吹盡黃沙始見金
——跨過恒成立與存在性問題的“層巒疊嶂”

☉江蘇省錫東高級中學 葉 琳

吹盡黃沙始見金
——跨過恒成立與存在性問題的“層巒疊嶂”

☉江蘇省錫東高級中學 葉 琳

從2008年江蘇實施新高考方案以來，恒成立與存在性問題多次考查，經常以中檔偏難題呈現，其呈現的背景、方式也多種多樣，題目富有變化和新意，像2008年第14題“任意x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立”，2014年第10題“任意x∈［m，m+1］都有f（x）＜0成立”、第19題“…在（0，+∞） 上恒成立”、“存在x0∈［1，+∞） …”、2016年第19題“任意x∈R，不等式...恒成立”等是以函數、導數為背景出現的，2008～2011年解析幾何中均出現了“存在…”、“任意…”、“證明…過定點”等字樣；2011、2013、2014、2015年數列題中也都呈現了“任意整數”、“是否存在”等字樣，其中2013年的數列題隱含考查了恒成立問題.恒成立與存在性問題，較好地考查學生的能力與素養.但它的出現使得數學問題意深難懂，神秘莫測，學生難以下手.解決這類問題的關鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗，還數學問題的本來面目，下面筆者結合“恒成立問題和存在性問題”的課堂教學，談談自己的看法，以請教于同行.

一、感悟真題，準確定位

【教學片段一】

師：從近幾年江蘇高考試題統計分析可以看出恒成立和存在性問題是高考的熱點也是難點，誰能告訴老師這類問題解決的方法是什么？

生1：有的可以用分離參數來處理，有的可以轉化為函數的值域來處理.

生2：還可以用數形結合的思想來解決.

師：看來大家對這類問題已經非常熟悉了，那么用剛才同學們所說的方法能不能處理所有的這類問題呢？今天這節課我們一起來探究這類問題的解法.

問題1（2014年江蘇卷19題）已知函數f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數的底數.若關于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍.

師：我們先請一個同學起來讀題，然后圈出重要條件進行分析.

生3：通過讀題可知，題目條件中明確給出了“恒成立”的字眼，采用分離參數，利用結論“f（x）≥m?（fx）min≥m”即可.由m（fx）≤e-x+m-1，得m［（fx）-1］≤e-x-1.因為x＞0時ex＞1，因此（fx）=ex+e-x＞2，即（fx）-1＞0，所以，解得m≤-

師：分析的很到位，處理過程中我們還運用了換元法和基本不等式等知識來解決問題.如果是“存在x∈D，f（x）≥m成立”該怎么處理呢？

生齊答：f（x）max≥m.

師：非常好，看來同學們對恒成立和存在性問題已經有了較深的理解.

評析：教學過程中筆者發現很多學生解題時有審題不清的缺點，匆匆讀題后就急于下手，結果不是條件漏看了就是看錯了.在教學過程中，筆者要求學生進行讀題訓練，養成把題目條件圈出來的習慣，減少審題馬虎導致的錯誤，慢慢養成細心的習慣.

【教學片段二】

問題2函數f（x）=x-ln（x+1），若對任意的x∈［0，+∞］，有f（x）≤kx2成立，求實數k的最小值.

筆者巡視教室發現很多學生是用變量分離法來處理的：

師：為什么變量分離失效了呢？（教室里安靜片刻，有學生在下面竊竊私語）

生4：我化簡到（*）式就沒有再做下去，直覺告訴我太繁了，化簡到（**）式是需要一定的運算技巧的，即使令h′（x）=0得到的也不是我們熟悉的方程，我放棄了.

師：有更好的辦法嗎？

生4：構造函數來處理，由f（x）≤kx2得x-ln（x+1）≤kx2，令g（x）=x-ln（x+1）-kx2，則只要滿足g（x）≤0即可，應該能做出來.

師：同學們覺得她的方法可行嗎？

生5：應該可以的，就是要分類討論，也有點繁.（其他同學沉思片刻，紛紛點頭）

師：大膽嘗試，說不定驚喜就在不遠處等著我們：

令g（x）=x-ln（x+1）-kx2，則g（′x）=

（1）當k≤0時，有f（1）=1-ln2＞0，此時f（1）＜k不成立，故k≤0不合題意，舍去.

師：請同學們比較兩種思路，你有什么收獲？

生6：兩種思路的本質是都是歸結為函數的最值問題，分離參數只是一個解題手段而已，它不是萬能的，我們不能思維定勢，看到恒成立問題就去參數分離，有的時候會走進死胡同.

師：我們要用辯證的眼光看待參數分離，參數分離可以避免分類討論，簡化計算過程，但是不能思維定勢，在讀題后要先思考去判斷參數分離的可行性，有些問題只能通過構造函數通過分類討論來解決問題.

評析：課堂中給學生充分的思考時間，針對學生不同的解法進行剖析，去判斷各種解法的優劣性，有助于尋求解決數學問題普遍規律的途徑.在問題2的處理上，思路1中出現的h′（x）=（**）在文2中提倡補充洛必達法則等高等數學知識來解決問題，筆者認為學生沒有系統全面地學習高等數學，而是斷章取義地學習洛必達法則帶有功利性色彩，學生不可能熟練掌握，靈活運用，無疑增加學生的負擔.教學中應該注重通性通法，淡化技巧，用本真的數學來解題，這有利于中學數學教學去功利性的良性發展.

二、登高望遠，再進一步

【教學片段三】

師：為了加深對上述問題的理解，我們對其進行變式.

