芻議“數(shù)學理解動態(tài)生長模型”在數(shù)學理解性解題活動中的作用*

☉江蘇省睢寧高級中學南校 劉亞平

芻議“數(shù)學理解動態(tài)生長模型”在數(shù)學理解性解題活動中的作用*

☉江蘇省睢寧高級中學南校 劉亞平

數(shù)學理解動態(tài)生長模型由8個不同的理解階段組成，即初步了解、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察評述、構(gòu)造化與發(fā)明創(chuàng)造.［1］該模型使學生理解過程顯性化、直觀化，為分析學生的數(shù)學理解水平提供了一個理論框架，教師可以選擇某些有針對性的問題讓學生解決，通過學生解題的狀況，借助數(shù)學理解動態(tài)生長模型來判斷學生理解處于什么階段，發(fā)現(xiàn)學生在相應階段上理解存在的困難，并采取相應理解階段的補救措施，提高學生對知識的理解水平.下面，筆者將結(jié)合一個解題教學的三個教學片斷，探討數(shù)學理解動態(tài)生長模型對數(shù)學理解性解題活動的指導意義.

圖1

（1）求橢圓C的方程；

一、“數(shù)學理解動態(tài)生長模型”對數(shù)學理解性解題活動的指導意義

1.數(shù)學解題的回歸性

數(shù)學教育家Pirie和Kieren認為，人無論在哪一級理解水平上，面對一個不能馬上理解或解決的問題，為了加深和擴充自己的理解，有必要返回內(nèi)層水平.這種重新返回到內(nèi)層水平所進行的解題活動與原先內(nèi)層水平的理解活動是不同的，而是具有外層理解水平的特點.回歸的有效性取決于學習環(huán)境和學生的個人，特別是當學生被鼓舞而回歸內(nèi)層收集特定的信息時，這種回歸會變得更有效，因為它具有探究解題方向的目的性.［1］數(shù)學解題的回歸性是指學生的解題過程并不是一定遵循著數(shù)學理解動態(tài)生長模型單向地由內(nèi)向外發(fā)展，當學生解題思維受阻時，學生思維就會折回內(nèi)層理解水平，尋找解題的切入點和突破點.

教學片段1

在第（3）問中，E是橢圓的焦點嗎？有的學生通過取通徑與長軸兩個特殊位置加以計算，很快得出E不是橢圓的焦點（±2，0）.教師接著追問：E不是橢圓的焦點，那能不能先求出點E，再證明為定值？（看到學生茫然四顧，教師接著又追問）剛才大家判斷E不是橢圓的焦點時，運用什么策略？學生回答：運用的是“特殊探路，再證一般”的策略.教師啟發(fā)：能不能“故伎重演”先求出點E，再進行一般性證明？學生恍然大悟（忍俊不禁），解題思路峰回路轉(zhuǎn).在師生共同努力下得到如下的解法一：

2.數(shù)學解題的超越性

數(shù)學理解動態(tài)生長模型只是給出了學生理解某一數(shù)學知識所經(jīng)歷的全過程.事實上，各個層次的理解階段是相互聯(lián)系、相互影響的，前一階段的理解是后一階段理解的前提與基礎(chǔ)；后一階段的理解是前一階段的理解的拓展與延伸.數(shù)學解題的超越性是指外層理解水平包含了內(nèi)層理解水平，并將內(nèi)層理解水平協(xié)調(diào)統(tǒng)一起來時，學生的解題思維就會從低層次向高層次發(fā)生質(zhì)的飛躍，具有解題的預見性、前瞻性.

教學片段2

在上述解法中，同學們運用了“特殊探路，再證一般”的解題策略，找到了解題的切入點，并得知的結(jié)果之所以與t無關(guān)，那是因為（*）式中分子與分母同時出現(xiàn)公因式1+t2的緣故.如果大家不“特殊探路”，那能不能直接求出的結(jié)果？教師的提問引發(fā)了學生的思考，經(jīng)過大家的討論、交流，有位思維敏捷的學生給出了深邃的見解：只要我們抓住問題的本質(zhì)，就沒有必要先“特殊探路”，并在黑板上寫出如下的解法二：

在觀察評述階段，師生共同對上述兩種解法進行思考、討論和對比，大家一致認為兩種解法的算理完全一樣：若使為定值，則分子與分母必然有相同的公因式.解法一思路自然，但運算量較大；解法二簡潔明了，但對學生的數(shù)學素養(yǎng)要求較高.

