小議建模素養在教學中的滲透*

☉江蘇省海門市四甲中學 王宗艷

小議建模素養在教學中的滲透*

☉江蘇省海門市四甲中學 王宗艷

2017年年初新課程標準已經在醞釀出爐，從三維目標到今天提出全新的核心素養角度，數學教學需要做出進一步的與時俱進的改革.遵從教育的核心素養，數學學科核心素養也相應提出.眾所周知，數學學科核心素養提出了六條原則，與教材和大綱較為吻合地提出了數學建模素養，這是一直以來教材所推崇的如何利用數學知識解決實際問題的體現.

數學建模素養是怎么培養和建立？人民教育出版社章建躍近期在中小學數學雜志尾頁上就新版教材諸多應用型問題的使用這樣評價：現在的教材編寫特別注重了對應用型問題的編制，這一點是依據課程標準大綱對于數學應用性要求的體現，也直接提高了學生對于數學實用性的關注，與建模素養的培養和建立休戚相關.筆者認為，要將建模素養在教學中滲透必須進行合理的教學選擇、設計，知識點如何安排和在具體情境問題中體會，是建模素養教學實施的關鍵.

一、從應用問題中滲透建模

數學是一門研究數量關系本質的學科.從建模最初級別層次的理解，可以從應用型問題入手.可以這么說，應用型問題是數學知識為載體，以具體情境為依托的問題，其拋開情境自然而然的是研究數學化的問題.這對于學生而言，從問題中挖掘數學的想法是比較自然的，難點在于如何挖掘？如何看到問題涉及的是怎么樣的數學知識，如圖1.

圖1

問題1：在購買一件價格為5000元的商品時，采用天貓分期付款，那么在一年內將款全部付清的前提下，商家提出了下表所示的幾種付款方案，以供顧客選擇：（1）分期付款中規定每期所付款額相同；（2）每月利息按復利計算.

思考：對于分期付款是生活現實的一個問題，按照銀行利息計算方式，我們需要從數列角度思考.將問題的情境抽離，我們發現其本質是數列求和問題，需要關注的是問題所選擇的是等比數列求和.

解析：以6次還清作為研究對象，來分析兩種不同的建模思路.

（1）設每期應付款為x元，5000元12個月后的本息和為5000（1+0.8%）12，分期付款各期所付款額12個月后代本息和為x+x（1+0.8%）2+x（1+0.8%）4+…+x（1+0.8%）10=x［1-（1.0082）6］÷（1-1.0082），所 以x［1-（1.0082）6］÷（1-1.0082）=5000×1.00812x=5000×1.00812×（1.0082-1）÷（1-1.00812）≈880.8（元），另外還可以理解為每次付款后沖掉部分應付款及相應利息.

（2）設每次還x元，每次還款后欠款所組成的數列為｛an｝.a1=5000（1+0.8%）2-x，a2=a1（1+0.8%）2-x=5000（1+0.8%）4-x（1+0.8%）2-x，…，a6=a5（1+0.8%）12-x=5000（1+0.8%）12-x（1+0.8%）10-x（1+0.8%）8-…-x，顯然a6=0，即x（1+1.0082+1.0084+…+1.00810）=5000（1+0.8%）12，又是回到（1）的情況，因此（2）的思路與（1）殊途同歸.至于分3次和12次還清則可同理而得，不做累述.

說明：模型的建立是依賴腦海中的數學知識，分期付款并不是想象中那么復雜，按照銀行實際復利的計算方式，運用每一次還款總和或還款總數遞減方式都可以建立等比數列求和的關系式，這是抽象數學問題本質的、建立建模素養的核心，值得注意的是，對于總價和用戶每月償還的賬務，都需要按照利息計算，這是體現公平的表現，實際問題中需要注意.

二、數學問題中培養模型思想

綜合性數學問題中涉及的知識是多方面的，有些問題需要從另一知識的角度去思考、去建立模型.這種數學問題往往以綜合性問題居多，如何從綜合性問題中獲得某一知識建立的模型，是教學需要關注的.

