以不變應萬變 從無圖變有圖

蘇建強

摘 要：無圖題往往需構造圖形來輔助解決，而直接借助分類討論思想構圖是常用的方法之一，在這樣的構圖中，師生常處于“不知其所以然”的狀態.教師應該通過激活學生思維上的連接點，以尋求構圖的關鍵所在：找不變的圖形和不變的數量關系.

關鍵詞：無圖；不變；構圖

無圖題常需構造圖形來輔助解決，構圖過程不僅能考查學生對文本的解讀能力、空間想象能力，也是對用數學知識解決問題能力的綜合考查.在實際操作中，學生往往不能把握構圖的“七寸”，甚至處于“束手無策”的狀態，教師也經常游離于問題解決的“核心”之外，只見樹木不見森林.為此，筆者有意進行了探究和實踐，現以課例形式和讀者共饗.

一、目標定位

1.經歷無圖題中構圖的一般過程，通過類比、分析，歸納構圖的一般方法，發展學生幾何直觀、數學概括能力；

2.通過無圖題問題的解決及構圖一般方法的獲得過程，體會以不變應萬變的辯證思想在問題解決中的應用.

二、教學設計及實踐

（一）推陳迎新 感知不變

新課伊始，教師給出兩個無圖題要求學生解答.

練習1 在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P（1，t）在反比例函數的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP=OP，若反比例函數的圖象經過點Q，則k=_________.

練習2 在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面內，以對角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數為 .

在學生的解答過程中，教師讓兩名學生分別把求解的簡要過程寫在黑板上指定的位置（兩名學生無一例外地都畫了草圖，如圖1、圖2）.待絕大多數學生完成解答后，教師追問.

問題1 你是怎么確定線段PQ中Q點的位置的？

生1：（對著所畫圖1）因為點Q在直線l上，并且QP=OP=，于是，，這樣就可以求出k的值了.

問題2 △BDE中E點的位置你是怎樣確定的？等腰三角形BDE中，什么量是確定的？

生2：因為△BDE中BD位置是確定的，所以一個E在BD左邊，另一個在右邊，等腰三角形BDE中頂角∠BED=120°，這是已知的.

問題3 以后碰到類似的無圖題，我們該怎么辦？

學生：（異口同聲，很自信）先畫圖！

設計意圖：教師直接給出學生能獨立解決的兩個無圖題，問題1、問題2的設置意在引導學生變換視角，從理性角度分析“為什么會想到這樣構圖的”，引起對問題解決中思維方式的反思，起到了先行組織者作用.對問題3的思考，學生都停留在“先畫圖”的層面上，這樣的回答盡在教師的掌握之中，此時教師也并不急于引導學生分析歸納一般方法.

（二）對比歸納 理解不變

基于學生已有學習經驗，又能通過變換視角發現更一般規律的設計，往往更能激發學生的學習興趣、求知欲，從而提高課堂教學的有效性.有了以上鋪墊，教師給出練習3.

練習3 在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，CD=AE.若AD=12，AB=20，求tan∠ECD的值.

在教師“有圖嗎，怎么辦”的引導下，多數學生都能很快完成其中一種情況的構圖及解答.學生代表在黑板上畫出符合條件的兩圖形后（如圖3、圖4），教師追問完成下列問題.

問題4 你是怎么想到符合條件的圖形有兩個的？

生3：題目中沒說三角形的形狀，所以應該一個是銳角三角形，另一個是鈍角的.

此時，教師并沒有在銳角三角形、鈍角三角形上和學生進行深入討論.

問題5 對比圖1、圖2，你能發現其中都有哪些不變的圖形或數量關系？

生4：AD，AB的長度是不變的.

生5：（大聲地）△ABD的形狀和大小都不變的.

問題6 如果我們先畫出這個不變的△ABD，那么在△ABC中的點C的位置在哪里？（稍做停頓）在△ABD哪條邊所在的直線上？

生2：在BD直線上，因為AD為△ABC的高線，所以C， D， B在一條直線上.又因為CD=AE=10，所以左邊一個右邊一個.

此時，教師自言自語“原來這兩個圖可以合二為一”，并用圓規將圖3改為圖5.

問題7 生5說得好，練習3中△ABD的形狀大小不變.請大家回憶一下，剛才生2說練習2中△BDE的什么是不變？練習1中呢？

學生：（補充回答）練習2的△BDE中BD位置不變，練習1中點P位置不變.

