夯實基礎 突出選拔 凸顯創新
——2017年重慶市普通高考數學試卷（全國Ⅱ卷）簡析

☉重慶市教育科學研究院 張曉斌

☉重慶市涪陵區第五中學校 艾 嵩

夯實基礎 突出選拔 凸顯創新
——2017年重慶市普通高考數學試卷（全國Ⅱ卷）簡析

☉重慶市教育科學研究院 張曉斌

☉重慶市涪陵區第五中學校 艾 嵩

一、試卷的主要參數

表1：知識點分布表

表2：文理科試題比較

表3：填空題與解答題成績分布表

二、試卷的主要特點

2017年數學學科高考全國Ⅱ卷以立德樹人，服務高校人才選拔，導向中學數學教學為命題出發點，加強對理性思維的考查，滲透數學文化，突出對創新應用能力的考查.試卷結構穩中有變，文、理科試卷均減少了平面幾何選講的選考題，由原來的三選一變為二選一.試題關注社會發展，引導考生運用所學數學知識解決生活實際問題，富有時代氣息.試卷遵循考試大綱的各項規定，各種難度的試題比例適當，有較好的區分度.試題堅持能力立意，堅持多角度、多層次地考查考生的數學素養，突出對邏輯推理、數學運算、創新意識與中國傳統數學文化的考查，突出數學的基礎性和應用性.試卷有利于科學選拔人才，有利于深化課程改革，有利于促進社會公平，對培養學生的創新精神、實踐能力，提升學生核心素養的數學課程、教學改革有積極的導向作用.

1.加強理性思維考查，突出選拔性

2017年修訂后的數學學科考試大綱削枝強干，加強主體內容，強調理性思維.2017年高考充分發揮數學思維學科的特點，加強理性思維的考查，把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務，運用數學知識作為載體，考查考生縝密思維、嚴格推理能力.命題時采取分步設問、梯次遞進的方式，設計不同層次的試題，區分不同能力水平的考生.創新題目設計，運用日常生活語言和情境考查邏輯推理能力，對考生邏輯推理能力的考查更加真實、有效.如第20題第（1）問以橢圓的標準方程為依托，設計了線段之間的向量關系式等條件，考查求動點軌跡的方法；第（2）問設計了動直線相互垂直的證明問題，重點考查思維的靈活性和綜合應用知識解決問題的能力.

2.弘揚優秀傳統文化，體現基礎性

2017年修訂的數學考試大綱和考試說明提出了加強數學文化考查的要求.2017年數學試卷通過數學史展示數學文化的民族性與世界性，第3題考查等比數列，試題從我國古代數學名著《算法統宗》引入，然后通過詩歌提出數學問題，闡明試題的數學史背景，試卷注重滲透中國經典數學文化，激發考生對中華民族優秀傳統文化的喜愛，使考生感受到我國古代數學的成就和特點，有利于引導學生了解中國數學文化，激發愛國熱情.

3.加強應用能力考查，增強實踐性

2017年數學學科高考貫徹高考內容改革的要求，加強應用性，緊密結合社會實際，以考生現實生活的問題為背景設置試題，要求考生應用數學原理和數學工具解決實際問題.體現了數學在解決實際問題中的巨大作用和應用價值，體現了高考改革中加強應用性、實踐性的特點.2017年數學試卷采用大題、小題結合的方式，全面、深入考查應用能力.如第19題以現實社會生產實踐中，水產品養殖方法的創新問題為背景，設計了根據樣本數據分析比較新、舊養殖方法產量的問題.試題的第一問設計為根據直方圖估計某事件的概率，第二問設計為根據整理的數據進行隨機變量間獨立性的檢驗，第三問設計為根據直方圖，估計總體中位數.本題很好地考查概率與統計的思想和方法，反映了當前全民創業、大眾創新的現實，體現了“立德樹人”的教育理念.2017年的數學應用題情景豐富，貼近考生，貼近生活，具有濃厚的時代氣息，體現了數學與社會的密切聯系，對考生的閱讀理解能力、推理論證能力，理性思維進行了全方位的考查.

4.考查數學思想方法，凸顯創新性

2017年試卷加強基礎性和創新性，以數學基礎知識、基本能力、基本思想方法為考查重點，注重對數學通性通法的考查.考查時從學科整體意義和思想價值的高度立意，淡化特殊技巧，加強針對性，有效地檢測考生對數學知識中所蘊含的數學思想方法的掌握程度.理科第11、15題考查了函數與方程的思想，理科第12題考查了化歸與轉化的數學思想，理科第5、9、16、20題考查了數形結合的思想，理科第21題考查了分類與整合的思想，理科第13題考查了統計與概率的思想.文科第10題、理科第8題程序框圖，反映了課標新增內容的程序化思想；還有理科第4題、文科第6題由三視圖計算一個幾何體的體積，考查幾何直觀能力，理科第7題、文科第9題考查了歸納推理與類比推理等.高考數學一道試題往往考查多種能力、多種思想方法，對考生的創新能力提出了要求.同時，高考試題在命制時充分考慮到考生數學能力的個體差異，絕大多數試題的解答方法、思維方式不唯一，而是多種多樣.例如理科第16題，可以從拋物線的幾何性質入手，還可以應用解析幾何的解析法通過計算切入，一題多解，給考生提供了較大的發揮空間.這樣通過方法的選擇、所用解題時間的長短，甄別出考生能力的差異，達到精確區分考生的目的.