圖2

問題2：如圖2，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練，已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小，若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則仰角的正切值最大為__________.

思考：本題是空間幾何背景的問題，要計算仰角最大值，必須弄清楚兩個方面：第一是仰角的基本概念，這是解三角形中的基本知識；第二是空間幾何問題的處理模型是什么？不難發現，模型的建立是依賴三角形為載體，將空間幾何問題漸漸處理為平面幾何問題，利用問題轉換的視角去解決.

說明：數學綜合性問題的建模與實際問題建模有所不同，更多的角度是圍繞數學某一知識建立問題的結構模型，本題以解三角形中的函數動態問題建立模型，將空間幾何問題轉化為平面幾何中的三角形邊與邊之間的關系，是函數模型動態問題的典型.

三、代數化建模的重視

幾何問題代數化是中學數學教學的重點之一.從近期已故數學大師吳文俊先生的話來說，數學必將朝著機械化、代數化的方向不斷前進，很多理論中的幾何問題都可以通過計算機進行代數化論證得以實現.中學數學中用代數的方式研究、建立數學問題的模型，成為培養解決問題的一種通式.如：用平面向量解決平面幾何問題、用代數方法解決圓錐曲線問題、用空間向量解決立體幾何問題等，這都需要完善的模型建立，這種模型的建立往往依賴于坐標系，讓大量的代數運算成為可能.

問題3：如圖3，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥AB，點C在面PAB上的射影O恰在棱AB上，直線BC與面PAB所成的角為θ.

圖3

（1）求證：PA⊥平面ABCD；

思考：只針對第（2）問思考模型的建立.觀察本題不難發現，要求解二面角可以從建立坐標系模型的視角出發.請學生思考建立模型的可能性，如圖4～圖7.

圖4

圖5

圖6

圖7

從學生給出的模型建立角度來看，說明學生已經掌握了建立坐標系模型的基本素養，即盡可能多的點落在坐標系上為準則，讓后續坐標的運算獲得了更為簡潔的方式.細致分析學生的四種圖形：圖4模型的建立是運算最為方便的，圖5與圖4基本一致；圖6的建系運算是難度較大的；圖7考慮到底面是菱形的緣故，因此模型的建立也是較為方便的.代數化的方式讓幾何的解決獲得了簡潔性，成為建模素養一個全新的視角和途徑.

四、特殊化構造建模的培養

數學問題還需要學會特殊化的構造建模，即將抽象問題進行合理的一般化構造，形成可以求解的問題.這種建模就是構造類問題的體現，學生對于構造類建模的想法是比較缺失的.

問題4：已知函數f（x）的導函數為f′（x），若2f′（x）＞f（x）對任意的x∈R成立，那么3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小關系為____________.

說明：構造類的問題模型建立，需要教師不斷向學生滲透模型建立的基本思路，即積累常用模型、提高模式識別的能力，這種模式識別的模型建立往往為后續更高的建模素養打下扎實的基礎.

總之，數學建模素養涉及解題的多方面，可以從實際應用問題、綜合型問題、構造類問題等全方面的角度進行教學思考，將模型如何建立放在問題解決的首位，通過抽離情境的外表獲取知識使用的本質是建模素養的關鍵，成為建模素養起步的第一步，是教師教學與新課程核心素養價值觀不斷靠攏的關鍵.

1.武瑞雪.對中學數學建模教學的探討［J］.教學月刊，2011（12）.

2.方石.數學教學詮釋思維品質［J］.數學通訊，2014（4）.

3.朱永祥.再談數學復習教學的挖掘和運用［J］.中學數學，2012（2）.

4.羅先禮.數學教學的實踐與思考［J］.中小學數學（高中版），2008（12）.

*本文系海門市教育科學規劃微課題“核心素養下數學抽象能力的培養”的理論研究成果.