有關拋物線焦點弦問題的處理策略

☉江蘇省如東縣馬塘中學 黃一白

有關拋物線焦點弦問題的處理策略

☉江蘇省如東縣馬塘中學 黃一白

對一道問題從不同角度進行探究、運用不同的方法進行解答，有利于學生鞏固基礎，將所學知識由點到線，由線到面，形成網絡，在解題中迅速找到最優解法，進而提高自身分析問題、解答問題的能力.本文以2017年高考全國I卷中的一道拋物線問題為例，就其中所涉及的解題方法詳細說明.

題目 （2017年全國I卷理10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與拋物線C交于A、B兩點，直線l2與拋物線C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16B.14C.12D.10

與拋物線的焦點弦有關的問題，是高考對拋物線考查的重要視角.對于弦長，既可以利用弦長公式，也可以利用焦半徑公式，還可以從極坐標和參數方程的視角來求解.下面給出這幾種具體的解答方法.

圖1

一、直接求弦長

解法1：如圖1，由題意可知兩條直線的斜率存在，且不為0.設直線l1：y=k（x-1）與拋物線方程y2=4x聯立，消y得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=1，所 以|AB|=

同理，|DE|=4k2+4.

評析：因為AB與DE垂直，兩斜率互為負倒數，所以對于|DE|的求解，可直接將|AB|=+4中的k用-替換，從而簡化解題過程.另外在應用均值不等式求最值時，要注意等號取得的條件.

二、利用拋物線定義

解法2：設直線l1：y=k（x-1）與拋物線方程y2=4x聯立，消y得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=

同理，|DE|=4k2+4.

評析：對于拋物線的弦長問題，要重點把握拋物線的定義：到焦點的距離與到準線的距離相等，從而將問題轉化求解.此方法簡潔、直觀，是解答此類問題的通法.

三、參數方程法

四、極坐標法

解法4：以拋物線y2=4x的頂點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.設|AF|=ρ1，|BF|=ρ2，∠AFx=θ，由拋物線的定義得ρ=ρcosθ+p，所以ρ=，ρ=12

所以|AB|=ρ1+ρ2=

評析：根據圓錐曲線的統一定義：到焦點的距離與到對應準線的距離之比為離心率e，得圓錐曲線的極坐標方程為ρ=，當0＜e＜1時，表示橢圓；當e＞1時，表示雙曲線；當e=1時，表示拋物線.本題求解中利用拋物線的極坐標方程，表示出焦點弦的長度，從而將所求最值轉化為三角函數求最值或利用均值不等式求最值問題.另外，當e=1時，ρ=，表示以焦點為極點、開口向左的拋物線；ρ=表示開口向上的拋物線；ρ=表示開口向下的拋物線.

五、特殊位置法

解法5：由拋物線的對稱性可知，若|AB|+|DE|取得最大值，則此最值應在對稱位置取得，即當AB與DE關于x軸對稱時取得最大值，此時|AB|與|DE|相等，其中一條直線的斜率為1，另一條直線的斜率為-1.

設直線AB的斜率為1，則AB：y=x-1，與拋物線y2=4x聯立消去y得x2-6x+1=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6.由拋物線的定義知|AB|=x1+x2+p=8，所以|AB|+|DE|的最大值為16.

評析：在標準方程下的橢圓、雙曲線、拋物線均為特殊的對稱圖形，其中橢圓和雙曲線既關于坐標軸對稱，也關于原點對稱.拋物線關于x軸或y軸對稱.本題作為一道客觀題，只需要給出答案，不需解題過程，因此可采用小題小做的原則，從特殊位置入手.因為拋物線y2=4x關于x軸對稱，所以該拋物線的通徑、準線等，也關于x軸對稱.對稱圖形的最值，也一定保留著對稱性，對稱圖形的定值也滲透于對稱性之中，因此利用圓錐曲線的對稱性可以迅速求得某些定值和最值問題.

綜上，在解題教學中，教師要善于引導學生對同一題目從不同視角進行探究，用多種方法進行解答，并在解題后進行反思，對各種方法通過繁簡對比，從中選出最優的解法，進而提高自身解題能力.