3.數(shù)學解題的創(chuàng)造性

從一般意義上說，創(chuàng)造力是在人的心理結(jié)構(gòu)整體背景和心理活動的最高水平上所實現(xiàn)的向社會提供的具有首創(chuàng)性和社會價值的產(chǎn)物的綜合能力.［3］發(fā)現(xiàn)和發(fā)明是創(chuàng)造力的主要表現(xiàn).對基礎(chǔ)教育而言，什么是創(chuàng)造呢？教育家劉佛年指出：“只要在學習中，有一點新意思、新思想、新觀念、新設(shè)計、新意圖、新做法、新方法，就可稱得上創(chuàng)造，我們要把創(chuàng)造的范圍看得廣一些，不要看得太神秘.”在2000年教育部國家級骨干教師培訓會上，羅增儒教授曾把“教育中的創(chuàng)造”概括為：“無中生有是創(chuàng)造，有中生新是創(chuàng)新”.

數(shù)學創(chuàng)造性思維既是邏輯思維與非邏輯思維的綜合，又是發(fā)散思維與收斂思維辯證統(tǒng)一.［4］現(xiàn)在心理學的研究認為，創(chuàng)新能力=知識量×發(fā)散思維能力.另外，人們通過實踐還認為，數(shù)學新發(fā)現(xiàn)通常有特定模式，如圖2所示.

圖2

從這個過程我們可以看出，觀察、實驗是引發(fā)猜想的基礎(chǔ)，歸納、聯(lián)想、類比是發(fā)現(xiàn)猜想的途徑，我們在平時數(shù)學教學時，特別是進行有關(guān)合情推理問題教學時，一定要給學生提供觀察實驗、尋找規(guī)律的機會.數(shù)學解題的創(chuàng)造性就是在數(shù)學理解動態(tài)生長模型的發(fā)明創(chuàng)造階段，教師要引導學生從類似事物中得到新結(jié)論、新觀點，從相近事物的聯(lián)想得到新思想、新視角，再進行嚴謹?shù)恼撟C，進而培養(yǎng)學生的分散思維與創(chuàng)新能力.

問題3：若把問題1中的橢圓=1（a＞b＞0）換成拋物線C：y2=2px（p＞0）呢？

點E（p，0）.（過程略）

從教學片斷3我們不難得知，在數(shù)學解題教學中，教師可以把一題多解、一題多問、一題多變及合情推理等作為一種常用的解題教學模式，這是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的一種行之有效的舉措.

二、“數(shù)學理解動態(tài)生長模型”對數(shù)學理解性解題活動的啟示

1.理解性解題教學應尊重學生的思維需求

從數(shù)學學習的角度看，數(shù)學理解是個體在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對數(shù)學知識中的概念、原理、公式、法則等進行解釋，主動構(gòu)建其意義，并在構(gòu)建意義的過程中通過同化或順應的方式將新知識納入原有認知結(jié)構(gòu)的一種思維活動.也就是說，數(shù)學理解需要經(jīng)歷一個思維過程.［1］數(shù)學理解動態(tài)生長模型8個不同的理解階段也決定了學生的數(shù)學理解不可能是一蹴而就，需要教師按照8個不同的理解階段循序漸進地進行教學.

本節(jié)課的解題教學，教師并沒有開門見山直接講解解法二，而是遵循數(shù)學教學實事求是的態(tài)度，即根據(jù)教學內(nèi)容的疑難點和學生思維的起始點，引導學生挖掘解題的切入點，既強調(diào)了教師適度的提示與引導，也鼓勵了學生積極主動的思考與探索.學生通過解法一的形成過程逐步掌握了求問題的方法、規(guī)律與性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上水到渠成地過渡到解法二，接著又順應學生思維的需求通過解題的創(chuàng)造性的教學環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學生觀察、猜想、歸納、探究、創(chuàng)造等數(shù)學能力.

2.多元表征是數(shù)學理解性解題活動的中心

全美數(shù)學教師理事會出版的《學校數(shù)學教育的原則和標準》一書中指出：“表征數(shù)學知識的方式，對于人們?nèi)绾卫斫夂蛻眠@些知識是至關(guān)重要的，表征是數(shù)學學習的中心，當學生創(chuàng)造、比較和運用不同的表征時，他們發(fā)展和加深了對數(shù)學概念的理解，不同的表征方式，能幫助學生交流他們的思維.”［2］因此，對問題作出什么樣的表征，這種表征是否得當，是否簡潔，是否容易被學生的知識結(jié)構(gòu)同化或順應，對數(shù)學問題的解決起至關(guān)重要的影響.

