一道習題的衍變歷程

☉山東省肥城市泰西中學 楊小涵

一道習題的衍變歷程

☉山東省肥城市泰西中學 楊小涵

回歸教材是新課標高考命題的重要理念，通過分析近年高考試題也不難發現教材中例題、習題的身影，將例、習題的條件、結論或背景變換后，以全新的面目展現在考生面前.因此對例、習題進行拓展、變式探究，是高考備考的有效策略.本文以一道函數練習題為例，從多角度對其進行變化探究.

例1動點P從點A出發，按逆時針方向沿周長為l的平面圖形運動一周，A，P兩點間的距離y與動點P所走過的路程x的關系如圖1所示，那么動點P所走的圖形可能是圖2中的（ ）

圖1

圖2

解析：觀察y與x的關系圖，包括兩個隱含條件：（1）當點P運動到時，OP最大；（2）點P的運動圖像關于x=對稱，近似為拋物線.

圖3

圖4

圖5

圖6

對于選項A，如圖3，由圖可知，OM≤OP，不符合條件（1），故排除A.

對于選項B，如圖4，當點P在線段OA上運動時，y=x，其圖像是一條線段，不符合條件（2），故排除B.

對于選項D，如圖5，由圖可知，OM≤OP，不符合條件（1），故排除D.

對于選項C，如圖6，由圖可知，滿足條件，故選項C正確.

點評：本題以不同的平面幾何圖形為背景，考查了動點的運動圖像，解題的關鍵是認真分析函數圖像的特點，找到問題判斷的關鍵條件.

一、逆向探究

例2如圖7，A是周長為l的圓上定點，動點P從點A出發，按逆時針方向沿周長運動一周，則A，P兩點間的距離y與動點P所走過的路程x的函數關系為________.

圖7

圖8

所以A，P兩點間的距離y與動點P所走過的路程x的函數關系為y=x（x∈［0，l］）.

點評：將試題的條件與結論互換，是命題變換的重要形式，本題將例1的條件與所求結論互換，即給出動點運動的平面圖形，探究動點運動的軌跡方程.直接考查了三角函數的定義，以及弧長和弦長之間的關系.

二、變換條件

例3如圖9，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數f（x），則y=f（x）在［0，π］上的圖像大致為圖10中的（）.

圖9

圖10

圖11

圖12

所以0≤x≤π時，y=f（x）的圖像大致為C.

點評：本題將條件中的定點變換為單位圓的圓心，直接考查了單位圓中的三角函數定義、誘導公式及同角關系.求解中注意對角的范圍的討論.

三、變換背景

例4如圖13，長方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC、CD與DA運動，記∠BOP=x，將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則f（x）的圖像大致為圖14中的（）.

圖13

圖14

點評：本題將背景圖形變化為矩形，根據動點運動到矩形的不同邊時，采用不同的方式計算所求距離，從而以分段函數的形式，表示出函數的關系式.

圖15

四、變換結論

例5如圖12，半徑為1的圓M切直線AB于點O，射線OC從OA出發，繞點O順時針方向旋轉到OB，在旋轉過程中，OC交圓M于點P.記∠PMO=x，弓形PNO（陰影）的面積S=f（x），則f（x）的圖像是圖16中的（）.

圖16

結合圓的對稱性知正確選項為A.

點評：本題將距離之間的函數關系，變換為面積與圓心角之間的函數關系，解題中先利用扇形與三角形的面積公式，表示出弓形的面積函數，再利用導數判斷函數的單調性，從而準確判斷出函數的變化趨勢.

綜上，在解答完一道題目后，我們要有意識地對問題的條件、結論進行引申，尋找問題的生長點，從不同視角對問題進行變換、拓展，以提高我們的應變能力，以及靈活運用所學知識分析問題與解決問題的能力.