鋼柱抗爆響應分析單自由度模型適用性評估*

李月強,衣 娜,席 豐

(1.山東建筑大學土木工程學院,山東 濟南 250101; 2.山東軍之星建筑設計有限公司,山東 濟南 250022)

鋼柱抗爆響應分析單自由度模型適用性評估*

李月強1,衣 娜2,席 豐1

(1.山東建筑大學土木工程學院,山東 濟南 250101; 2.山東軍之星建筑設計有限公司,山東 濟南 250022)

為評估單自由度(SDOF)模型在結構抗爆設計中的適用性，分別采用SDOF模型和通用有限元軟件ANSYS/LS-DYNA對簡支鋼柱承受爆炸荷載時的動力響應進行模擬；對比二者計算結果，并以有限元模擬為準，分析SDOF模型的適用范圍。研究表明:可按照自由振動階段SDOF模型位移結果的振幅大小，將其位移響應劃分為有限變形階段、臨界階段、失穩破壞階段，有限變形階段SDOF模型與有限元結果基本一致；截面高寬比、翼緣寬厚比對鋼柱動力破壞形式有重要影響，高寬比越大、翼緣的寬厚比越小，越容易發生平面外彎扭失穩；在SDOF模型中通過假定塑性鉸分布長度計算塑性階段應變及應變率，采用隨時間變化的應變率計算Cowper-Symonds本構關系中的應力放大系數是可行的。

爆炸荷載;鋼柱;等效單自由度模型;有限元;應變率

由于爆炸荷載傳播速度快、峰值壓力大、作用時間短，因此難以精確描述所引起的動力響應。為了方便結構抗爆工程應用，理想的方法是提出一些簡化的分析模型，等效單自由度(single degree of freedom model, SDOF)模型就是其中之一。GB 50009-2012《建筑結構荷載規范》中規定：由炸藥、燃氣、粉塵等引起的爆炸荷載宜按等效靜力荷載采用，在確定該靜力荷載時按單自由度體系強迫振動的方法分析得到構件的內力[1]。但是在單自由度模型的推導及求解過程中，引入了一些理論假設，使該模型只能近似反映結構的實際行為，因此需要對它在抗爆工程中的適用性進行評估。

對SDOF模型有過許多研究。A.A.Nassr等[2]通過爆炸實驗，驗證了SDOF模型中兩個重要的理論假設：動力響應的第一振型占主導地位；結構構件的變形在彈性階段結束后立即進入塑性階段，不考慮彈塑性變形。實驗數據和SDOF模型計算結果有比較好的一致性，但在SDOF模型中采用單一應變率計及應變率效應；僅對實驗工況進行了模擬，沒有討論SDOF模型的適用范圍。

本文中，利用ANSYS/LS-DYNA[3]對鋼柱在爆炸荷載作用下的動力響應進行精確求解，并以此為依據，詳細討論SDOF的適用性；在SDOF模型中，通過假定塑性鉸的分布長度，計算塑性階段的應變及應變率，更合理地考慮應變率效應。

1 動力響應分析

分析圖1(a)所示簡支鋼柱，先受到軸向載荷N的作用，然后受到橫向三角形脈沖載荷p(t)作用，如圖2所示。分別采用SDOF模型和有限元軟件進行模擬，對比二者的柱中點位移、應變、應變率結果，分析SDOF模型在抗爆工程應用中的適用性。

1.1SDOF模型分析

眾所周知，對于彈塑性梁的動力響應，當假定其變形模態后，可簡化為單自由度模型進行分析。對于梁柱構件，當計入p-δ效應后，同樣可歸結為SDOF模型分析問題。

圖1(b)所示體系的運動方程為[4]：

(1)

(2)

(3)

塑性階段φ(ξ)采用在柱中點形成塑性鉸的雙直線：

φ(ξ)=1-2|ξ|ξ=z/L-1/2

(4)

