初中數學教學中反例的應用

善軍

摘要：在初中數學教學中，學生常常會對概念、定理、推論中的條件以及其適用范圍不甚了解，以致建立錯誤印象，應用問題頻出。教師可以應用反例教學，深化學生對條件與使用范圍的認知，減少學生失誤。可以利用反例明細概念，可以利用反例明確定理與推論的適用范圍。

關鍵字：反例；初中數學教學

所謂反例，是指與命題相反相左的例子。在初中數學教學中應用反例，是為了讓學生對命題中的條件形成更加準確的了解，或者是針對學生的懷疑之處予以解惑。在數學學習時，因為思維的年齡局限性，學生常常會忽視命題中的一些條件或者是條件的適用范圍，導致學生在應用命題時頻發錯誤，應用反例，可以讓學生對命題中的條件或條件的適用范圍形成深刻的認知，在應用命題時付諸注意。在數學學習中，學生有時會對命題中的一些條件以及其適用范圍的規定產生質疑，以之為錙銖必較，如果有反例的證明，學生便會對這些有了明確認知。此外，反例教學有利于打破學生的思維定勢，發展學生的思維能力。因此，在教學中，教師需要巧妙應用反例。

一、利用反例明晰概念

在數學的教與學中，會遇到很多的概念，這些概念是抽象的、凝練的，想要處在抽象思維形成時期的初中學生準確掌握這些概念，教師必須在教學中予以條分縷析，否則，則會導致學生對概念的誤讀。針對概念中的條件舉出反例，可以幫助學生識清概念。

以數軸為例，數軸的概念中規定了數軸成立的三個條件：一是原點，二是有方向，三是單位長度明確，不過這個單位長度不一定是1。為了讓學生掌握著三個條件，教師可以舉出不符合條件的反例，讓學生判斷是否是數軸，如圖所示。

（1）

（2）

（3）

以上三個反例中，（1）沒有任何一個條件，（2）缺少方向，（3）沒有原點，所以這三個反例都不是數軸，通過這三個反例，學生對于數軸的條件會形成清楚地認知，在應用數軸解題時便不會缺斤少兩。

在學習概念時，因為知識的負遷移，學生常常會混淆一些概念。如果教師僅僅依靠正例教學，學生恐怕永遠都會是一知半解甚至一點不解，對于概念的掌握只會停留在片面的字句上。這時，教師需要大膽地摒棄正例，應用反例，引導學生認清概念的本質，避免學生混淆概念。

以無理數為例，無理數是在講平方根和立方根時提到的概念，教材將其定義為無限不循環小數。然而，學生在判斷時，常常忽視無限不循環這個概念，錯把平方根和立方根當做是無理數。此時，教師可以舉出一些反例，比如等，讓學生判斷是否是無理數，通過這些反例，學生便會認識到，不是所有的平方根或立方根都是無理數，也就是說，平方根或立方根并不是無理數的本質，無理數的本質是無限不循環的小數。

二、利用反例明確定理與推論的適用范圍

真理之所以是真理，是因為其應用在一定的范圍內，超出了范圍的真理便是謬誤，初中數學中的定理和推論也是如此，有著明確的應用范圍。然而，在學生的學習中，卻常常忽視應用范圍，導致學生在做題時失分。教師可以應用反例進行教學，引起學生對定理和推論適用范圍的重視，甚至讓學生做題時第一時間要觀察的便是應用范圍是否滿足。

以一元二次方程的實數根判別式為例，對于一元二次方程如果方程有實數根，則判別條件如果方程有兩個不同的實數根，△>0。這里特別需要注意的是因為忽視這個條件，學生常常會陷入錯誤。此時教師可以舉一些反例進行教學，比如，如果方程有兩個實數根，求t的取值范圍。一定會有很多學生根據題意得出從而求得。可是這個答案顯然并不正確，因為當t=0時，方程只有一個實數根。此題的正確答案為。通過這個例子，學生便會對判別式中這個條件形成深刻的認知，畢竟，疏忽便是錯誤。

再以韋達定理為例，韋達定理中提到了方程的兩個實數根與方程中常數的關系：，這個定理常常被用來求取由兩根組成的關系式的值以及在高中應用在平面幾何中，是一種較為便捷解題方式，但是韋達定理有一個適用范圍，方程有兩個不等實數根或者是函數與x軸有兩個焦點。學生在使用韋達定理解題時，對于這個適用范圍常常忽略，為了提醒學生注意，教師可以舉一個反例：如果方程的兩根為，求的取值范圍。很多學生是這樣解答此題的：19。乍一看條分縷析，合情合理，可是這并不是正確答案，如果我們把終點值19代入，即由此解得k=-5，再把k的值代入方程中，方程變為可是這個方程方程并沒有實數根，與題意相違背。這道題學生錯就錯在沒有將方程有兩個不等的實數根考慮在內，即忽視了韋達定理的適用范圍。其實，這道題的解答還要加上一個條件在k的這個范圍內，也就是說。有此題可以看出忽視適用范圍的過失之大，可謂是失之毫厘謬以千里。在這個反例的學習中，學生可以深刻認識到韋達定理適用范圍的重要性，從而在自己應用時精益求精，強化正確率。

總而言之，初中數學教學需要應用反例，起正例教學難以匹敵的強調作用，讓學生對概念、定理與推論的諸條件與適用范圍形成清晰的認知，嚴謹學生的思維。在教學中，教師善于應用反例，可以提高教學效率，切忌，不能單純為反例教學而硬造反例。

參考文獻：

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[2]劉超.淺談初中數學教學中反例教學的重要性[J].成功（教育），2011（16）