基于直觀想象素養下的數學解題教學

☉江蘇省南京市金陵中學 馬志鋼

基于直觀想象素養下的數學解題教學

☉江蘇省南京市金陵中學 馬志鋼

2017年高考降下了帷幕，對浙江省來說，數學考試首次文理合卷，考試內容作了調整，考試要求進行了新的定位，仔細分析今年的浙江省數學試卷，我們很容易發現，對于“直觀想象素養”的考查上升到前所未有的高度.縱觀整張試卷，或多或少、或明或暗都留下了“直觀想象”的影子，很多題目根本不需要直接計算就能獲得答案.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.［1］和抽象一樣，直觀想象是認識事物的基本方式.直觀想象素養包含了直觀洞察、幾何直觀、空間想象三大能力，和抽象不同，直觀想象簡單、直接（付諸感官），容易掌握和使用.［2］那么在教學實踐中我們該如何借助直觀想象開展數學解題教學呢？下面筆者就結合今年的浙江省數學高考題，談談對此的看法.

一、理解圖形性質，迸發直觀洞察

數學研究的基本對象之一就是圖形.在數學教學中，借助圖形不僅可以更簡單、直接地刻畫和描述問題，而且有助于尋找和發現結論，探索和形成思路，記憶和理解知識，以及建立良好直覺，進而揭示數學的本質規律.因此，對圖形性質的理解是直覺產生的源泉，是直觀洞察力迸發的載體.直觀洞察力是在情境所展現的圖形信息被學生獲取后，在學生能夠將獲取的信息與自己原有的知識體系建立相應的鏈接關系，從而解決問題的一種能力.通俗的講，直觀洞察力就是我們通常所說的“解題直覺”.

例1（第7題）函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的圖像如圖1所示，則函數y=f（x）的圖像可能是圖2中的（ ）.

圖1

圖2

分析：此題考查導函數與原函數圖像之間的關系.根據它們圖像之間的基本性質：導函數函數值的正負反映原函數的單調性，導函數的零點和原函數的極值密切相關，因此很容易選出答案為D.

例2（第5題）若函數f（x）=x2+ax+b在區間［0，1］上的最大值是M，最小值是m，則M-m（ ）.

A.與a有關，且與b有關

B.與a有關，但與b無關

C.與a無關，且與b無關

D.與a無關，但與b有關

分析：此題若直接求解二次函數的最值，顯然計算量比較大，若從函數圖像變換的視角進行分析就很容易獲得答案.函數f（x）=x2+ax+b中，b決定圖像上下平移，同時影響函數值的變化，而M-m是兩個函數值的差，所以與b無關.a的變化決定函數圖像左右平移，分別影響了最大值和最小值，所以與a有關.正確答案是B.

由此可見，基本圖形性質理解與掌握是直觀洞察力的必要基礎，比如基本函數的圖像特征與性質，像一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數等；直線與圓錐曲線圖形的性質等.有了扎實的基礎，就可以利用圖形的對稱、平移變換等特性.直覺洞察力有利于快速找到解決問題的突破口.

二、建立數形聯系，展現幾何直觀

數與形并不是對立的，而是在一定條件下可以實現相互轉化.數量關系獲得幾何解釋，可以使問題變得直觀易懂；幾何問題的代數化，可以使幾何直覺，合情推理等轉化為程序化操作的代數運算，有助于實現化難為易的目的，并使學生獲得對問題的精確化、理性化的理解.展現幾何直觀，可以為復雜數學問題提供簡潔的解決思路.

圖3

例3（第10題）如圖3，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O.記，則（ ）.

A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2

C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3

分析：本題是選擇題的壓軸題，若要進行嚴格的數學論證確實有一定的難度.但對于選擇題而言，本著“小題小做”的原則，我們借助圖像，直接利用數量積的幾何意義進行分析就很容易獲得答案.根據向量的夾角為鈍角，數量積小于0的幾何性質，可得I1＜0，I2＞0，I3＜0，再比較向量的長度發現，所以選C.

例4（第15題）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是_______，最大值是______.

圖4

解題中，學生經常很難找到解題方法的突破口，究其原因是對一些數學結論的幾何意義理解不夠透徹，或對數學結論之間的幾何關系理解不夠深入.數學中的大部分概念、公式及定理等都有著數與形的雙重特征，通過建立數形之間的聯系來加強學生對數學本質的認識，從而在解題中起到化繁為簡的作用.

三、立足幾何模型，發揮空間想象

幾何模型就是從形狀的視角描述現實世界的物體，經過抽象得到的空間幾模型不僅蘊含了空間中點、線、面的一些特殊關系，而且為學生提供了直觀的、具體的、熟悉的幾何研究對象.以這些幾何模型為基本載體，發揮空間想象是獲得解題思路的關鍵.

例5（第9題）如圖5，已知正四面體D-ABC，P，Q，R分別為邊AB，BC，CA上的點，AP=PB=2，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖5

圖6

A.γ＜α＜βB.α＜γ＜β

C.α＜β＜γD.β＜γ＜α

分析：此題關鍵是把三個二面角的平面角作出來.根據正四面體模型的幾何性質展開空間想象.D點在底面ABC的投影為正三角形ABC的中心，設為O.根據線面垂直的性質，每個二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角邊DO.那么，二面角的大小問題等價轉化為底面正三角形的中心到二面角棱的距離d1，d2，d3的大小問題，如圖6所示，容易得知d3＜d1＜d2，即α＜γ＜β.

圖7

例6（第19題）如圖7，已知四棱錐P-ABCD，△PAB是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點.

（1）證明：CE∥平面PAB；

（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析：立體幾何解答題一般可以通過幾何法或向量法加以解決，但對于此題而言，兩種方法的解題過程都不能很順利完成，原因是題中人為地制造了一些解題“障礙”.若用幾何法，直線CE到面PBC的垂線很難做出；若用向量法，點P到面ABCD的垂線也不容易作出.因此，要徹底解決此題，關鍵是要充分利用“二面角平面角所在平面”這個幾何模型展開空間想象.

圖8

方法1：（幾何法）分別取BC、AD的中點M、N，連接PN交EF于點Q，連接MQ，如圖8所示.易得BC⊥面PBN，所以面PBC⊥面PBN.

過點Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH，則MN是MQ在面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.

方法2：（向量法）如圖9，過點P作BN的垂線，垂足為O，過O點在面ABCD內作AD的平行線OG，以O為原點，OP、OB、OG為坐標軸建立空間直角坐標系.

圖9

總之，直觀想象是數學思維能力在解決數學問題中的主要體現，借助直觀想象，可以降低數學解題的門檻，能夠使復雜的數學問題得以簡化，有助于學生探索新思路、新方法，能夠幫助學生從本質上理解和認識數學，從而促進學生理性認識的生成.

1.胡云飛.基于提升直觀想象素養的立體幾何法則課的設計與反思［J］.數學通報，2016（12）.

2.沈金興，王奮平.從PME視角看直觀想象素養及其培養［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2017（4）.