淺談等效思維在物理解題中的應用

等效思維是指通過把復雜的抽象的物理概念，物理規律或物理模型簡單化，明確化，從而使這一概念，規律，或模型易于被人理解、接受的一種思維方式。這種思維方式應用于物理的解題中，這樣既不影響問題的解決結果，又能使復雜的問題的解決變得簡單明確得多，解題過程使學生易于接受，提高學生們的解題能力。但是利用等效思維解物理題時，需要說明一下的是，等效的應用必須注意兩點，首先等效前后必須具有相同的效果，其次等效過程只是在特定的前提條件下才適用。下面就我在高中物理教學過程中所遇到的、使用等效思維解題的幾個典型問題羅列出來作一個簡單的探討。

例題一、已知物體從地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v= ，其中G、ME、RE分別是引力常量、地球的質量和半徑.已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2，c=2.997 9×108 m/s.逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞，設黑洞的質量等于太陽的質量M=1.98×1030 kg，求它的可能最大半徑；

分析：當發射衛星時，發射速度小于第二宇宙速度，衛星就不能逃逸地球；黑洞是一個天體，解決此題，采用等效思維法，把黑洞等效為地球，光子等效為衛星，可以由地球的逃逸速度公式去計算黑洞的逃逸速度，因此有v= m/s>c=2.997 9×108 m/s，整理得R<2.93 km，所以黑洞的可能最大半徑為2.93 km。

例題二、一個人乘坐在一條小船上，逆流而上。前進中，船上的一只木箱不慎落入水中，船上的人在木箱落水后十分鐘發現后，立即調轉船頭順水而下追趕。如果船相對水的速度始終不變，那么，調轉船頭后船多長時間可以追上木箱？

分析：如果以河岸為參考系的話，這個問題是比較麻煩的，但是如果以水為參考系的話，問題將非常簡單。木箱落水后相對河水靜止，船相對水速不變，船行駛十分鐘發現木箱落水，立刻調轉船頭，這相當于船行駛十分鐘再往回行駛，而木箱不動，因此，船一定是十分鐘追上落水木箱。本題中以河岸為參考系，；還是以水為參考系對于船的航行時間是等效的，采用后一種方法明顯可以簡化問題，學生易于接受。

例題三、如圖是小球在一個很大的光滑的球形底部來回運動AB<

分析：小球從圓心O點靜止釋放運動到光滑的球形底部的時間t2=

單擺周期的問題，其基本的模型是用一根不可伸長的細線吊起一個小球，使小球在同一豎直平面內作小角度（α<100）的擺動。在不計阻力的情況下單擺的周期公式為T=2π

小球從B點靜止釋放運動到光滑的球形底部的時間求解情況是單擺的變形，主要問題都是等效擺長的尋找，按照原來懸點到球心的長度作為擺長很顯然是不行的；考慮到單擺的運動中擺球都是在做圓周運動，嚴格的數學證明表明：單擺的周期與擺球做圓周運動的半徑有關，等效擺長實際對應擺球作圓周運動的半徑。這樣的話等效擺長就比較好找了。如圖中的等效擺長為R，

小球從B點靜止釋放運動到光滑的球形底部的時間t1=T/4=0.5π 。由此可見小球從B點靜止釋放運動到光滑的球形底部比小球從圓心O點靜止釋放運動到光滑的球形底部時間長。

由此題可知關于物理上的模型或情境，恰當地使用等效變換可以把復雜的或很不常見的情景轉化為簡單的或常見的類型，從而大大地降低了問題的難度。

例題四、如圖已知電源電動勢為10V內阻r=1Ω，R1=5Ω，R2=6Ω，當閉合開關時，滑動變阻器的電阻調節為多大時，其電功率最大？電功率最大為多少？

分析：按照常規的方法需要根據整個電路的電阻變化得出滑動變阻器上的功率表達式，計算難度很大。如果此題同樣采用等效思維法，問題將大幅度減小。把所有不變的物理量（電源，電阻R1，R2）整體看成一個等效電源，按照電源電動勢的特征，電源電動勢等于電源沒有接入電路時兩極間的電壓，則此時ab兩點相當于等效電源的兩極， 等效電動勢等于ab兩點電壓E/=Uab=ER2/（R1+R2+r）= 5V，其等效電源的內阻從ab兩點看相當于R1，r串聯再和R2并聯，r/=（R1+r）R2/（R1+R2+r） ，則r/=3Ω，這樣外電路只有一個滑動變阻器，根據電路知識知道當外電路電阻等于電源內阻時電源的輸出功率最大，即滑動變阻器電阻為3Ω時，其上電功率最大，P最大=（E/）2/（4 r/），代入數據計算可得，電功率最大約為2.08W。

例題五、伏阻法：用一個電壓表和電阻箱測量電源電動勢和內阻，電路如圖所示，測量原理為：E=U1+U1R1r，E=U2+U2R2r，由此可求出r和E，此種方法測得的電動勢 電動勢真實值和測得的內阻 內阻真實值（填<、=、>），

