今朝花開勝往昔 料得明日花更紅
——文理合卷視角下2017年浙江高考數(shù)學(xué)試題的深度分析

☉浙江師范大學(xué)特級(jí)教師流動(dòng)工作站 曹鳳山

☉浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué)

☉浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 朱偉義

今朝花開勝往昔 料得明日花更紅
——文理合卷視角下2017年浙江高考數(shù)學(xué)試題的深度分析

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☉浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué)

☉浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 朱偉義

浙江的課改走在全國的前列，為大家所關(guān)注，2017年浙江高考數(shù)學(xué)文理合卷更是萬眾矚目.考前有很多懸念，考后波瀾不驚，意料之外，情理之中，教師、學(xué)生、社會(huì)說不上皆大歡喜，尚能平靜接受.

文理合卷的前提下，試卷遵循《課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念，符合《考試說明》的各項(xiàng)要求，堅(jiān)持“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，充分體現(xiàn)“以能力立意”的指導(dǎo)思想，保持了命題的連續(xù)性、穩(wěn)定性、創(chuàng)新性.試卷全面考查雙基，凸顯主干知識(shí)，既有較高的知識(shí)覆蓋率，對(duì)支撐高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容又重點(diǎn)考查.試題立足通性通法，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的要求，知識(shí)、能力考查有機(jī)融合，體現(xiàn)考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

命題人可以松一口氣.作為一線教師，僅僅是一個(gè)新問題的開始，基于文理合卷，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查下高考數(shù)學(xué)試卷有何特點(diǎn)、高中數(shù)學(xué)應(yīng)該如何教、如何學(xué)，都是亟待理清的問題.

一、文理合卷視角下的試題特點(diǎn)

（一）浙江特色漸入佳境

1.穩(wěn)中漸變，繼承創(chuàng)新并重

表1：2007～2017年浙江高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)對(duì)比

從表1可以看出，今年又重新回到2007～2014年的“10+7+5”的模式，內(nèi)涵又有變化，選擇題數(shù)量不變，分值降低，由每題5分降到4分，填空題提高分值，增加一題兩空，解答題增加2分，根據(jù)分值與試題難度、考查知識(shí)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，選擇題自然降低難度，填空題考查內(nèi)容增加；相比2015年、2016年的數(shù)學(xué)試卷，選擇題分值保持不變，數(shù)量由8道變?yōu)?0道，為難度的調(diào)整打下基礎(chǔ).

整張?jiān)嚲戆催x擇題、填空題、解答題呈現(xiàn)三個(gè)難度層次，在每種題型內(nèi)又各有難度臺(tái)階，整張?jiān)嚲沓尸F(xiàn)“分題把關(guān)”模式，在選擇題的第9、10題試題難度提升一個(gè)層次，填空題的第16、17題一部分考生會(huì)感覺比較難上手，解答題最后兩題共同起到“壓軸”的作用.

2.全面考查，凸顯主干知識(shí)

從表2可以看出，試卷在《考試說明》要求的各個(gè)模塊上基本都有試題，具有較高的覆蓋率，體現(xiàn)出“學(xué)什么考什么”的導(dǎo)向；相比2016年，有一些新增考點(diǎn)，但試卷仍然圍繞重點(diǎn)知識(shí)，突出重心，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何初步與空間向量、解析幾何、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列與平面向量等，分值依次大約為31、23、23、20、10、10分，以上內(nèi)容構(gòu)成了試卷的主體.

表2：2011～2017年浙江高考數(shù)學(xué)卷考查內(nèi)容分布

3.規(guī)避套路，倡導(dǎo)通性通法

試卷沒有偏、難、怪的試題，不少試題直接取自課本或者簡(jiǎn)單變式，如第1、2、4、12、16、18題等，考生十分熟悉，沒有任何陌生感，試題的求解沒有絕招、怪招，強(qiáng)調(diào)從概念、原理出發(fā)，體現(xiàn)通性通法的重要作用.

例1（2017年浙江卷第16題）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有______種不同的選法.（用數(shù)字作答）

簡(jiǎn)析：可以按女生分為兩類：

規(guī)避解題套路，如第21題，大家熟知的，設(shè)點(diǎn)（線）列方程（組）、利用韋達(dá)定理的套路一籌莫展，需要考生根據(jù)具體問題制定相應(yīng)的解題路線，確定運(yùn)算路徑.

4.體現(xiàn)方法，全面檢測(cè)能力

例2（2017年浙江卷第15題）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是_______.

