一道高考題的解法剖析

☉四川省資中縣第二中學 李英剛

一道高考題的解法剖析

☉四川省資中縣第二中學 李英剛

2017年高考已經落下帷幕，閑暇之余，做些整理歸類之事.在2017年新課標Ⅱ理科數學高考卷上，發現一道求異面直線所成角的題目，有些隨想，寫下來，與讀者共勉.

題目 （2017年新課標Ⅱ卷理10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）.

本題主要考查了直三棱柱的概念、異面直線所成角、余弦定理的應用等主干知識，涉及知識面廣，解題方法多元化，全面考查了學生分析問題及解決問題的綜合能力，對提高學生的綜合發散思維能力及數學素養有很大幫助.

要正確解決本題，學生必須認真讀題、審題，了解該題所涉及的知識點，并能夠正確回憶出相關概念、公式：

（1）直三棱柱.側棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱.學生如若對直三棱柱理解不到位，就不能正確畫出本題的具體圖形，更無法求出相關線段的長度，那么此題就無法正確解答下去.

（2）異面直線所成角.在異面直線所成角的定義中，空間中的點O是任意選取的，異面直線a和b所成角的大小，與點O的位置無關，且異面直線所成角的取值范圍是（0，].

求異面直線所成角的基本思路是：通過平移把空間兩異面直線轉化為同一平面內的兩條相交直線，進而利用平面幾何知識求解.

（3）余弦定理公式.在立體幾何中，計算相關線段長度、三角形的內角大小時，余弦定理是必不可少的重要工具.

學生只有對上述知識點有了清晰的認識與掌握之后，才能進入到后續的解題，當然，解題思路與方法的選擇與學生個人對相關知識的掌握和熟練程度有關.下面給出三種思路下的解題策略.

一、平移法

平移法就是通過平移作出這兩條異面直線所成角.

簡析：如圖1，分別取線段BB1的中點D，線段B1C1的中點E，線段AB的中點F，連接DE，DF，EF，這樣，利用中位線將異面直線AB1與BC1所成角轉化成相交直線DE與DF所成角.易求得，DF=，DE=，EF=，由余弦定理得cos∠EDF=-，所以異面直線與BC所成角的余弦值為，選C.1

圖1

點評：平移法的基本方法就是通過平行線將兩條異面直線轉化成同一平面的兩條相交直線，然后在三角形中求角.本題借助了三角形中的中位線來達到平移的效果，涉及了由空間向平面轉化的思想.

二、補形法

補形法是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉化為易于研究的幾何體來處理.

圖2

簡析：如圖2，在直三棱柱ABCA1B1C1上補上一個相同的直三棱柱，使之變成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接DB，DC1，易證得DC1∥AB1，這樣，就將異面直線AB1與BC1所成角轉化成相交直線BC1與DC1所成角.易求得BD=，BC1=，DC1=，由余弦定理得cos∠BCD=，所以異面直線AB與BC所成角的余111弦值為，選C.

點評：利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一.本題正是通過補形，將直三棱柱補成一個直四棱柱，這樣容易將兩條異面直線轉化到同一平面中.

三、向量法

向量法，即在規則的幾何體中，利用空間向量，將兩條異面直線所成角的問題轉化成直線的方向向量所成角的問題.

圖3

點評：準確地建系，寫出向量坐標，就成功了一大半，然后利用向量中的夾角公式求夾角，最后注意理清異面直線所成角與向量夾角之間的關系，以及異面直線所成角的范圍既可.

異面直線所成角是立體幾何中重要的概念之一，也是度量空間兩條直線位置關系的重要工具，因此，在高考中備受青睞.但是，學生在學習這部分知識時，由于缺乏良好的空間想象能力和一定的識圖、作圖能力，常遇到異面直線的概念難以理解、異面直線所成角無法準確判斷、角的大小不知如何計算等問題，所以，在平時教學時，要多多強化訓練.其中，傳統的平移法，通常都需要作輔助線，并且要進行大量的轉化，向量法將問題的處理變得輕松起來，降低了思維難度，可以有效提高正確率.