變式1：已知函數f（x）=x-ln（x+1），g（x）=kx2，若對任意的x∈［0，+∞），都有f（x）≤g（x）恒成立，求實數k的最小值.

生7：分離參數求解.

師：很好，同學們可以自己對該題變式嗎？

生8：若對任意的x∈［0，+∞），f（x）的圖像恒在g（x）的下方，求實數k的最小值.

師：應該如何求解呢？

生8：f（x）（g（x）恒成立啊，跟變式1一樣.

師：很好，“f（x）的圖像恒在g（x）的下方”，問題表述變化了，但是問題本質沒有變.

師：趁熱打鐵，還有其他的變式嗎？（學生思考片刻沒有回應）

師：我們經常研究的都是一個函數，能否把視野放寬一點，研究兩個或者兩個以上函數的恒成立問題？

變式2：若對任意的x1∈［1，2］，x2∈［1，2］，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求實數k的取值范圍.

師：變式2和變式1有什么不同？

生齊答：變式1是同一個x，變式2是兩個不同的x.

師追問：兩個變式之間有聯系嗎？

生9：變式1中雖然有兩個函數，但只有一個變量x，可轉化為一個函數來處理，令h（x）=f（x）-g（x），則h（x）≤0恒成立，只要滿足h（x）max≤0即可.變式2是兩個不同的x，分別看成兩個函數，求出f（x）和g（x）的最值，滿足f（x）max≤g（x）min.

師：剛才的變式是與恒成立有關的，我們還可以把它變成存在性問題，能試試嗎？

生10：（變式3） 若對任意的x1∈［1，2］，存在x2∈［1，2］，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實數k的取值范圍.

師：非常漂亮的變式，條件中同時出現了“任意的”和“存在”等量詞，我們該怎么處理呢？

（教室里鴉雀無聲，學生陷入了沉思.剛才總結的結論套不上啊）

師：變式3是關于（fx）和g（x）的兩個函數，很多同學在“任意的x1∈［1，2］，存在x2∈［1，2］，使得（fx1）≤g（x2）成立”的理解上出現錯誤，我們把它抽絲剝繭，把任意的和存在兩個量詞分為兩個層次來理解就簡單多了，首先“任意的x1∈［1，2］，（fx1）≤g（x2）成立”即（fx）max≤g（x2），因為1-ln2≤f（x）≤2-ln3，故“存在x2∈［1，2］使得2-ln3≤g（x）2”“，存在”是指至少有一個x2滿足2-ln3≤g（x2），因為k≤g（x）≤4k，所以2-ln3≤4k，即k≥.變式中滲透了“存在性”和“恒成立”問題，大家對此也有了新的認識，下面大家再動手自我編題試試.

學生在編題解題的過程中，互相討論，筆者教師巡視，不時地參與其中，適當點撥.

師：大家編題的熱情高漲，哪個同學來總結一下？

生11：我們總結了一下，大致有以下幾種情況：

假設函數f（x）、g（x）在給定范圍內都存在最大與最小值，值域分別為A，B.

（1）?x1，x2∈D，使f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）min；

（2）?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≤g（x2）?f（x）max≤g（x）max；

（3）?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）≤g（x2）?f（x）min≤g（x）min.

話音剛落，生12站起來了，老師還可以這樣：“?x1∈D1，?x2∈D2，使f（x1）=g（x2）?A?B（f（x）的值域是g（x）的子集）”.

師：很好，這些變式，雖然條件變化多樣，但是我們只要抓住數學問題的本質，就能輕松解決.

評析：讓學生對題目進行變式，從不同條件下“恒成立和存在性”問題的認識過渡到一般問題的探究，尋找知識之間的聯系，把握知識的本質屬性，發現數學的內在美和統一美，讓學生親身經歷以不變應萬變的成功體驗，更好地體會等價轉化和化歸等重要數學思想.

三、借石攻玉，觸類旁通

課堂教學不能局限于數學知識的表面，而應該在對知識結論和解題方法的基礎上挖掘、揭示隱含其中的數學思想和本質，幫組學生透過豐富多彩的問題背景，看清問題的本質，實現舉一反三，觸類旁通，建立系統的認知結構，這也是課堂教學的成功.

【教學片段四】

生12：本題屬于恒成立問題，保證（k-1）f（x）max≤16g（x）min就可以了.

師：條件中“討厭的形式”f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）＜16g（x4）阻礙了我們思考的步伐，細細分析發現就是運用剛才我們總結的結論（1）解題，有的同學一時遇阻，因為你“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，這就需要同學們學會透過豐富多彩的背景看清問題的本質.

評析：引導學生拓展探究，利用“多題歸一”的方式，在豐富多彩的背景下，抽象出共性的“恒成立和存在性”問題的本質，內引外聯，實現了知識的遷移和整合.

課堂上教師起到“撥云見日”、“授業解惑”的作用，引導學生透過現象看本質，將復雜的問題分解為一系列簡單的問題，抽絲剝繭，層層深入，“黃沙吹盡始見金”，抓住問題的本質，理清知識的內在聯系，促成學生知識內化，完善認知結構，有效提升思維能力和解題能力，我們的課堂就會別樣精彩.

1.涂榮豹.數學解題的有意義學習［J］.數學教育學報，2002.

2.張國治.用羅比達法則巧解一類高考壓軸題［J］.數學通訊（下），2011（12）.

3.王曉東.思維提升：本真數學教學的課堂價值取向［J］.中學數學月刊，2014（2）.