N—L公式的推廣與應用

劉旭堂

摘要：眾所周知，關注微積分學的人都了解，微積分是自然科學史上最著名的科學成果之一，是千百年來人類創造性思維的結晶。微積分的創立，不僅解決了當時的一些重要的科學問題，而且由此產生了諸如微分方程、無窮級數、微分幾何、變分法、復變函數等一些重要的數學分支。

關鍵詞：牛頓-萊布尼茨公式；推廣；應用

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學中一個極其重要的基本公式。利用它可將定積分的計算問題轉化為原函數的計算問題，但由于該公式的條件比較強，影響了它的應用與推廣。

一、牛頓—萊布尼茨公式的含義及思想方法

1.含義

牛頓：（1642-1727）英國著名科學家、物理學家、數學家。他1671年寫了一本書《流數法和無窮級數》，它在這本書里明確指出，變量是由點、線、面的連續運動產生的，這樣就在某種意義上說否定了先前自己認為的變量是無窮小元素的統一靜止集合。在這一文獻中，他把連續變量叫做流動量，把這些流動量組合成的導數叫做流數。牛頓在這一流數術法則中所提出的中心問題是：已知連續不靜止的路徑，求給定時刻的速度；已知運動的速度試求給定時間內經過的路程。

萊布尼茨：（1646一一1716）是德國著名科學家、數學家。1684年，他發表題目為《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》的一本書，這是世界上公認的最早的微積分文獻。就是這樣一篇說理也似乎有點含糊不清的文章，卻在歷史上產生了劃時代的意義。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨選用開創的。

2.思想方法

極限的思想方法，是微積分學的根本方法。牛頓—萊布尼茨公式作為微積分的重要公式，它集中體現了極限的思想方法，這個公式的證明方法常見的有兩種：一種方法是萊布尼茨的方法，即先引人積分上限函數，然后證明出積分上限函數的導數為被積函數本身，再根據一個函數的任意兩個原函數之差為某一常數，這一性質推出牛頓—萊布尼茨公式。另一種方法是從定積分的定義式出發，利用拉格朗日中值定理推得牛頓—萊布尼茨公式。本文給出第三種證明方法，而這種方法更能充分體現出這一公式中所蘊含的極限的思想方法。

二、牛頓一萊布尼茨公式的應用

傳統的高等數學教學，大多采用直線型程序進行的：從極限到連續性、到導數（微分）、再到積分.直線型路線走完了，課程也就結束了.其實，直線型路線走完了，這僅是為學好這門課程奠定了一個基礎而已.在此之后，尚需人們從各種角度來重新觀察所學到的知識整體，特別是應進行以新理舊、以后推前的逆向思維工作.譬如，能否用積分來處理微分的結論、連續函數的性質？通過反復聯系，人們才會對知識的整體性有個較深入的體驗，對所學知識有深入的理解，甚至會產生一些新結論，下面以Taylor中值定理的積分證明為例：

Taylor：中值定理是說，若f（x）在（c，d）中有n十1階連續導數，

對此定理，大多都是通過構造輔助函數借助Cauchy中值定理或Rolle定理來證明的.也可用積分手段來證明，則較簡明.Taylor中值定理等價于

而此式可經由牛頓一萊布尼茨公式變形，然后直接計算得到（差的積分化+分部積分法）：

三、牛頓—萊布尼茨公式的推廣

在一元函數積分中有一重要公式，牛頓一萊布尼茲公式，稱為微積分基本公式，揭示了函數的定積分與原函數（不定積分）之間內在聯系，把定積分的計算問題轉化為計算不定積分（求原函數）的問題.但是，對于多元函數的積分則只能將重積分化為累次積分，進而化為一元積分的形式求值.本文給出了二元重積分及曲線積分的牛頓—萊布尼茲公式，推廣了微積分基本公式.

1.二重積分

設函數f（x，y）在矩形區域[a，b，c，d]上連續.以（x，y）表示區域內任意點，令

設函數在矩形區域 上連續，如果存在一個二元函數，

則二重積分

曲線積分形式設D為單連通區域，式的聯系與在區域D上有連續的一階偏導數，若存在一個二元函數，使得在區域D中任意取兩個點A，B，則對連接A，B的任意一條光滑曲線L，都有

二、牛頓—萊布尼茨公式的作用

牛頓—萊布尼茨公式的產生，在當時使人們找到了解決曲線的長，曲線圍成的面積和曲線圍成的體積的一般方法，而后隨著積分學的不斷發展、完善以及它與其他科學之間日益密切的聯系，這個重要公式的應用范圍也在不斷擴大，這個公式本身解決的定積分的計算內容也逐漸增多。從牛頓—萊布尼茨公式可以看出，只要能求出被積函數的原函數，不管原函數是初等函數還是用級數的形式給出，總可以求出這個積分的值或者滿足一定精確度的近似值。當原函數是由級數的形式給出是，可用逐項積分的方法求的原函數，可利用牛頓—萊布尼茨公式求得積分的近似值。詳見級數有關內容。endprint