整體單元化設計理念下的“漸近線”教學

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

整體單元化設計理念下的“漸近線”教學

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

最近，我縣舉行了數學優質課比賽，上課的主題是“雙曲線的漸近線”.筆者全程觀摩了8位老師的課，他們基本上沿襲了“定義+應用”的教學套路，如圖1所示.

圖1

一、教學過程簡介

下面是其中一位教師的上課過程.

1.給出定義與公式

問題1：雙曲線開口大小由什么決定的？

通過作圖，發現兩條相交直線開口大小決定了雙曲線的開口大小，由此給出漸近線的定義與公式.

問題2：如何證明漸近線與雙曲線“無限接近，永不相交”.

主要有兩種方法，一是漸近線方程與雙曲線方程作差后求極限；二是對雙曲線上的點到漸近線的距離取極限.

2.漸近線的應用

例1通過求下列雙曲線的漸近線，你能得到什么啟發嗎？

（1）16x2-9y2=144；

（2）16x2-9y2=-144；

（3）16x2-9y2=1.

設計意圖：通過求雙曲線的漸近線獲得求漸近線方程的“快捷”方法，即，從而使學生擺脫對“漸近線公式”的機械記憶.

例2若雙曲線的漸近線方程為y=±3x，求滿足下列條件的雙曲線方程.

設計意圖：利用雙曲線方程與漸近線的關系，快速獲得雙曲線方程.比如，由y=±3x，可設雙曲線方程為y2-9x2=λ（λ≠0）.

例3設雙曲線的一個焦點為F；虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）.

例4設雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，直線l與兩條漸近線交于P、Q兩點，如果△PQF是直角三角形，則雙曲線的離心率e=________.

設計意圖：明確漸近線方程與雙曲線方程基變量之間的關系，能夠應用漸近線的性質求離心率.

點評：單純地站在“雙曲線的幾何性質”這節內容來看，上述的教學設計應該是比較合理的，比如，“會求雙曲線的漸近線”的教學目標得到了很好的落實，“漸近線雙曲線的初步聯系”得到很好的揭示；但仔細琢磨后發現還有幾個重要的問題沒有得到解決，比如，漸近線作為雙曲線特有的幾何要素，它跟雙曲線到底有什么內在的聯系？我們知道反比例函數的圖像是雙曲線，它的漸近線與雙曲線標準方程的漸近線在求法上是否一致？還有一些函數的圖像也有漸近線，例如“對勾函數”，它跟雙曲線有什么關系？這些問題若能得到揭示，不僅能夠充實本節的教學內容，而且有助于學生對“漸近線”本質的理解.

要對“漸近線”進行詮釋，顯然不能拘泥于“雙曲線的幾何性質”這一節課，而是要站在“圓錐曲線”整個章節甚至“解析幾何”模塊的高度，根據章節或模塊中不同知識點的需要，綜合利用各種教學形式和教學策略，通過系統的學習，從而讓學習者獲得對“漸近線”的完整認知，這就是“整體單元化教學設計”.

二、整體化教學分析

數學知識間相互聯系，具有很強的整體性與連續性，教師在進行教學分析時不能簡單地停留在對某節課教材文本的解讀上，而是要站在知識系統的高度，開展“整體化”教學分析.具體而言就是站在章節、模塊，甚至是數學課程的高度去認識教學內容，全面地整合教材，連貫地理解目標，突出學科知識的系統性和教學的方向性.

1.漸近線求解原理的揭示

由漸近線定義中的“無限接近，永不相交”，我們可以獲得漸近線的基本求解原理，那就是“極限思想”.對于雙曲線的標準方程=1（a＞0，b＞0），變形+1，當x，y趨向于無窮大時，常數1就可以忽略不計，方程就變為 ，即得到漸近線方程為y=±x.

這種求漸近線的思想可以推廣到一般函數.

利用此思想，還可以求類似于“分式”函數的漸近線.通過求漸近線不僅讓學生學會了求解的技巧，更為重要的是掌握了數學基本原理.

2.對雙曲線的再認知

我們知道圓錐曲線一般都具有類似的定義、方程結構和幾何性質，唯獨雙曲線具有漸近線.漸近線的開口大小決定了雙曲線的開口大小，漸近線與雙曲線似乎存在著某種深刻的聯系.

設兩條相交直線方程為bx±ay=0，“有向”距離之積為k，當然k不等于0.則有k，化簡得，顯然所求點的軌跡為雙曲線.

雙曲線第三定義：到兩條相交直線的“距離”之積為定值的點的軌跡，其中這兩條相交直線就是雙曲線的漸近線.

由定義出發，我們很容易得到下面推論.

推論：以兩條相交直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲線方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示為以直線方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線.

借助定義與推論我們可以判斷曲線是否為雙曲線.

更加復雜的曲線x2+xy-2y2+3y-4=0?（x+2y-1）（xy+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0為漸近線的雙曲線.

三、單元化教學設計

通過“整體化”教學分析，相關教材內容得到統籌重組和優化，我們就可以將優化后的教學內容視為一個相對獨立的教學單元進行“單元化”教學設計，如圖2所示.

圖2

這樣設計的好處是從單元教學的整體目標出發，統攬全局，將教學活動的每一步、每一個環節都放到教學活動的大系統中考量，突出教學內容的主線及知識間的關聯性，而不是片面地突出或者強調某一點.以這節課為例，學生不僅獲得了求解漸近線的一般方法，更為重要的是同時也掌握如何判定一條曲線為雙曲線，比如，“對勾函數”原來就是雙曲線，而很多“分式函數”的圖像也是雙曲線，這樣就建立起了“圓錐曲線”與“函數”之間的聯系，實現了數學知識的融會貫通.

事物的聯系不僅是客觀的、普遍的，而且是辯證的，即聯系形式具有多樣性和可變性，所以對任何過程的分析都應因時、因地、因勢，根據具休事物的實際聯系，進行具體的分析，整體單元化設計的就是普遍聯系哲學觀點在數學教學中的具體應用.它的價值在于從更高觀點對數學教學中的各要素進行系統的綜合考量，使其產生整體效益，從而可以避免糾纏于細枝末節，做到胸有成竹、游刃有余.