在錯誤中挖掘線性規劃知識的真相

史紅靜 王得勇

摘 要：數學是一門嚴謹的學科，它追求局部與整體的和諧與盡善盡美。線性規劃為在不等式約束條件下求最值的問題打開了一扇門，它通過轉化與數形結合的思想，以形助數，能夠有效解決目標函數的最值和范圍問題。它不但能夠回避代數方法中遇到的不等式多次加、減帶來的范圍擴大的困難，而且能較方便地找到非線性目標函數的最值，學生在認知沖突的錯誤解法中不斷調整方案，彌補不足，獲得了解決問題的有效方法。

關鍵詞： 不等式；線性規劃；目標函數；最值

【中圖分類號】 O122.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】2236-1879（2017）05-0098-02

數學是一門抽象性和邏輯性很強的科學，它追求局部和整體的嚴謹與完美。而抽象的數學知識又常常可以結合其轉化的圖形來輔助理解。所謂以形助數，以數解形，從而利用數形結合的思想解決問題。高中數學必修五第三章線性規劃的知識就是典型的數形結合的應用。

解決線性規劃問題的最有效的手段是利用區域和目標函數的關系，采用轉化的思想方法，將目標函數轉化為幾何意義，利用區域特征進行研究。然而，為什么要轉化為線性規劃？不等式為什么不能像解方程組一樣多次疊加？是學生們學習線性規劃時，首要面臨解決的問題。

為了給學生制造認知沖突，不妨先舉一個如下的簡單的例子：請同學們找出下面推導過程中的不合理之處

引例1：假設0

故0

因此，兩個不等式相加得：-1<2x<3，所以-12

不難發現，推導過程中的每一步都沒有錯誤，最后的結果卻把變量x的范圍放大了。這說明了多次應用不等式加、減法得到的范圍是不準確的。

接下來提出下面的例子，讓學生思考，推導過程是否合理？

例題：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范圍。

錯解：因為1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，所以0≤2x≤8，所以0≤x≤4。

因為1≤x+y≤5，-3≤y-x≤1，所以-2≤2y≤6，所以-1≤y≤3。

所以0≤2x≤8，-9≤-3y≤3，

因此-9≤2x-3y≤11。

通過引例1的鋪墊，學生很快發現上面的這種方法多次應用了不等式的加、減法，因此得到的范圍一定是偏大的。那么如何來避免產生這樣的問題呢？學生陷入了思考和激烈的討論，最終給出了如下睿智的解決方案。

正解1：設2x-3y=k1（x+y）+k2（x-y）=（k1+k2）x+（k1-k2）y，

則k1+k2=2k1-k2=-3，所以k1=-12k1-k2=52，

因為1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，所以-52≤-12（x+y）≤-12，-52≤52（x-y）≤152，

因此-5≤-12（x+y）+52（x-y）≤7，即-5≤2x-3y≤7，

因此2x-3y的取值范圍是[-5，7]。

顯然上面的推導過程不等式的加減法只用了一次，因此范圍是準確的。那么這是從代數的角度思考的這個問題，其應用的是構造和方程的思想。如果我們考慮問題的幾何意義，已知條件中的不等式約束條件，其幾何意義恰為前一節課剛研究過的平面區域，那么所求的形式可以看成是我們的目標，這里稱為目標函數，因此可以得到如下的解法：

正解2：由已知得不等式組1≤x+y≤5-1≤x-y≤3，其對應的線性區域如下圖1：

最大時，即直線過點A（2，3）時，z取最小值，為zmin=-5。

當截距-13z最小時，即直線過點B（2，-1）時，z取最大值，為zmax=7。

因此，2x-3y的取值范圍是[-5，7]。

對比兩種解法，無論是代數方法還是數形結合的方法得到的范圍是一致的。特別要注意的是正解1中不等式加、減法只能用一次，否則，得到的范圍可能被擴大。進一步思考下面的拓展問題。

拓展訓練：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求x2+y2的取值范圍。

顯然，拓展訓練中的已知條件與例一的完全一樣，然而所求的目標函數的形式x2+y2是二次的，無法采用正解1的代數方法構造出用x+y和x-y線性表示x2+y2。因此，考慮正解2的方法，我們只需：令新的目標函數為z=x2+y2，它的幾何意義是圖1中區域內任意點到原點距離的平方。顯然，由圖可知，最小距離為dO-直線BC=12，則zmin=（12）2=12。

區域內點D（4，1）到原點距離的平方最大，為dOD=17，則zmax=（17）2=17。因此x2+y2的取值范圍為[12，17]。

通過前面問題的層層深入的挖掘，學生體會到了求不等式范圍與“解方程時等式可以多次加減”的不同之處，在不等關系的約束條件下，求目標函數的范圍問題常采用數形結合的思想轉化為線性規劃問題，其無論從降低問題的難度，還是處理、分析問題的廣度來說，都更加的靈活和完善。學生在錯誤中反思，探索中尋找到知識的真相，體會到了數學的嚴謹性和整體性。在“沖突”的產生，化解和發展過程中，主動建構、完善了新知識，并有效防止錯誤方法的應用。

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