從兩則案例談數學探究教學

☉江蘇省沭陽高級中學 魏 兵

從兩則案例談數學探究教學

☉江蘇省沭陽高級中學 魏 兵

在高中數學教學中，常常表現為對解題的探究.本文通過兩則案例談引導學生從構造三角形、數形結合、三角函數線、整體化思想、構造齊次式、構造方程等角度進行思考，引導學生探究問題，探究分析、思考、鉆研試題在學習中的重要性.

探究1：三角恒等變換的求值問題，一般的思路是化簡已知、化簡所求，觀察分析它們的差異（角、函數名、次冪的差異），利用所學公式，消除差異，從而順利求解.因此可得下面解法.

探究2：解法1的計算量略有點大，二次方程求解有些學生也容易出錯，為此，我們可以把這類問題等價轉化為我們熟悉的鈍角三角形問題進行解決.

圖1

將煩瑣的二次方程問題轉化為熟悉的、容易解決的直角三角形問題，彰顯了等價轉化與數形結合數學思想的魅力.

圖2

反思：解題時積極尋找已知與所求之間的關系，弦化切就可把所求向已知轉化，利用整體轉化把不熟悉的求值問題等價轉化為熟悉的二次齊次式問題.

反思：巧妙利用切化弦公式與方程思想，使求值問題瞬間變得簡單容易，不怕你做不到，就怕你想不到.

本道題，通過學生的自主、合作、探究、拓展尋找到了解決這類問題的通法，加深了學生對知識的進一步理解，突破了學生的難點.

案例2已知AO是△ABC中的邊BC的中線，求證：|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

本題以三角形中線為背景，揭示了三角形三邊與中線長之間的等式關系.從題目的所屬單元來看，是讓學生體會坐標法及其應用.除這種方法以外，還可以選擇向量、余弦定理等知識進行證明.

1.證法探究

證法1：（坐標法）如圖3，以O為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系，設點A（x，y），點C（m，0）（m＞0），則點B（-m，0），|AO|2=x2+y2，|CO|2=m2，|AB|2=（x+m）2+y2，|AC|2=（x-m）2+y2.所以|AB|2+|AC|2=2（x2+m2+y2），|AO|2+|OC|2=x2+m2+y2，即|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

圖3

證法3：（余弦定理）如圖4，設∠AOC=α，在△AOC中，AC2=OA2+OC2-2OA·OCcosα.①

圖4

在△AOB中，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos（π-α）=OA2+OC2+2OA·OCcosα.②

①+②得AB2+AC2=2（AO2+OC2）.

2.結論運用

由教材上這道題目得出的結論在涉及三角形中線問題時應用較多，往往能起到事半功倍之效，下面舉幾例進行說明.

解析：如圖5，因為BD是△ABC的中線，所以AB2+BC2=2（BD2+AD2），把BD=代入得+a2=2（ 5+），即b2=2a2+.在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，把AB=，cosB=代入得b2=a2+-2·a，即b2=a2+a.把b2=2a2+代入得2a2+=a2+a，即3a2+8a-36=0，解得a=2，所以b=.由余弦定理得cosA=，即sinA=

圖5

本題應用中線與邊之間的關系，以及余弦定理建立了方程組，進而求出邊a，b的值，然后再運用余弦定理、同角三角函數的基本關系式進行求解，這種方法不用添加輔助線，容易掌握.除了此方法，還可以倍長、作中位線等添加輔助線的方式進行求解.

運用2：在△ABC中，AB=AC，D為線段AC的中點，若BD的長為定值l，則△ABC面積的最大值為_______（用l表示）.

圖6

解析：如圖6，在△ABC中，因為AB=AC，所以c=b.因為D為線段AC的中點，所以AB2+BC2=2（BD2+AD2），把BD=l代入得c2+a2=2（ l2+），即b2=4l2-2a2.過點A作AE⊥BC于點E，則E是BC的中點，.因為S△ABC=BC·AE=a·≤當且僅當l2-a2=a2，即a=l時取等號，所以△ABC面積的最大值為l2.

首先利用三角形中線與邊之間的關系建立底邊與腰之間的方程，然后運用勾股定理求出底邊上的高，進一步表示出三角形的面積，利用消元、基本不等式求最值，本題方法較多，請讀者嘗試用其他方法進行解決.

運用3：在△ABC中，角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，D是BC的中點，若a=4，AD=c-b，則△ABC的面積的最大值為________.

圖7

解析：如圖7，在△ABC中，因為D是BC的中點，所以AB2+AC2=2（AD2+BD2），把BD=2，AD=c-b代入得c2+b2=2（c-b）2+8，即（b+c）2-6bc+8=0.由海倫公式得S=，其中p=+2，代△ABC入得S==△ABC=·，把（b+c）2=6bc-8代入得S==·△ABC=2，當且僅當bc=8，b+c=2，即c=，b=時取等號，所以△ABC的面積的最大值是2.

本題起點高，難度大，如果不知道三角形中線與邊的等量關系，入手都很困難.另外一個難點是如何表示該三角形的面積，除用海倫公式以外，還可以用兩邊及夾角來表示，對計算要求較高.

本文介紹了教材中兩道習題的解法及其應用，可以看出一些高考、競賽等試題也都來源于課本，而又高于課本.在復習中，我們不能僅僅停留在課本表面，要用好課本，經常對課本上的例習題進行反思，對課本知識和方法進行升華，進而深刻理解知識和方法的內涵和外延，以做到融會貫通.所以要對課本常抓不放，強化數學思維、方法的訓練，夯實基礎知識，這樣才能走出題海，在備考中取得事半功倍的效果.