5.文理試卷層次分明，區分差異性

從表2中可以看出文理不同題達69分，相同題42分，姊妹題39分，注重區分文理科學生數學水平差異，讓文理考生都考出理想水平.由于理科內容分布較廣，其中尤以立體幾何差異最為明顯，理科對數學素養及思想方法要求更高一些.但今年文理科趨同題較多，且解答題20題文理科完全一樣，所以今年文科整體難度略高于理科.

6.著力要求運算能力，突出數式性

今年試題的突出特點是普遍數式運算量較大.除大部分選擇、填空題都需要進行計算外，多數解答題的運算量也很大，如理科第18題的數值計算及理科第19題立體幾何的計算，文理科第20題解析幾何、第21題導數等都包含復雜的數值和字符運算或論證化簡.計算能力不強的考生，可能知道題目如何解，但受制于數式運算不強而無法完成.從考生實際答卷情況來看，文理科試卷的后兩個題（第20、21題）普遍得分很低，除這些試題自身難度較大以外，與整張試卷的運算量大也有密切關系.

7.合理擺放試題順序，注意合理性

從考生答題情況可以看出，個別試題的排列順序不太合理，如理科第7題可以靠后在第10題或第11題的位置；又如文科第19題、理科第18題的答題卷中可以設計出2×2列聯表，讓學生節約列表格的時間.

總之，2017年數學試卷體現了考試內容的基礎性、綜合性、應用性和創新性，試題堅持能力立意的命題原則，體現了對“核心素養”的考查，體現了數學的科學價值和理性價值，有利于高校選拔優秀人才，有利于引導中學數學教學.

三、部分解答題考生作答情況分析及建議

【理17】除參考解答外的部分解答：

典型錯誤：（1）公式記錯或記混，或無論題目是否有用都寫上.

（2）計算能力不過關.

教學建議：解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內角和定理、正余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關系進行“邊轉角”、“角轉邊”，另外要注意a+c，ac，a2+c2三者的關系，這樣的題目小而活，應加強三角恒等變形及解三角形的訓練，在平時教學中注重基礎知識、基本技能、基本思想方法的訓練，讓學生的基本能力到位.

試題評價：此題涵蓋了同角三角函數的基本關系、誘導公式、降冪公式、二倍角公式、正余弦定理，全面考查了三角函數的基本知識和基本技巧，難度適中，區分度高，是選拔能力型人才的一道好題.

【文，理20】除參考解答外的部分解答：

常見錯誤：

③直接由兩個特殊點得出軌跡方程或直接寫出軌跡方程.

第（Ⅱ）問：①設θ（-3，t），P（m，n），O￣→P·P￣→Q運算出錯，導致得出錯誤結果-3m+5n+1=0.

②設直線l方程為y=k（x+1）或y=kx+b，再代入得關于x的一元二次方程，寫出韋達定理，Δ＞0等.

教學建議：本題最大問題體現在學生的運算能力弱，邏輯混亂，書寫潦草，不好辨認.在教學中應加強學生運算能力，數形結合思想，函數與方程思想及化歸轉化思想方法的培養.讓學生具備分析問題、解決問題的能力，不能一味地設計一些套路，如有的老師說遇到解析幾何題就用韋達定理及判別式去求解，但在關鍵時候可能什么也用不上，應重視基本功的培養.

試題評價：解析幾何研究的主要問題是：（1）根據已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線性質.本題第一問以橢圓的標準方程為依托，設計了線段之間的向量關系式等條件，考查求動點軌跡的方法；第二問設計了動直線相互垂直的證明問題，重點考查思維的靈活性和綜合應用知識解決問題的能力，是一道區分度明顯的好題.

【理21】除參考解答外的部分解答：

（Ⅰ）方法一：由題知（fx）=x＜ax-a-lnx（x＞0），且（fx）≥0，所以a（x-1）-lnx≥0.

當x∈（0，1）時，g（x）′＜0，g（x）遞減，g（x）＜g（1）=0，所以x-1＞lnx，即＞1，所以a≤1；

當x∈（1，+∞）時，，g′（x）＞0，g（x）遞增，g（x）＞g（1）=0，所以x-1＞lnx，即＜1，所以a≥1.

綜上a=1.

方法二：（用洛必達法則）由題知（fx）=x（ax-a-lnx）（x＞0），且（fx）≥0，所以a（x-1）-lnx≥0.

