數(shù)學(xué)歸納法常見錯(cuò)題舉例

周雨云

[摘 要] 首先對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的概念與常見形式進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，接著列舉了中學(xué)生易錯(cuò)的幾道用數(shù)學(xué)歸納法求證的題目，最后對(duì)錯(cuò)因進(jìn)行分析并對(duì)學(xué)生提出相關(guān)的數(shù)學(xué)解題建議。

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)學(xué)歸納法；易錯(cuò)題；數(shù)學(xué)解題

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）07-0104-01

一、數(shù)學(xué)歸納法簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)歸納法是指任意給關(guān)于自然數(shù)n的一個(gè)命題P（n），如果P（0）成立，而且對(duì)任何自然數(shù)n只要P（n）成立便有P（n+1）成立，則命題P（n）對(duì)所有自然數(shù)n成立。數(shù)學(xué)歸納法的常見形式有兩種：一是數(shù)學(xué)歸納法的一般形式，即設(shè)命題P（m）對(duì)于整數(shù)m≥m0有意義，其中m0是整數(shù)。假定P（m0）成立（這叫奠基）；并且對(duì)任何整數(shù)m≥m0，如果假設(shè)P（m）成立（這叫歸納假設(shè)），那么P（m+1）成立（這叫歸納步驟）。則對(duì)于整數(shù)m≥m0總有P（m）成立；二是串值歸納法，即任意給關(guān)于自然數(shù)n的一個(gè)命題P（n），假設(shè)P（0）成立，而且對(duì)任何n∈N只要P（0），…，

P（n）都成立便有P（n+1），則命題P（n）對(duì)所有自然數(shù)都成立。

二、數(shù)學(xué)歸納法常見錯(cuò)題舉例

哈爾濱師范大學(xué)的張先達(dá)曾在《數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》（2011）中指出數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種常見的論證方法，對(duì)一些恒等式、不等式、整除性問題和幾何問題的證明有很大幫助，但在很多時(shí)候?qū)W生的問題就是在于不能真正理解數(shù)學(xué)歸納法以及存在對(duì)數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的思維定勢(shì)。可惜此文并未對(duì)學(xué)生常犯的錯(cuò)題與他們犯錯(cuò)的原因進(jìn)行具體分析。下文便是幾道常見的用數(shù)學(xué)歸納法證明易錯(cuò)的幾道題：

【例1】求證：■+■+…+■<1.

【錯(cuò)解】易知當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí)，有■+■+…+■<1，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有■+■+…+■<1+■>1，

從而可知此題無法判斷.

【錯(cuò)因分析】此種做法下第二步的不等式放縮的范圍太大，從而導(dǎo)致此種情況下學(xué)生無法判斷結(jié)果。

【正確解答】易知當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí)，有■+■+…+■<1，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有■+■+…+■=■+■·（■+■+…+■）<■+■=1.

故知對(duì)？坌n∈N+，有■+■+…+■<1成立.

【例2】2n>n2是否對(duì)任意都成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)求出結(jié)論成立時(shí)n的值.

【錯(cuò)解】成立.易知當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí)，有2k>k2，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有2k+1>2·k2>k2+2k+1=（k+1）2.

故知對(duì)？坌n∈N+，有2n>n2成立.

【錯(cuò)因分析】學(xué)生只嘗試了n=1的情況，發(fā)現(xiàn)成立就想當(dāng)然地認(rèn)為對(duì)任意的n都成立，沒有發(fā)現(xiàn)當(dāng)k2>2k+1成立時(shí)k需要大于1，從而沒有發(fā)現(xiàn)結(jié)論對(duì)n=2，3，4時(shí)其實(shí)不成立。

【正確解答】易知n=1時(shí)，結(jié)論成立；n=2時(shí)，22=22，結(jié)論不成立；

n=3時(shí)，23<32結(jié)論不成立；n=4時(shí)，24=42，結(jié)論不成立；

n=5時(shí)，25>52，結(jié)論成立.

故可猜想n≥5時(shí)，結(jié)論成立.

易知當(dāng)n=5時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)n=k≥5時(shí)有2k>k2，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有2k+1>2·k2>k2+2k+1=（k+1）2.

故可知？坌n∈N+且n≥5時(shí)，有2k>k2成立.

綜上n=1及n≥5時(shí)，有2n>n2成立.

【例3】求證：■+■+…+■>1.

【錯(cuò)解】易知n=1時(shí)，■+■+■>1，結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí)，有■+■+…+■>1，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有■+■+…+■+■>1+■>1.

故可知？坌n∈N+時(shí)，有■+■+…+■>1成立.

【錯(cuò)因分析】學(xué)生在完成數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明時(shí)，從n=k到n=k+1之間應(yīng)隔了■，■，■三項(xiàng)，而學(xué)生由于定向思維并未將題目項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系看清楚，從而導(dǎo)致證明過程出錯(cuò)。

【正確解答】易知n=1時(shí)，■+■+…+■>1，結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k≥1時(shí)，有■+■+…+■>1，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有■+■+…+■>1+■+■+■>1.

故可知？坌n∈N+時(shí)，有■+■+…+■>1成立.

三、小結(jié)

綜合以上例題，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)出錯(cuò)的本質(zhì)原因是他們沒有掌握數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)概念，只是記住了數(shù)學(xué)歸納法最淺顯的形式，從而會(huì)因?yàn)檫@些形式的表象特征形成定向思維而導(dǎo)致題目出錯(cuò)。遇到例1這種情況時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到處理n=k+1時(shí)式子時(shí)并非只有常規(guī)一種，也可以對(duì)式子進(jìn)行變形和重新組合已得到合適范圍的放縮；遇到例2這種判斷是否對(duì)任意n∈N+的題目時(shí)需要特別提醒學(xué)生注意對(duì)前幾項(xiàng)的驗(yàn)證；遇到例3這種情況，說明學(xué)生對(duì)題目本身結(jié)構(gòu)沒有了解清楚，沒有掌握題中n=k與n=k+1的區(qū)別。

此外，在徐志軍、張青山的《數(shù)學(xué)歸納法證題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的成因分析》一書中還提出了學(xué)生切勿對(duì)歸納步驟進(jìn)行形式的套用，首先應(yīng)分清楚題目需要的究竟是第一數(shù)學(xué)歸納法還是串值歸納法。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐志軍，張青山.數(shù)學(xué)歸納法證題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的成因分析[J].川北教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（2）：49-50.

[2]劉德樹.數(shù)學(xué)歸納法證題常見錯(cuò)誤剖析[J].滄州師范專科學(xué)校報(bào)，2008（9）：128-130.

[3]張先達(dá).數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊，2011（12）：304-305.

[4]孫智偉.基礎(chǔ)數(shù)論入門[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.