解法一在解題的起始階段運用了x1、y1、x2、y2、t五個變量來表征的值，而后通過消元及韋達定理把的值表征為學生最熟悉的關(guān)于一個變量t的問題；解法二在解題的起始階段運用了x1、y1、x2、y2、t、k六個變量來表征的值，而后通過消元及韋達定理把的值表征為學生較熟悉的關(guān)于兩個變量t、k的值.顯然，解法二的表征難度略大，學生較難理解與掌握.

3.形式化是數(shù)學理解性解題活動的難點

數(shù)學解題教學是數(shù)學活動的教學，要使學生真正學會解決數(shù)學問題，必須要有學生的親身實踐、反復體驗把數(shù)學的文字語言、圖形語言如何轉(zhuǎn)化為形式化語言的過程，以及用形式化語言來分析、表征要解決問題的要點.數(shù)學形式化語言表現(xiàn)為抽象、簡潔、嚴謹.學生不易記憶、理解與運用，教師可以在例題講解的基礎(chǔ)上，適當增加一些變式題組，強化學生對疑難問題的辨析及理解，使學生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的認知過程，逐步養(yǎng)成透過事物的表象把握本質(zhì)的思維習慣，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、理性思維等能力.

4.觀察評述是數(shù)學理解性解題活動的保證

數(shù)學理解的觀察評述階段，表現(xiàn)為觀察和反省解題活動所經(jīng)歷的過程，對前面幾個階段抽象出來的方法或性質(zhì)進行思考、討論和檢驗，并將思考和討論的結(jié)果進行整理和組織，納入原有的知識體系中.平時解題與高考是兩碼事，高考要求學生用最簡捷的方法在最短時間內(nèi)解決問題，贏得時間.而平時的解題教學恰恰相反，快速解題不是教學的唯一目的，教師要舍得花時間引導學生多角度思考、深挖問題的內(nèi)涵、揭示問題的本質(zhì)，結(jié)合數(shù)學理解動態(tài)生長模型判斷學生的解題處于哪一階段的水平，幫助學生找出理解上存在的困難，制定解決問題難點的各種對應策略，在各種解法的甄別中，選出優(yōu)法，確立通法.

波利亞在《怎樣解題》中把解題過程概括為“審題—探索—表達—回顧”四個環(huán)節(jié)，明確指出解題回顧是解題的最后一個環(huán)節(jié).這里的回顧就是平時我們所說的解題反思，也就是數(shù)學理解動態(tài)生長模型中的觀察評述環(huán)節(jié).在本節(jié)課教學中，每當階段性問題解決之后，教師都會引導學生對學習過程和方法進行全方位的監(jiān)控，提煉解題策略、思想與方法，這無疑為以后的解題活動打下了堅實的基礎(chǔ).

5.發(fā)明創(chuàng)造是數(shù)學理解性解題活動的動力

數(shù)學教育家弗賴登塔爾反復強調(diào)：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的知識發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.”解題教學時教師不僅要啟發(fā)、示范，還要鼓勵學生講思路、講方法，不僅要學生講出正確解法的心路歷程，還要學生講出錯誤方法的形成緣由，提高學生發(fā)現(xiàn)問題與創(chuàng)新能力.作為素質(zhì)教育重要內(nèi)容的“創(chuàng)新教育”已成為人們關(guān)注的熱點，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提高民族素質(zhì)已成為當今數(shù)學教學追求的目標.［4］數(shù)學教學要實現(xiàn)“從復現(xiàn)性學習的數(shù)學到創(chuàng)造性學習的數(shù)學轉(zhuǎn)變”.

在解題過程中，教師多次運用了合情推理培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力，開拓了學生的思維.如教師提示：在第（3）問中，E是橢圓的焦點嗎？那能不能“故伎重演”先求出點E，再進行一般性證明？以及整個教學片斷3等.合情推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.通過合情推理得到的結(jié)論，可以作為進一步探究的起點，幫助學生窺探問題的本源，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣與熱情.

1.羅新兵，石雪梅.數(shù)學理解性學習的條件分析——基于Pirie-Kieren數(shù)學理解模型的思考［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2012（12）.

2.劉亞平.運用數(shù)學活動經(jīng)驗 提升數(shù)學教學實效［J］.中學數(shù)學（上），2016（5）.

3.張漢昌，趙菡.開放式課堂教學法研究［M］.開封：河南大學出版社，2000.

4.劉亞平.傾聽有收獲 沿途真精彩［J］.中學數(shù)學（上），2016（12）.

*本文是2016年江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃立項課題——“數(shù)學理解動態(tài)生長模型”指導下高中數(shù)學理解性學習實踐研究（立項編號為D/2016/02/15）的階段性成果.