簡(jiǎn)析：浙江高考數(shù)學(xué)試題命題手段不斷改進(jìn)，但基礎(chǔ)為抓手，思想方法為依托，全面考查數(shù)學(xué)能力的命題格調(diào)一直不變，體現(xiàn)出鮮明的浙江特色.主要考查的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.

圖1

5.關(guān)注本質(zhì)，考查深度理解

浙江省自主命題一直關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，不少試題注重從一個(gè)小問題出發(fā)，力求說明一個(gè)大觀點(diǎn)，體現(xiàn)一個(gè)大意境，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

圖2

例3（2017年浙江卷第7題）函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像如圖2所示，則函數(shù)y=f（x）的圖像可能是圖3中的（ ）.

圖3

簡(jiǎn)析：通過導(dǎo)函數(shù)圖像函數(shù)值的符號(hào)，確定原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像，應(yīng)該是先減后增，再減再增，答案在B，D之間，再注意到增、減的轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置，選D；或者根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的圖象可以看到，原函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，且是二正一負(fù)，再結(jié)合單調(diào)性判斷.

考題年年新，概念是其根，變的是形式，不變的一定是對(duì)概念的考查.

例4（2017年浙江卷第6題）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d＞0”是“S4+S6”＞2S5的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

簡(jiǎn)析：從知識(shí)層面看，S4+S6-2S5=a6-a5=d，所以為充要條件，選C.

二、文理合卷再寫新篇

1.突出基礎(chǔ)，關(guān)注所有考生

首先對(duì)一類簡(jiǎn)單問題做一個(gè)對(duì)比.

例5第一組：（1）（2014年浙江文科卷）設(shè)集合S=｛x|x≥2｝，T=｛x|x≤5｝，則S∩T=（ ）.

A.（-∞，5］B.［2，+∞）C.（2，5）D.［2，5］

（2）（2014年浙江理科卷）設(shè)全集U=｛x∈N|x≥2｝，集合A=｛x∈N|x2≥5｝，則CUA=（ ）.

A.?B.｛2｝C.｛5｝D.｛2，5｝

第二組：（1）（2015年浙江文科卷）已知集合P=｛x|x2-2x≥3｝，Q=｛x|2＜x＜4｝，則P∩Q=（ ）.

A.［3，4）B.（2，3］C.（-1，2）D.（-1，3］

（2）（2015年浙江理科卷）已知集合P=｛x|x2-2x≥0｝，Q=｛x|1＜x≤2｝，則（CRP）∩Q=（ ）.

A.［0，1）B.（0，2］C.（1，2）D.［1，2］

（3）（2017年浙江卷第1題）已知P=｛x|-1＜x＜1｝，Q=｛-2＜x＜0｝，則P∪Q=（ ）.

A.（-2，1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（-2，-1）

簡(jiǎn)析：對(duì)于同一知識(shí)點(diǎn)的高考試題，以前理科相對(duì)文科考查知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量也大于文科，合卷后試題采取原來文科的難度，起點(diǎn)降低.一些試題難度甚至出乎意外，如第1、2、3、4、5、11、12、18題等.

2.題型定位，功能更加明顯

“選擇題（填空題、解答題）就是選擇題（填空題、解答題）”，題型功能定位進(jìn)一步明確，客觀題主要考查概念理解、簡(jiǎn)單的計(jì)算，知識(shí)點(diǎn)相對(duì)集中，體現(xiàn)理解出即可作答，理解即不用計(jì)算或簡(jiǎn)單計(jì)算的情形，簡(jiǎn)單明了，解答題深入考查，注重綜合，18-21題一題兩問，22題一題三問，低門檻有高度，體現(xiàn)能力考查的特點(diǎn).

3.一題多解，求解確定層次

文理合卷，既要照顧到所有的考生，又要實(shí)現(xiàn)有利于高校選拔，如何實(shí)現(xiàn)這一平衡？與以往的試卷相比，有多種求解層次的試題數(shù)量明顯增加.不同的解題層次，對(duì)應(yīng)不同的解題時(shí)間及準(zhǔn)確率，體現(xiàn)對(duì)問題不同層次的理解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的考查.

例6（2017年浙江卷第12題）已知a，b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虛數(shù)單位）則a2+b2=_____，ab=_____.

簡(jiǎn)析：作為填空題第2題，絕對(duì)難度當(dāng)然談不上，不過仔細(xì)分析求解過程，應(yīng)該有所感悟.

方法2：注意到a2+b2為左邊復(fù)數(shù)模的平方，即3+4i模的平方，勾股數(shù)口算即知答案，而ab又是左邊復(fù)數(shù)虛部的一半，明顯為2.