式(1)～(2)及各系數，彈性階段可由哈密頓原理推導得出；塑性階段在柱中點形成塑性鉸，直接用平衡法列出運動微分方程，進而得出各系數。SDOF模型的數值計算，采用Visual C++6.0編程[5-7]求解，先將運動方程離散為增量形式，用線加速度法將加速度、速度表示為位移增量形式，進而寫出控制方程，通過迭代可求出集中質量的位移-時間歷程曲線。求解中為了考慮應變率效應，采用Cowper-Symonds本構關系以及鋼材理想彈塑性假設描述應力應變關系：

(5)

SDOF模型中考慮軸向荷載N的3方面影響：(1)使中點處彎矩增大，通過等效橫向荷載η體現[4]；(2)改變了橫截面中性軸的位置，增大抗彎剛度EI；(3)根據壓彎構件穩定理論[10],即ymax=y0/(1-N/NE)，y0為簡支梁的最大撓度，ymax為壓彎構件最大撓度，軸向荷載使最大位移增大，也可認為是減小了彈性彎曲剛度，(2)、(3)通過彈性剛度系數K體現。

彈性階段柱中點處截面邊緣軸向應變為：

κ(ξ,t)=2εmax(ξ,t)/h=φ″(ξ)y(t)

(6)

εmax=hφ″(ξ)y(t)/2=4.8hy(t)/L2

(7)

式中：κ、ε、h分別為曲率、應變、橫截面高度[2]。塑性階段柱中點處截面邊緣軸向應變為：

εmax=[4y(t)/L](1/l)(h/2)=2hy(t)/(lL)

(8)

式中：l為塑性鉸的分布長度,假定為2h[11]。柱中點處截面邊緣等效塑性應變率為：

(9)

1.2DYNA計算模型

利用有限元軟件ANSYS/LS-DYNA進行分析，采用全積分實體單元Solid 164建模，材料選用計及應變率效應的隨動硬化理想彈塑性模型，材料參數為：密度7 850 kg/m3,彈性模量206 GPa，泊松比0.3，屈服強度345 MPa，Cowper-Symonds模型參數D=40,q=5，失效應變0.2；采用三角形爆炸荷載，峰值壓力p隨不同工況而定，為基準壓力p0=800 kPa的倍數，持續時間td=3 ms，軸向荷載N為鋼柱靜態軸向承載力的25%[4]，加載方式前者為瞬態類型，后者為同時考慮動力釋放和瞬態分析類型[3]；為了方便實現鉸接約束并接近真實情況，在鋼柱兩端增加厚20 mm的端板，一端約束端板截面高度中心線上所有節點3個方向的位移，即ux=uy=uz=0，另一端約束相應位置節點兩個方向的位移，即uy=uz=0[4]。

1.3DYNA模型與SDOF模型結果比較

鋼柱選用3種H型截面，分別為HM150×100(HM柱)、HW150×150(HW柱)、HN200×100(HN柱)[12]，計算長度3 m，荷載同前，各工況只改變改變峰值壓力p。以下，*表示失穩破壞。

柱中點處位移如圖3所示，具體數據見表1。通過比較，將SDOF模型的位移結果分為3個階段：有限變形階段、臨界階段、失穩破壞階段。有限變形階段，即彈性變形和有限塑性變形，兩種方法所得ymax相差較小且SDOF的小于DYNA的，ymin相差較大且SDOF的大于DYNA的(ymax、ymin指自由振動階段一個周期中的最大、最小位移)。這是由于SDOF模型比DYNA模型的總體剛度大，另外還有MP取值的影響。參照鋼結構設計規范，在抗爆設計中，應該制定具體的破壞準則，對爆炸荷載下構件的位移限值或承載能力做出規定，本文中以鋼柱達到平面內極限承載力時的爆炸荷載為pu，所對應自由振動階段的平衡位移為最終位移yu。DYNA所得HM、HW、HN柱pu分別為4.4p0、5.0p0、5.5p0，yu分別為175、236、170 mm； SDOF對應的yu及振幅分別為164.5、9.5 mm，217、3 mm，158.5、11.5 mm。結合表1可以看出，兩種方法所得自由振動階段的位移振幅隨著載荷強度的增大而減小。振幅大說明截面彈性區大，承載力可繼續提高；振幅小則截面塑性區大，構件臨近破壞。因此可以用振幅的大小界定各階段的范圍或制定相應破壞準則。有限變形階段與臨界階段分界的振幅限值，對HM、HW、HN柱，約為h/16、h/50、h/17。

