運用波利亞解題思想 提高思維能力與創新意識

☉湖南省郴州市二中 黃常健

運用波利亞解題思想 提高思維能力與創新意識

☉湖南省郴州市二中 黃常健

數學教育家波利亞在《怎樣解題》中，將人們解決問題時思維的自然過程分為四個階段——弄清問題，擬定計劃，實現計劃，回顧.這對我們的解題和教學有很好的指導作用，本文以一道直線與圓錐曲線的問題為例，實踐波利亞的解題思想，提高我們發現問題、分析問題和解決問題的能力.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點，且△MON的面積等于1，線段MN的中點為P，E，0），，0），試判斷|PE|+|PF|是否為定值？如果是定值，請求出這個定值；如果不是定值，請說明理由.

（2）由條件1：“斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點”，設直線l的方程y=kx+m（m≠0）主導解題過程；或用點參法，將點M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標代入橢圓方程用方程思想求解.

圖1

由條件2：“△MON的面積等于1”，聯想三角形面積公式S=ah，或S=absinC.未知a“|PE|+|PF|是否為定值”，等價于點P是否在以E，F為焦點的橢圓或線段EF上，即求點P的軌跡方程.

擬定計劃1：將直線l的方程與橢圓方程聯立并消y；設原點O到直線l的距離d，中點P的坐標為（x0，y0），解法如圖2.

圖2

擬定計劃2：解法如圖3.

圖3

實施計劃1：（解法1）設直線l的方程y=kx+m（m≠0）并代入+y2=1，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，由Δ=16（4k2+1-m2）＞0，得4k2+1-m2＞0.

經驗算E，F正是該橢圓的焦點，所以|PE|+|PF|=2為定值.

實施計劃2：（解法2） 設M（x1，y1），N（x2，y2），則△MON的面積：

上.現證明如下：

回顧反思1：利用歸納推理，將結論一般化.由a=2，b=1，S=1，知S=ab；且當橢圓為+y2=1時，點P的軌跡方程為，所以仿解法2可證.

結論1：已知M，N是橢圓C：=1（a＞b＞0）上不同兩點，O為坐標原點，E（-），F），則△MON的面積等于ab的充要條件是線段MN的中點P滿足|PE|+|PF|等于定值a，即點P的軌跡為橢圓+（.證明略）

回顧反思2：在解法2中，由k1k2=-，知k1k2=-.所以可推證.2已知M，N是橢圓C：=1（a＞b＞0）上不同

結論：兩點，O為坐標原點，直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，則△MON的面積等于ab的充要條件是k1k2=-

反之，設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）.直線AQ，BQ相交于點Q，且它們的斜率之積是，則點Q的軌跡方程=1（y≠0）.所以結合結論2，可推證.3如圖4，已知點M、N是橢圓C=1（a＞b＞

結論：0）上非頂點的點，A、B分別是橢圓C的左、右頂點，O為坐標原點，則△MON的面積等于ab的充要條件是橢圓上存在點Q使AQ//OM，BQ//ON.

圖4

回顧反思4：以上三個結論，又可整合為一組結論如下：

圖5

波利亞還說過：“當你找到第一個蘑菇后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的.”這啟示我們用歸納與類比的方法，開啟縱向與橫向聯想，猜證更多結論，在教學中提高學生的數學核心素養.