當x∈（0，1）時，h（′x）＞0，h（x）遞增，h（x）＜h（1）=0，

當x∈（1，+∞）時，h（′x）＜0，h（x）遞減，h（x）＜h（1）=0，所以g′（x）＜0，g（x）遞減，g（x）＞=1，所以a≥1.

故a=1.

典型錯誤：

第一問：學生直接求導等于0，或用數形結合得到a=1，但沒有進一步說明a=1可行.

②學生在證明（fx）＞e-2時取自變量x的值有很多種取法都是錯的，例如f）＜0也是錯的.

教學建議：作為壓軸題，對學生能力要求比較高，在教學時應教會學生分析問題的能力，關鍵“審”準題，然后再動手處理，所以在教學中應注重邏輯思維能力的培養，規范書寫，應注重通性通法教學，讓考生能得到較理想的分數.

試題評價：本題主要考查函數的極值及導數的應用，結構形式簡單，讓學生能看清題目實質要求較高，試題“入口寬，方法多”，對函數與方程思想，化歸與轉化思想要求較高，能有效區分能力較強的考生，利于高校選拔優秀人才.

四、復習備考建議

1.回歸基礎知識，回歸教材內容

重視基礎知識、基本技能的復習，首輪復習時在概念定義、通性通法上回歸教材，把教材上典型的例題、習題（復習題）過一下；對復習資料要處理，刪去偏難、偏怪、超綱、解法太唯一的題目；對基本運算能力、空間想象能力、推理論證能力、數據處理能力等在復習時要求逐步提高，最后達到高考要求；防止出現復習的漏點、盲點（例如二項式定理、定積分、正態分布、期望、方差等）；部分降低要求或不考的內容不宜過分拓廣加深（例如反函數、實際推斷原理和假設檢驗、聚類分析等）.

2.改變教學方式，提高復習效果

突出過程教學，更要講為什么.數學基本知識不但要理解，還要會運用，更要知道是怎么得到的，不但要講理，更要講道理.要注重數學基本知識的發生發展過程的教學，注重數學問題解決思路的探究過程的分析.堅持三個并重：巧算與硬算并重，主干與細節并重，重點與非重點并重.知識理解“深化”、考試題型“類化”、通性通法“強化”、解題思維“優化”.查考試說明把握方向、查高考試題明辨重點、查課標教材回歸基礎、查考生學習效果對癥下藥.讓學生實現：別人“點”，心有靈犀一點通；自己“悟”，融會貫通；動手“做”，觸類旁通；自主“學”，無師自通.

3.加強訓練的針對性、有效性、科學性

選題既要符合學生的實際，又要符合高考的實際；訓練要有“度”，不要迷信“熟能生巧”；題目不求多，要求“活、聯、變”；特別注意中低檔題的訓練，因為它們構成了高考試卷的主體，所占分值至少有105分；“小、靈、通”題目是訓練重點，抓好中低檔題的三點：入手點、關鍵點、警戒點.

4.注重解題反思，提升思維能力

數學學習不僅是學知識，更重要的是學方法；不僅是會解題，更重要的是領悟數學思想與方法；不只知道一些數學思想與方法的名詞術語，更重要的是在過程中去體會領悟出數學思想與方法.過程中就會產生思想、方法和智慧.知識教學時要展示其知識發生發展過程與探求過程，解題時要重視解題思路探求與優化，作業練習時要經常進行解題反思.一個問題解決后，就要停下來咀嚼，慢慢品味，不要急于去做第二個題，不怕慢，只怕站.引導學生反思導致解題錯誤的根源，反思解題思路，反思解題過程，長此以往，學生的思維能力自然會得到提升.

5.訓練考試技巧，指導考試方法

教師應幫助每個學生確定自己的基本分，樹立目標意識；培養學生一不怕苦、二不怕死的鍥而不舍的精神；對不同高考題型處理不同：小題巧做，大題小做，難題分步做；樹立良好考試心態，題易人易，我不大意；題難人難，我不畏難；綜合練習后引導學生“悟一悟”，學會反思總結；注意訓練書寫規范，巧妙使用草稿紙，在答卷上抄寫得分點的主要步驟，培養得分意識.

1.教育部考試中心.2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科）［M］.北京：高等教育出版社，2017（1）.

2.教育部考試中心.2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）［M］.北京：高等教育出版社，2017（1）.

3.張曉斌.立足重慶，促進課改——2014年高考數學重慶卷試題特點述評［J］.中學數學（上），2014（9）.

4.張曉斌，肖飛，江楠.來自高考數學閱卷場的報告——2015年重慶卷考生答題分析與教學建議［J］.中學數學（上），2015（9）.

5.張曉斌，黃億君.突出數學核心素養，著眼學生能力發展——2016年全國數學卷（Ⅱ）試題特點分析［J］.中學數學（上），2016（8）.