臨界階段，DYNA位移結果顯示鋼柱已破壞，具體形式為平面外彎扭失穩，如圖4所示；而SDOF結果則顯示鋼柱仍有一定承載能力。這是由于DYNA模型為空間模型，爆炸荷載引起的振動使當變形達到一定值時，鋼柱出現平面外位移繼而屈曲，此時截面并沒有完全進入塑性；而SDOF模型則是以全截面屈服為承載力極限的，假定截面塑性可以完全發揮。以DYNA結果為準，一般認為SDOF模型不能用于確定鋼柱極限承載力pu。如前所述，DYNA所得HM、HW、HN柱的pu分別為4.4p0、5.0p0、5.5p0，而SDOF所得pu分別為4.7p0、5.0p0、6.5p0，可見不同截面柱兩模型所得pu的差大小不同，HN柱差別最大，HM柱次之，HW柱最小，其中包含截面高寬比、翼緣寬厚比的影響。DYNA模型中顯示HW柱受壓區破壞先于平面外屈曲，如圖4(a)所示，說明柱失穩之前已接近全截面屈服，主要是因為該截面高寬比較小、翼緣寬厚比較大，可以有效約束截面扭轉；而另外兩個截面柱的破壞形式如圖4(b)所示，平面外屈曲先于全截面屈服。可見，爆炸荷載下截面高寬比越大，翼緣寬厚比越小的H型截面柱越容易發生平面外彎扭失穩。

失穩破壞階段兩種方法都能計算出鋼柱的失穩破壞，不同的是SDOF模型中認為破壞的起因是全截面屈服喪失承載力，而DYNA模型則一般為彎扭失穩。結合臨界階段可以得出這樣的結論：若SDOF模型計算出鋼柱失穩破壞則DYNA的結果與之相同，相反不一定成立。

另外，SDOF模型中應變通過簡單公式由位移得出，這種近似處理將導致兩種模型的應變計算誤差大于位移計算誤差。在有限變形階段，SDOF模型的應變結果比DYNA的結果小，這同樣是由于SDOF體系剛度較大。

由式(8)～(9)還可看出,SDOF中塑性鉸長度對應變及應變率的計算有顯著影響。本文中假定塑性鉸長度為兩倍的截面高度，是一個常數，這也就造成了3種截面柱的應變誤差差別較大，尤其是HW柱5.0p0工況，SDOF的結果偏小，這說明此時HW柱的塑性鉸長度取值偏大。隨著載荷強度的增大，應變誤差也在增大，于是可以認為：爆炸載荷強度增大、截面塑性發展增大，塑性鉸分布長度減小。若能確定具體工況的塑性鉸長度，兩種模型的應變計算會有較好的一致性。柱中點截面邊緣壓應變曲線如圖5所示，具體數據見表2。圖5中，應變為受壓翼緣軸向應變：圖5(a)、(c)中，DYNA結果下降段是因為平面外扭轉變形使得受壓翼緣受拉，部分抵消了壓應變；圖5(b)中，DYNA結果的陡降段是由于相應單元在其應變達到失效應變0.2后被刪除引起的。

