù)次冪，故選項(xiàng)D排除.

由此，目測(cè)得202=400，212=441.

顯然，221+210-23不可能為2的整數(shù)冪.

故選項(xiàng)C排除.

由此，目測(cè)得252=625，262=676.

顯然，226+4不可能為2的整數(shù)冪.

故選項(xiàng)B排除.

綜上可得答案為A.

點(diǎn)評(píng)：本題以現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題為背景，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查閱讀理解能力與創(chuàng)新思維能力，是一道難度較大的壓軸題.解法1采用的是直接法，具有較大的探究性.解題的關(guān)鍵在于：①能否正確領(lǐng)悟“Sn是2的整數(shù)冪”.因?yàn)檫@一信息，易使我們的思維走入誤區(qū)，即誤認(rèn)為只有當(dāng)k+2=2k時(shí)，才有2k+1-k-2=2k+1-2k=2k.②能否從各項(xiàng)的值的和的角度出發(fā)考查，挖掘出“k+2”這一尾巴是數(shù)列（※）中的第k+1組等比數(shù)列中的前部分項(xiàng)的和.③能否通過(guò)目測(cè)、探究，發(fā)掘隱含信息k=14，m=5.一旦明確了這幾點(diǎn)，問(wèn)題也就解決了.解法2注重從數(shù)列的角度上對(duì)數(shù)列（※※）考查，通過(guò)構(gòu)建數(shù)列｛an｝、｛bn｝，觀察這兩個(gè)數(shù)列的前幾個(gè)公共項(xiàng)來(lái)解決的，是一種觀察、探究性的解法.解法3采用的是逆推篩選法.在篩選前，先考查與備選項(xiàng)的值的關(guān)系，再確定k的取值是必須的.在篩選時(shí)，從最小的值開(kāi)始驗(yàn)證也是一種技巧.因?yàn)槿粝闰?yàn)證選項(xiàng)A合條件后，還不能斷言440就是最小的n，必須繼續(xù)驗(yàn)證選項(xiàng)B、C、D都不合題意才行.這樣須經(jīng)四次篩選才能搞定，花時(shí)過(guò)多，顯然是不劃算的.這正是命題者有意設(shè)置的一個(gè)圈套.

鑒于上述，對(duì)此選擇題要做到小題小解，準(zhǔn)確迅速，務(wù)必透徹理解題意，注重考查題干和備選項(xiàng)的關(guān)系，活用通性通法分析；注重對(duì)每一微小細(xì)節(jié)的探究，充分挖掘問(wèn)題的隱含信息，把握解題的切入點(diǎn)；注重解題方法的選擇，促進(jìn)解題的探究性與創(chuàng)新性.

附：對(duì)于選項(xiàng)A驗(yàn)證給出如下：