例7（2017年浙江卷第5題）若函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間［0，1］上的最大值是M，最小值是m，則M-m（ ）.

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)

簡(jiǎn)析：方法1：分類討論求最大值、最小值.

方法3：函數(shù)f（x）=x2+ax+b與f（x）=x2的形狀完全相同，b確定圖像上、下的平移，不影響最值的差，而a決定圖像左右的位置，當(dāng)然會(huì)影響到最值之間的距離.把握問題的本質(zhì)，便迎刃而解.

例8（2017年浙江卷第21題）如圖4，已知拋物線x2=y，點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)P（x，y）），過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP斜率的取值范圍;

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

簡(jiǎn)析：（1）方法1：（直觀確認(rèn)）由題意可知，直線AP的斜率介于拋物線在點(diǎn)A）處切線的斜率與直線AB的斜率之間，直線AB的斜率為1，x2=y的導(dǎo)函數(shù)為y′=2x，拋物線在點(diǎn)A）處切線的斜率為-1，故直線AP的斜率的取值范圍是（-1，1）.

圖4

故直線AP的斜率的取值范圍是（-1，1）.

（注：這種方法避開求長度，相對(duì)方法1節(jié)省時(shí)間，提高準(zhǔn)確率）

下同方法1

方法5：（利用平面幾何知識(shí)——圓冪定理）易得點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上，易知|AB|=2，則半徑R=

圖5

以下求解略.

另外也可以利用參數(shù)方程等方法求解.

4.經(jīng)典創(chuàng)新，追求百花齊放

例9（2017年浙江卷第17題）已知α∈R，函數(shù)（fx）=+a在區(qū)間［1，4］上的最大值是5，則α的取值范圍是________.

分類討論：

例10（2017年浙江卷第11題）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S內(nèi)，則S內(nèi)=_______.

簡(jiǎn)析：這是一道關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)文化的問題，以劉徽的“割圓術(shù)”為背景，引出正六邊形面積的問題，也是新的考試大綱下關(guān)于數(shù)學(xué)文化考查的體現(xiàn).將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，則

5.內(nèi)涵深厚，選拔目標(biāo)不變

“文頭理尾”、“文科的形式理科的內(nèi)涵”，道出了今年試卷的部分特點(diǎn)，在整體絕對(duì)難度有所下降的前提下，重選拔重區(qū)分的高考特點(diǎn)沒有變化，而一定數(shù)量絕對(duì)難度較高的試題是高考試卷的必然，絕對(duì)難度的降低主要表現(xiàn)在客觀題、解答題的第一題，解答題最后兩題難度仍然保持了較高水平，其中，第21題主要表現(xiàn)在求解路線的確定及運(yùn)算能力，第22題選取數(shù)列、不等式與對(duì)數(shù)，形式為浙江考生所常見，試題敘述簡(jiǎn)潔，表達(dá)清楚，易于理解，為考生留有更多的思考時(shí)間，一題三問，內(nèi)容前后呼應(yīng).從基礎(chǔ)出發(fā)，層層遞進(jìn)，梯度恰當(dāng)，難度主要體現(xiàn)在邏輯推理能力的考查.

6.核心素養(yǎng)，小荷才露尖尖角

最新修訂的《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了“命題應(yīng)依據(jù)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達(dá)成水平的評(píng)價(jià)，處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系，要充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用”等命題原則，今年的浙江高考數(shù)學(xué)試題在情境創(chuàng)設(shè)、知識(shí)與技能考查，核心素養(yǎng)的水平等方面都做了不少有益的探索，限于篇幅，另文探討，這里從略.

三、基于文理合卷的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的思考

根據(jù)以上對(duì)2017年浙江文理合卷試題的分析，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)需要有思考，有新舉措.

（1）更加注重“四基”的教學(xué).四基是考生繼續(xù)深造的“根”，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“根”，是取得理想成績(jī)的“根”，是教學(xué)目標(biāo)的“根”，脫離“四基”追求能力培養(yǎng)與核心素養(yǎng)提升就是無源之水無本之木.

（2）更加注重因人施教.因人施教就要充分考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力、未來發(fā)展需要，不能好高騖遠(yuǎn)，也不能因噎廢食，讓每一個(gè)學(xué)生實(shí)現(xiàn)成長的最大可能.

（3）更加注重基于通性通法、基于數(shù)學(xué)思維的解題教學(xué).高考數(shù)學(xué)試題杜絕“偏、難、怪”，解法避免“絕、冷、超”，解題教學(xué)就要注重中學(xué)數(shù)學(xué)核心思想方法，注重?cái)?shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，為以后的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).