SDOF模型中應變率是由應變增量確定的，而應變率又會影響到塑性恢復力和體系的剛度，所以模型中應變率的計算是至關重要的。柱中點截面應變率曲線如圖6所示，具體數據見表3。可以看出，利用式(9)計算應變率，與DYNA的結果基本一致：趨勢相符，數值偏小，且各種工況下兩個模型的應變率誤差不同。這里也有塑性鉸分布長度的影響，本文中側重點不在塑性鉸，因此不討論。應變率曲線圖中第1個峰值說明考慮應變率效應后屈服強度有所提高。

pp0εmax/10-4SDOFDYNAΔεmax/10-4εmin/10-4SDOFDYNAΔεmin/10-4HM150×100εmax/10-4SDOFDYNAΔεmax/10-4εmin/10-4SDOFDYNAΔεmin/10-4HW150×150εmax/10-4SDOFDYNAΔεmax/10-4εmin/10-4SDOFDYNAΔεmin/10-4HN200×1000.5913-4-9-5-4812-4-8-4-4812-4-8-4-41.01822-4-20-14-61821-3-17-13-41721-4-18-13-52.06769-2252056369-6221935060-108533.0184181315213715168178-101341340127147-208996-74.0374377-33513501339362-23313326-13239263-24205216-115.0******6551069-4146501060-410406444-38380405-25

表3 柱中點截面最大應變率Table 3 Mid-span maximum strain rates

2 結 論

通過有限元模擬與SDOF模型結果的比較，著重討論了爆炸荷載作用下簡支鋼柱SDOF模型的適用性，主要結論有如下幾點。

(1)可將SDOF模型計算的位移結果分為3個區段：有限變形階段、臨界階段、失穩破壞階段。抗爆設計中可根據自由振動階段位移振幅大小劃分各階段或建立破壞準則。有限變形階段，SDOF模型適于工程應用，該有限變形對于HM150×100柱、HW150×150柱、HN200×100柱，約為1.1h、1.4h、0.8h(h為截面高度)。

(2)截面高寬比、翼緣寬厚比對鋼柱動力破壞形式有重要影響，高寬比越大、翼緣寬厚比越小，越容易發生平面外彎扭失穩。一般情況下，SDOF模型不能用于確定鋼柱平面內極限承載力，而當截面高寬比較小、翼緣寬厚比較大，構件平面外扭轉變形能有效約束時，SDOF模型與有限元模擬所得極限承載力差別較小。

(3)本文中SDOF模型采用隨時間變化的應變率計算Cowper-Symonds本構關系中的應力放大系數，該應變率與有限元模擬結果差別較小，說明通過假定塑性鉸分布長度計算塑性階段的應變及應變率是可行的。

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Abstract: For the evaluation of the applicability of the single degree of freedom (SDOF) model in the structural antiknock design, the dynamic response of the simply supported steel column under explosion load was simulated using both the SDOF model and the ANSYS/LS-DYNA in this paper. By the comparison of the two calculation results, the scope of application of the SDOF model was analyzed according to the finite element simulation. The results show that the displacements calculated using the SDOF model can be divided into three different phases including the finite deformation, in which the SDOF model agrees well with the DYNA simulation, the critical deformation, and the buckling failure deformation, according to the amplitude size in the free vibration. The ratio of the cross section’s depth to its width and that of the flange’s width to its thickness have significant effect on the dynamic failure forms of the steel column, namely the bigger the ratio of the depth to the width and the smaller the ratio of the width to the thickness, the more prone it is for the buckling to suffer out-of-plane bending and twisting. In the SDOF model, it is feasible to calculate the strain and the strain rate in the plastic deformation phase by assuming the plastic hinge distribution length and the stress-magnified coefficient in the Cowper-Symonds constitutive relation by using the time-dependent strain rate.

Keywords: blast load; steel column; single degree of freedom model; finite element; strain rate

(責任編輯 丁 峰)

Assessmentonsingledegreeoffreedommodelinsteelcolumnanalysisofanti-detonation

Li Yueqiang1, Yi Na2, Xi Feng1

(1.CivilEngineeringInstitute,ShandongJianzhuUniversity,Jinan250101,Shandong,China; 2.ShandongJunzhixingArchitecturalDesignLimitedLiabilityCompany,Jinan250022,Shandong,China)

O342;TU391國標學科代碼1301565

A

10.11883/1001-1455(2017)05-0957-07

2016-01-11；

2016-05-28

國家自然科學基金項目(11272189)

李月強(1986— )，男，碩士研究生;

席 豐,xifeng@sdjzu.edu.cn。