與“線性規(guī)劃”相關(guān)的幾個(gè)數(shù)學(xué)問題

☉天津市耀華中學(xué) 明廷軍

與“線性規(guī)劃”相關(guān)的幾個(gè)數(shù)學(xué)問題

☉天津市耀華中學(xué) 明廷軍

高中數(shù)學(xué)中的“線性規(guī)劃”主要是讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.一般情況下，這一模塊的題目整體難度不大，學(xué)生對(duì)于這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)也不夠重視.但是實(shí)際中與“線性規(guī)劃”相關(guān)的方法與技巧在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有很重要的作用，值得我們?nèi)W(xué)習(xí)與研究.本文從如下三個(gè)方面進(jìn)行了介紹.

一、把線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為斜率問題

圖1

二、把線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題

例2已知函數(shù)（fx）=a（x-1）2+lnx+1，當(dāng)x∈［1，+∞）時(shí)，若y=（fx）圖像上的點(diǎn)都在，所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

所以g（x）max≤0.

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，易證：

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x）=在［1，+∞）上g（′x）≤0，所以g（x）在［1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0成立.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0.

三、利用線性規(guī)劃知識(shí)巧妙去絕對(duì)值

例3若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是____________.

解析：如圖2，由x2+y2≤1，可得6-x-3y＞0，所以|6-x-3y|=6-x-3y.

圖2

如圖3，直線2x+y-2=0將圓x2+y2≤1分成兩部分.

圖3

如圖4，在直線的上方（含直線），有2x+y-2≥0，即|2x+y-2|=2x+y-2，此時(shí)|2x+y-2|+|6-x-3y|=2x+y-2+6-x-3y=x-2y+4.

圖4

如圖5，在直線的下方（不含直線），即有2x+y-2＜0，即|2x+y-2|=-2x-y+2，此時(shí)|2x+y-2|+|6-x-3y|=-2x-y+2+6-x-3y=-3x-4y+8，利用線性規(guī)劃知識(shí)可知，原式不存在最小值.

圖5

對(duì)于線性規(guī)劃這一方面的題目而言，解題十分煩瑣，大多數(shù)學(xué)生都很抵觸，認(rèn)為解這些題都是一些作圖與計(jì)算的重復(fù)，毫無吸引力可言，結(jié)果錯(cuò)失了很多“好題”.這時(shí)如何正確地去引導(dǎo)學(xué)生顯得尤為重要.練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，但在學(xué)生練習(xí)的過程當(dāng)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行習(xí)慣性的思考，要有意識(shí)地對(duì)題目與方法進(jìn)行歸類與提煉，善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，不能為了練而練，否則會(huì)激發(fā)學(xué)生的厭惡情緒.

張景中老師提出：“一種方法解很多題，要好過很多方法解一個(gè)題”.本文就是從“線性規(guī)劃”的源頭出發(fā)，不斷深入，不斷地尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，拓展了學(xué)生的視野，極大地豐富了學(xué)生對(duì)“線性規(guī)劃”這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí).