一道模考題的解法賞析

☉江蘇省包場高級中學 龔 亮

一道模考題的解法賞析

☉江蘇省包場高級中學 龔 亮

高中數學教學是讓學生全面掌握數學的基礎知識和基本方法，培養解決問題的能力.這樣的目的需要我們緊緊抓住數學知識的概念并深刻理解，不斷思考解決問題的方法并變換角度進行比較分析，尋找最合理的解決問題的方法，通過這樣的變化才能培養學生分析問題與解決問題的能力.然而現行的高中教學普遍存在一個現象，即將學數學與做題目等同起來.下面筆者通過一道題的解法探究，提高學生對這道題的理解，增加解題經驗，同時談談高中數學教學的一點啟示.

圖1

一、專題呈現

題目 如圖1，某城市有一塊半徑為1（單位：百米）的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問：A，B兩點應選在何處可使得小道AB最短？

這是一道模擬考試題，全班答題情況很不理想.筆者課后及時了解學生解決這個問題的知識儲備和方法掌握情況，調查學生的典型解法和錯誤，分析解法形成的思維過程和錯誤產生的根源.利用上課時間和學生一起交流分析，暴露學生的思維，讓學生正真體會到成功的快樂.

圖2

二、解法賞析

解法1：由題意，分別以兩條道路所在直線建立直角坐標系xOy，如圖2，設A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），則直線AB的方程為=1，即bx+ay-ab=0.因為直線AB與圓C相切，得=1，化簡得ab=2（a+b）-2.利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2來消除差異，目標可化為AB==|a+b-2|.因為0＜a＜1，0＜b＜1，所以AB=2-（a+b）.又ab=2（a+b）-2≤，解得0＜a+b≤4-2，或a+b≥4+2.因為0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4-2，即AB=2-（a+b）≥2-（4-2）=2-2，當且僅當a=b=2-時取等號，所以AB的最小值為2-2，此時a=b=2-

學生：我是用斜截式表示直線AB的方程，解法如下：

圖3

解法3：設切點為D，令BD=x，AD=y，x，y∈（0，1），則AB=x+y，OB=1-x，OA=1-y，如圖3，得（1-x）2+（1-y）2=（x+y）2，則=x+y，由基本不等式，得x+y≥［2-（x+y）］，化簡得（+1）（x+y）≥2，即x+y≥，當且僅當x=y時取等號.

解題簡捷、美觀、迅速，要善于觀察圖形，尋找圖形中隱含的信息，巧妙利用切線的性質以及圖形的對稱性，問題便迎刃而解.

引入角來分析和表達目標函數，再借助于基本不等式或導數知識求解目標即可

解法5：如圖4，連接CE，CA，CD，CB，CF.設AB=l，∠BAO=θ，θ∈），在Rt△OAB中，OB=lsinθ，OA=lcosθ，由題意得OB+BF=OA+AE=1，BD=BF，AD=AE，得OB+BD+AD+OA=2，即OA+OB+AB=2，得lcosθ+lsinθ+l=2，所以AB=時，此時OA=OB=2-

圖4

圖5

以圓心為坐標原點建立坐標系，借助于切線方程求解目標，為本題提供了一個獨特的思維視角，另外，多思少算的思想要應用于解題中，通過優化我們的思維路徑，提高解題的速度和準確率.

三、教學啟示

數學知識的起點是數學概念，數學概念就是數學的本質，它是學習數學的基礎.解決數學問題都應該從正確理解概念出發，抓住概念的本質，這樣才能幫助我們更好地制定出解決問題的策略，教學中緊緊抓住數學概念的來龍去脈，將有利于我們深刻地理解知識.本節課，采用了教師和學生共同參與、討論的做法，讓先行訂正、思考，再全班合作探究，然后教師依據情況再參與進來，進行生與生、師與生的交流.通過這些活動調動學生的積極能動性，激活學生的觀念和感性經驗，產生源源不斷的學習動力.整體看，整節課條理清晰，貼合學生的認知心理，同時培養了學生積極思考、分析、歸納、反思的方法和習慣，這對學生的數學學習能力后續提升非常有益.通過“一題多解”，讓學生學會選擇解題方法，優化解題過程，體會到“變中不變”的通性通法問題解決策略.同時也大大激發學生學習的興趣，提升了他們的解題能力，也提高了課堂教學的有效性.