圓錐曲線綜合題的“入題、破題、練題”之道
——以2017年高考浙江卷21題為例

☉江蘇省梅村高級中學 包正峰

圓錐曲線綜合題的“入題、破題、練題”之道
——以2017年高考浙江卷21題為例

☉江蘇省梅村高級中學 包正峰

圓錐曲線作為高中數學的核心內容，在高考中有著舉足輕重的地位，一直是高考的主干題型和必考內容，既有小巧靈活的容易題，也有新穎別致的中等題、壓軸題.尤其是圓錐曲線綜合題，往往包含比較復雜位置與數量關系，對學生的數學思維、運算能力等均有較高要求.因此，如何采取有效的策略解答圓錐曲線壓軸題是我們一線教師不得不思考的問題.下面筆者就結合2017年高考題，談談對此的看法.

一、入題之道：執果索因

圓錐曲線綜合問題通常遵循以下的解題套路：第一問求圓錐曲線的方程；第二問便是設直線，然后直線與圓錐曲線聯立方程，得到它們的特征方程，再通過特征方程寫出韋達定理，最后利用韋達定理代換化簡.很多老師把上述解題套路當成“萬能方法”，并且反復告誡學生，即使題目不會做，把“套路”寫一遍也能獲得很好的“分數”.當然，我們不能完全否認上述解題套路存在的價值，但如果沒有理解題意，盲目套用，反而會弄巧成拙.縱觀近幾年的高考命題，也呈現出刻意回避上述“套路”的趨勢.

圖1

例1（2017年浙江卷21題）如圖1，已知拋物線x2=y，點A），B），拋物線上的點P（x，y）），過點B作直線AP的垂線，垂直為Q.

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|PA||PQ|的最大值.

分析：此題的第（1）問就有點不按常規“出牌”，不求圓錐曲線的方程而是求直線斜率的范圍.此問只需把斜率表示出來即可求得范圍，根本沒有用到韋達定理.

第（2）問雖然涉及求線段的距離，但實際上根本用不到韋達定理.如果非要用韋達定理表示的話就是“殺雞用牛刀”，要多走好多彎路.

如果不用韋達定理，那上述問題該如何入手呢？我們不妨采用“執果索因”的策略，即通過結論列出代數式，然后在建立條件與結論的聯系的過程中進一步探索解題思路.

對于第（2）問我們可以做如下逆向分析.

第一步，|PA|、|PQ|可以直接利用兩點間距離公式表示出來.

第二步，分別求出點P、Q的坐標.

第三步，設直線AP的斜率，聯立直線AP與拋物線方程求出P點坐標，聯立直線AP與BQ方程求出Q點坐標.

“執果索因”的優點在于能夠避開條件中紛繁復雜關系的干擾，從結論入手發現解題目標，結論中需要什么量或者參數，就去想辦法滿足它，從而避免了解題的盲目性，提高了解題的效率.

二、破題之道：多維轉化

圓錐曲線問題的解答過程計算量較大，對運算能力要求較高，尋求簡捷、合理的運算途徑顯得尤為重要.這需要我們尋求圓錐曲線的“破題”之道.常用的破題方法有：設而不求、活用定義、妙用根與系數的關系、統一方程、巧用對稱等.但這些方法過于微觀，無法從宏觀的角度把握解題的脈絡.我們知道，解析幾何的基本思想就是幾何關系代數化，即把題目中的幾何條件轉化為代數式，而要實現這一轉化的往往有多個視角、多個維度可供思考.

以上述問題為例，|PA||PQ|可以直接理解為距離，也可以轉化為-，到底朝哪個角度轉化解題過程會比較簡潔呢？不僅如此，對于|PQ|而言，可以通過求Q點坐標而獲得|PQ|的值，也可以避開求Q點坐標，而轉化為|PQ|=|AQ|-|PA|，到底哪種方法簡單呢？對于-P￣→A·P￣→Q來說，是否也可以避開求Q點坐標？

點評：平面向量是十分活躍的一個“角色”，它融數、形于一體，與圓錐曲線問題自然交匯、親密接觸，無論對試題的表述，還是在揭示曲線的幾何性質方面都已顯示出它的獨特優勢.盡管有些題中沒有向量，但若引進向量，則能出奇制勝.

多維轉化的實質就是拜托圓錐曲線本身的限制，站在其他知識的角度來審視問題，比如，向量視角、三角視角、不等式視角、幾何意義視角等，這就需要我們更加關注圓錐曲線與其他知識的交匯.

三、練題之道：類比揭示

面對紛繁復雜的題型、靈活多樣的解題策略，教師如何教會學生，讓學生掌握這些技巧與方法呢？解題訓練肯定必不可少，但如何進行科學有效的訓練而不讓學生陷入無休無止的“題海”戰術，這就是“練題”之道.

縱觀歷年的高考題，圓錐曲線綜合題往往具有“雷同”現象，比如，定點、定值問題是常考常新，常新常考.比如，在今年全國各省的高考題中，定點、定值問題也是考的最多的，如下表.

即使有些問題看似毫不相干，但通過轉化也會發現它們實施同一類問題.這就提升教師在教學中要有意識地引導學生關注“形異實同”的問題，將那些相近、相似的問題設計成題組，運用類比思想系統地加以研究，進而揭示其本質，然后“集中火力逐一攻克”.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且O￣→A⊥O￣→B？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（1）求橢圓E的方程；

（1）求橢圓E的方程；

（2）過原點O的兩條相互垂直的射線與橢圓E相交于A、B兩點，證明：O點到直線AB的距離為定值，并求出定值.

上述三道例題中，例2求線段長度的取值范圍，例3求定點，例4求定值，看上去是不同的問題，毫無關聯，但如果仔細分析的話，這三道題實際上是同一回事情，它們是橢圓同一性質的不同表述.

下面我們就來證明這個性質.

上述性質還可以推廣到雙曲線與拋物線.利用性質，上述三道例題迎刃而解.當然，在解題教學中，我們不能夠直接把性質拋給學生，讓學生套用性質解題，而是先讓學生嘗試解題，然后通過類比發現性質，最后，再利用性質訓練解決其他類似的問題，這樣就實現了“解一題，會一法，通一類”的目的.

王國維在《人間詞話》中說：“詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外，解題教學也應如此，入乎其內，能夠認識問題更多的細節，對其本質了若指掌；出乎其外，才能看到問題的不同方面，對其產生更為全面的理解，甚至能夠另辟蹊徑.”這就是圓錐曲線綜合題的“入題、破題、練題”之道的真正意義之所在.