高等數學導數的應用

張德全

摘要：對高等數學導數教學的應用進行研究，能夠有效提高高數教學的應用質量。基于此，本文將對高等數學導數的定義進行簡單介紹，并對高等數學導數的教學應用進行具體分析，包括經濟領域的數學建模應用、淘寶電商增長數目建模中的高等數學應用、數據分析應用以及定積分在企業經營成本中的應用四方面內容。

關鍵詞：高等數學；導數應用；數學建模

導數在高等數學中象征著極限問題，也就是說極限是高等數學導數存在的前提條件，另外，導數在整個高等數學中起著承上啟下的作用。導數的學習質量直接決定著接下來高數的學習質量，由此可以看出導數在高數中的重要地位。導數指的是數學變量中變量變化的速率，也稱為瞬時變化率。導數可以表示質點在運動過程中瞬時速度的抽象變化，同時也可以表示曲線中某一點切線的斜率，分析高等數學中導數的教學應用有一定的必要。

一、高等數學導數的定義

高數中導數表示的是某一極限量，轉換為文字就是應變量的增量與自變量增量的比值，進而表示出研究對象的極限值。在列出相應導數之后還要對該公式是否具有意義進行判斷，如果該公式具有存在意義，則表示的則為導數。具體的導數定義為，如果一個函數在一個區域內有存在定義，則導數中一個自變量發生變化時，則該導數也會發生相應的變化。其中導數變化的極限量有存在意義，則該函數在該范圍內成立，這一極限值為該函數在自變量初始階段的函數值。除此之外，導數還可以應用在幾何領域中，通過以上介紹可以知，導數能夠表示出曲線內某點的斜率，假設該點的斜率為k，該點的自變量變化為x-x0，則該函數的導數可以表示為y=k（x-x0）。當傾斜角為90度時，經過點P的垂直斜線為該函數的法線，當其中的切線函數為零時，則法線的方程為x=x0。例如，y=x3，求點A（x，y）的切線方程和法線方程，已知函數公式，則將點A帶入公式可得出y-ya=3xa2（x-x0）。法線方程需要分情況進行，當其中的x0等于零時，則法線方程為x=0，當x0不等于零時，則法線方程為3xa2、-1、變量的增值之間的積。通過以上導數的應用能夠看出，導數不僅能夠利用自身的性質進行求導，還可以應用在曲線切線以及法線的求解中，由此可以看出，高數導線的應用范圍以及在高數中的重要地位。

二、高等數學導數的應用教學

（一）數據分析中的高等數學應用

數據分析是現代社會的重要工作，隨著大數據時代來臨，企業對數據的依賴性越來越高，一些重要、海量數據需要通過服務公司進行分析，少量工作則依然需要企業自身進行。以線性規劃的應用為例，教師在教學活動中可以將其作為對象分析高等數學的應用。各類分析工作中，為求了解分析對象的實際規律，往往需要選取線性條件作為約束，比如我國規模以上企業的數目，“規模以上”就是線性約束條件。實際應用中，教師可以選擇淺顯題目作為切入點，先引導學生理解高等數學在數據分析中的應用方式，之后漸漸引入難度較大的內容。比如進行股票回歸系數的運算，在回歸方程中表示自變量x 對因變量y 影響大小的參數。回歸系數越大表示x 對y 影響越大，正回歸系數表示y 隨x 增大而增大，負回歸系數表示y 隨x增大而減小。可選的自變量設定為人員階段時間內購買力和消費能力，因變量則為房屋價格，導數為某一點的房價，分析過程中結合實例進行教學，可取得事半功倍的效果，強化學生對知識的掌握[1]。

（二）經濟領域的數學建模應用

高等數學在實際生活中往往集中應用于經濟領域，尤其是經濟分析中的建模工作。在實際教學中，要求教師將經濟問題和高等數學實現結合，對學生提出的問題和生活實例進行分析，實現模型的建立。比如企業利潤增長方面的分析，一般來說，企業在正常經營過程中不會出現過大的經營波動，換言之，其利潤水平的增長和下降往往是有跡可循的。建模時，選取的基本模型應以企業現階段經營狀況和利潤水平為基準，也可以鼓勵學生自由查詢相關資料，以計算機作為工具完成建模。在分析過程中，教師應選取具有代表性的案例進行分析，并將建模時需要考慮的各類因素告知給學生，包括參數選擇、計算方式、導數選取和計算等，使經濟領域的數學建模和高等數學教學實現融合。

（三）淘寶電商增長數目建模中的高等數學應用

高等數學的應用往往集中于精密計算、結果預估等方面，包括股市漲跌、房價起伏等等，在實際教學中，教師可以將其進一步與生活實例相結合，實現教學的高效性，比如淘寶電商增長數目建模。淘寶是我國最大的電商平臺，其相關工作離不開數學的支持，將建模工作帶入教學中，首先要求學生掌握變量和常量之間的關系，之后確立線性約束條件，進行建模工作。如分析目標為電商數目增長率，變量為不同年份的電商數目，常量為當前電商總數，變量取縱軸表現，常量取橫軸表現，導數為某一時間點電商增加數目，根據不同數據點收集信息，即可進行增長率的分析[2]。

（四）定積分數學在企業經營成本中的應用

定積分數學可以用于企業成本計算，教師可以在教學活動中引入相關內容。一般來說，企業的生產經營活動需要考慮庫存問題，庫存管理需要成本，主要為固定成本和邊際成本，邊際成本的計算可以應用定積分數學相關知識，考量企業庫存的最大、最小值，建立函數，以函數的變化區間對應企業邊際成本的變化，以此評估不同階段的成本水平，所選導數為某一點的成本水平，這一方式有利于學生掌握實用的高等數學知識，提升應用能力。

結論：隨著人們對高等數學導數應用的關注程度越來高，如何提高高等數學導數的應用質量，成為有關人員關注的重點問題，本文通過對高等數學導數的應用進行研究發現，對其進行研究能夠有效提高高等數學導數的應用質量，同時還能夠提高解題的速度。由此可以看出，對高等數學導數的應用進行研究，能夠為今后導數應用的發展奠定基礎。

參考文獻：

[1]王婷婷，周仁元，張久軍. 數學史融入高等數學教學的實踐與探索[J/OL]. 當代教育實踐與教學研究，：1-6（2016-12-14）.

[2]許楚濱. 基于高等數學指導的高中數學教學實踐與思考——以高中《導數及其應用》為例[J]. 考試周刊，2017，（42）：131-132.