分析：由于測量原理把U/R當做電路的總電流，形成系統誤差，與上題一樣，按照常規的方法討論，難度很大。如果此題同樣采用等效思維法，問題將大幅度減小。把所有不變的物理量（電源，電壓表內阻RV）整體看成一個等效電源，按照電源電動勢的特征，電源動勢等于電源沒有接入電路時兩極間的電壓，則電阻箱的阻傎調至無窮大，等效電動勢等于電源兩端電壓E=E真RV/（RV+r）

從例題四和例題五可知，在很多的全電路的計算中采用等效電動勢常常可以使問題簡化。

例題六、（多選）長為l、相距為d的平行金屬板M、N帶等量異種電荷，A、B兩帶電粒子分別以不同速度v1、v2從金屬板左側同時射入板間，粒子A從上板邊緣射入，速度v1平行金屬板，粒子B從下板邊緣射入，速度v2與下板成一定夾角θ（θ≠0），如圖所示.粒子A剛好從金屬板右側下板邊緣射出，粒子B剛好從上板邊緣射出且速度方向平行金屬板，兩粒子在板間某點相遇但不相碰.不計粒子重力和空氣阻力，則下列判斷正確（ ）

A.兩粒子帶電荷量一定相同

B.兩粒子一定有相同的比荷

C.粒子B射出金屬板的速度等于v1

D.相遇時兩粒子的位移大小相等

分析：A、B兩粒子能在板間相遇，說明兩粒子具有相同的水平速度，因此粒子B射出金屬板的速度等于v1，C正確；粒子A剛好從金屬板右側下板邊緣射出，研究B粒子的運動時，采用等效思維法，把B粒子的運動看做逆向的從M出發的類平拋運動，A、B兩粒子做類平拋運動初速度大小都為v1，如圖所示，故垂直于金屬板的方向兩粒子有相同的加速度，由a=qEm可知，它們有相同的比荷但帶電荷量可能不同，A錯、B對；由對稱關系可知，相遇點距離板左、右兩側的距離相等，即從粒子射入到相遇所用時間等于粒子穿過金屬板的時間的一半，即t0=t2=l2v1，垂直于板的方向可看作是某粒子做初速度為零的勻加速直線運動，故相遇點到上、下板的距離之比等于1∶3，此時粒子B的位移大于A的位移，D錯.答案 BC

例題七、（多選）如圖所示，圖甲中MN為足夠大的不帶電的薄金屬板.在金屬板的右側，距離為d的位置上放入一個電荷量為+q的點電荷O，由于靜電感應產生了如圖所示的電場分布.P是金屬板上的一點，P點與點電荷O之間的距離為r，幾位同學想求出P點的電場強度的大小，但發現很難.他們經過仔細研究，從圖乙所示的電場得到了一些啟示，經過查閱資料他們知道：圖甲所示的電場分布與圖乙中虛線右側的電場分布是一樣的.圖乙中兩異號點電荷電荷量的大小均為q，它們之間的距離為2d，虛線是兩點電荷連線的中垂線.由此他們分別對P點的電勢和電場強度作出以下判斷，其中正確的是（ ）

A.P點的電勢為零

B.P點的電勢大于零

C.P點電場強度的方向垂直于金屬板向左，大小為2kqdr3

D.P點電場強度的方向垂直于金屬板向左，大小為2kqr2-d2r3

分析：P點電場強度是電荷量為+q的點電荷O和薄金屬板上感應電荷分別在P點產生的電場強度矢量疊加，P點的電勢是電荷量為+q的點電荷O和薄金屬板上感應電荷之間的電場的電勢，采用等效思維法，把薄金屬板上感應電荷等效為電量為-q，所在位置在以薄金屬板為對稱面的對稱點上的等效電荷，我們把這個等效電荷稱為鏡像電荷（因為與平面鏡成像類似），選項分兩組，A、B兩項判斷P點電勢，C、D兩項計算P點場強.金屬板MN接地，電勢為零，則金屬板上P點電勢為零，A正確、B錯誤；類比圖乙中的電場線方向可知，金屬板所在位置及P點場強方向均垂直于金屬板向左，大小由等量異種電荷分別在中垂線上產生的場強疊加得知，由于對稱，帶電荷量分別為+q和-q的點電荷在P點產生的場強大小均為E+=E-=kqr2，由相似三角形關系得EE+=2dr，解得E=2kqdr3，C正確、D錯誤.故答案是A、C

高考對電場強度的考查，往往會和對電勢的考查結合在一起進行，目的就是刻意對考生制造思維上的混亂，以此來考查考生對物理基本概念的區分和辨別能力.常用的思維方法——等效法和對稱法.

高中物理教學中的等效思維應用在解題中涉及很多方面的題，在這里不能一一列舉，總之等效思想是物理學中的基本思想之一。它對物理問題解決具有重要作用，要使學生形成等效思想，必須加強應用，在應用過程中使學生深刻理解，不斷完善等效思想。等效思想教育對于培養分析和解決物理問題的能力，提高物理教學質量大有裨益。

作者：毛子久

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