點擊三角函數中的幾個高頻點問題

☉江蘇省南京市第二十七高級中學 丁海峰

點擊三角函數中的幾個高頻點問題

☉江蘇省南京市第二十七高級中學 丁海峰

三角函數是高中數學的重要內容之一，是高考數學的必考知識點，以三角函數作為載體的最值問題又是一類重要題型，是函數最值問題的重要組成部分，極具靈活性，這部分內容是個難點，它不僅與三角函數本身的基礎知識息息相關，更與二次函數、一元二次方程、不等式等知識緊密聯系，它對三角函數的恒等變形能力及綜合應用能力要求比較高.而三角函數問題往往被同學們誤認為只要掌握幾個三角公式和定理即可，而實際解題時如果對問題的方向判斷不對，解題的角度切入不好，就會耗費大量的時間和精力.本文記錄了筆者在課堂教學過程中，與學生一起對一道三角函數最值問題進行了多角度的探討和研究，再現當時上課過程，希望能夠與同行共同交流、進步.

一、三角函數中的最值問題

基本不等式是解決最值問題行之有效的利器，在最值問題中用得很多，在三角函數中也是如此.用基本不等式解決問題時一定要注意“一正、二定、三相等”的原則.

分析：將分母中的1用sin2β+cos2β替換，然后用“齊次式”的化簡方式，即分子分母同除以cos2β.

通過化簡整理后發現，此題適合用基本不等式來求最值，只是要注意合理地拆添項、湊常數，同時也要注意等號成立的條件，否則可能會陷入誤區，得出錯解.

二、求解三角函數值問題

例2如圖1，E，F是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF=________.

圖1

分析：本題考查三角函數的計算、解析化應用意識.

下面我們從不同角度出發，采用五種方法解答該題.

解法1：（利用余弦定理）設AB=6，AC=BC=3.

圖2

解法2：（利用向量夾角公式）如圖2，設AB=6，AC=BC=3，F（1，0），E（-1，0），C（0，3），則=（-1，-3），￣=（1，-3）.

解法3：（利用誘導公式和二倍角公式）設AB=6，作CD⊥AB，如圖3，則CD=3，ED=1.

圖3

所以tan∠ECF=tan（180°-2∠CED）=-tan2∠CED=

解法4：（利用二倍角公式）設AB=6，作CD⊥AB，則CD=3，ED=1.

設∠ECD=α，則∠ECF=2α.

三、求函數解析式問題

圖像相鄰的最高點與最低點橫坐標的差是3π，得到T=2×3π=6π，從而ω=，所以得到y=2sinx+φ）.

已知函數y=Asin（ωx+φ）的最值及圖像的性質，可逐步求出A、ω、φ的值，從而確定函數解析式.三角函數的知識點比較多，要靈活解決三角函數的相關問題，熟悉性質與特點是關鍵.

例3函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值為-2，其圖像相鄰的最高點與最低點橫坐標的差是3π，而圖像又過點（0，1），求函數的解析式.

分析：可先求出最值A，由相鄰的最高點與最低點橫坐標的差來求周期T，再由圖像過定點求φ.

解：由于函數的最小值為-2，則A=2.

四、求三角函數中的角的大小問題

剖析：由于α、β是銳角，這里要注意在確定α-β的值時需要根據已知條件求解.

在已知三角函數求角的問題中，選擇恰當的三角函數則是解決問題的關鍵，一般需要根據問題中所給已知角的范圍確定未知角的范圍，從而來確定未知角的象限，再根據角的象限及三角函數在各個象限內的符號確定最終合適的三角函數，避免增解的產生.

五、求參數范圍或參數值問題

剖析：研究三角函數值域、參變數取值范圍的問題，應注意對區間端點、最值點、零點（圖像與x軸交點）等特殊值進行討論.上述錯解在于對區間端點分析不夠.

注意：對端點處的問題則一定要細致分析.

總之，對于三角函數問題，我們首先要善于觀察和分析所給條件，確定大致的解題方向，然后靈活運用三角函數公式，對題目條件進行整理和化簡.數學解題實質上是利用數學知識、數學思想和數學方法建立條件與結論間的聯系.在解決三角函數的問題中，一定要抓住題目條件中的特點，聯想基本不等式等.當然很多問題也可以數形結合思想或方程思想等來解決問題.

正如波利亞所說，這是“領會方法的最佳時期”，“當讀者完成了任務，而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實質，他可以對自己提出許多有用的問題：‘關鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以做得更好些？我為什么沒有察覺到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識？應該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學習的訣竅可供下次遇到類似問題時應用？’所有這些問題都提得不錯，而且還有許多別的問題——但最好的問題是自然而然地浮現在你腦海里的問題”.只有通過回顧總結，才能除去那些不必要的步驟，弄清問題的關鍵所在，使思路明晰起來，才能抓住問題的本質，給出一些簡單、漂亮的解法和變式訓練.幾經波折，對原問題做一做（解答或證明）、變一變（變式訓練等）、拓一拓（對問題進行改進、加強、推廣等）、研一研（深入挖掘問題的本質）.問題變得愈加豐滿和清晰，也愈加貼近問題的本質.這樣，我們在學習數學知識的同時收獲了學習知識的方法，也收獲了愉悅充實的心情.