問題8 由此可知，解決無圖題中畫圖的關鍵是什么？

學生：（七嘴八舌地）找到所作圖形中不變的圖形，然后根據題目所給的數量關系就可以畫出來了.

設計意圖：教師的“有圖嗎，怎么辦”兩問看似多此一舉，其實突出“無圖變有圖”之意明顯，正所謂“腦中無圖學了糊涂，腦中有圖學了清楚”.問題4的設置意在促使學生回顧問題解決中的思考過程.問題5、問題6是通過對比兩圖形找到它們之間的區別和聯系，為變換視角尋求解決問題的一般途徑做好鋪墊.問題7、問題8意在讓學生經歷反思歸納的過程，突出解決無圖題的關鍵在于構圖，而“構圖”的關鍵在于尋找圖中不變的圖形和不變的數量關系.

（三）拓展升華 強化不變

養兵千日用兵一時，歸納總結得到“構圖”的一般方法后，教師給出了有一定綜合背景的練習，以期促使學生進一步鞏固理解所學新知.

練習4 點A，B，C都在半徑為的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點H，若，求∠ABC所對的弧長.

幾分鐘的獨立思考后，見學生臉帶難堪，教師引導學生分析題意.得到本題的實質就是求∠ABC的度數后，正要組織學生畫圖分析.生2舉手了，教師打住自己思路，示意生2發言.endprint

生2：這個題目的圖形有三種情況，但結果只有兩個，一個是30°，另一個150°.

教師：你具體說說怎么做的.

生2大方地走上講臺，畫了一個草圖（如圖6）.

生2：（指著圖6，一邊比劃一邊解釋）我先畫了這么一個草圖，結果發現圖中與邊BH和AC有關的△BHD和△ADC是相似的，于是就知道了對應邊BD與AD的比值為，所以求出了一個∠ABC為30°.（稍喘了一口氣后繼續）之后我又發現，在這個圖中△ABD的大小雖然可以改變，但它的形狀是不變的，所以我就把它定下來了.點C作為△ABC中不確定的點，應該在BD直線上運動，所以它可以在BD延長線上、BD上或DB延長線上共三種情況.當點C在DB延長線上時，∠ABC=150°，和原來的角互補（指著圖6）.

隨著生2略帶羞澀地回到自己座位的同時，教室里的學生若有所悟地開始騷動起來（當年難倒一片學生的壓軸題，就這樣被秒殺了），進而響起了熱烈的掌聲.

教師平復了一下自己內心的激動后，似乎想一探究竟地問道：是不是生2有什么解決這類問題的秘訣，還是請他來談談自己的看法.

生2：（一邊解釋一邊補充）這類問題其實只要先畫出一個最簡單的圖形（最好是銳角三角形），再找出其中不變的圖形，根據這個圖加上已知的數量關系推演開去就行了（就是讓不確定的點動起來）.

教室里再次響起了熱烈的掌聲.

設計意圖：事物的本質往往隱含于紛繁復雜的外表之下的，去偽存真才能找到解決問題的捷徑，顯然這就是練習4設置的用意所在.經歷了找不變的點，到不變的線段，進而是不變的三角形，最后落腳于練習4中三角形的形狀不變的設計也在情理之中.學生2的表現雖出人意料，但就整堂課的設計來看卻是水到渠成之筆.

三、教學反思

（一）基于最近發展區 從無圖變有圖

學生是課堂教學的主體，基于學生已有發展水平的教學設計才能有效地達成教學目的.本節課的設計，意在學生已有的解題經驗和習慣基礎上，通過改變視角重新探求構圖的一般方法.練習題的設置中，既體現了對學生原有認知的尊重，又在對原有解法中的不變圖形和不變量的分析中，逐步實現對解決無圖題中構圖方法的再認識. 用變換視角后的方法來尋求練習4的解決之路，更給人以“柳暗花明又一村”之感.

（二）基于活動體驗 以不變應萬變

數學知識的獲得是一個學生主動參與，積極求索的過程，因而一系列有助學生探究的活動設計是必不可少的.本節課從三個起點較低的練習著手，采用啟發歸納為主的方法，探究無圖題中構圖的一般方法，設置的初衷是為了營造更適合學生參與，更關注思維的活動氛圍. 在活動的組織形式上，看似形散實則神聚，整堂課充滿生生、師生之間的交流和合作.學生在觀察、對比、猜想、總結中，悟出了構圖的一般方法的同時，以不變應萬變的辯證思想在實際問題的解決中的應用也就呼之欲出了.endprint