“一元函數微分學的應用之函數單調性和極值”的講解

李量夫

一、教材結構與內容簡析

（一）本節內容在全書及章節的地位

《一元微分應用之函數的單調性和極值》是我校《高等數學》第三章的第三，四，五節。本章內容主要分為三個部分：一是微分中值定理，二是洛必達法則，三是函數單調性，極值和最值研究。本節屬于導數的應用部分，是本章的重點之一，也是期末考試和考研題中經常考察的部分。在第二章已經學完了導數和微分的概念、運算，而且還研究過了三個微分中值定理和泰勒展式，后面是微分在幾何，物理，經濟上的應用。

所以本節在整個章節中起到了承上啟下的作用。

（二）數學思想方法分析

作為一名高校數學教師，不僅要把高等數學知識傳授給學生，更重要的是傳授給學生邏輯思維方法、數學意識，自主學習數學和運用數學的方法。因此本次課在教學過程中，著力培養學生觀察能力、聯想能力，數據挖掘能力等。培養學生嚴謹的學習態度和發散性思維；注重培養學生制作幾何圖形，通過直觀的圖形去解決問題的思維過程，如函數的單調性可用函數的一階導數來表示，函數的凹凸性用二階導數來表示等等，學會用數學方式思考問題，解決問題。學會數學建模的一般方法。

二、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構和心理特征 ，我制定如下教學目標：

（一）基礎知識目標。掌握閉區間上的連續函數，極值可能在哪些點取得，即極值存在的充分條件，必要條件；會利用單調性，凹凸性畫圖和求極值、最值。

（二）能力訓練目標。培養學生觀察、聯想、構造、數據挖掘、數學建模等能力，學會通過建立幾何圖形直觀解決問題的方法，學會挖掘數據之間的聯系和區別，學會透過現象看本質。

（三）情感目標。讓學生在學習《高等數學》的過程中體驗到把數學知識可視化，把實際問題轉化為可利用資源的成就感，認識到世界上任何事都可為，要做好卻要認真對待，付出艱辛勞動的道理。

三、教學重點、難點、關鍵

本節的重點是利用函數的一，二階導數求函數的極值。難點在于把實際問題轉化為數學模型，和利用函數圖形解決實際問題。

下面為了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的教學目標，再從教法和學法上談談：

（一）教法

數學是一門培養和發展人的思維能力的重要學科，因此在教學過程中，不僅要使學生“知其然，知其所以然”，更重要的是學會思考問題、解決問題的方式和方法。為了遵循大學生的學習認知規律，體現循序漸進與啟發式的教學原則，我進行了多種教法設計和嘗試，在教師和同學的互相引導下，模擬當時的情景，通過同學們自己學習，互相提問以及開放性問題的設置來引導學生思考，在思考中體會社會實踐的多樣性和數學知識的嚴謹性和開放性，使同學們獲得從表象中挖掘發現真相真理的成就感，增加學習數學的興趣，增強對學數學、用數學的認同感。

（二）學法

我們常說“現代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人。”因而在教學中要特別重視學法的指導，讓同學們從被動接受，轉化為自主研究自主學習。隨著《高等數學》課程改革的深入開展，在課時逐漸壓縮的大背景下，轉變學生學習方式必將是本次課程改革的重點之一。課程改革的具體目標之一是“改變教學實施過程中，過于強調學習知識、要求知識的無錯再現、題海戰術的現狀，倡導學生積極主動參與社會實踐、樂于探究挖掘數據中隱藏信息、勤于動手學習數學軟件，培養學生搜集和處理數據的能力、獲取新知識的方法和能力、分析和解決實際問題的能力以及交流與合作的能力”。

轉變大學生學習《高等數學》的方法和方式，不僅有利于提高學生的數學素養、綜合能力，為以后的科學研究做準備，而且有利于促進學生群體學習知識、運用知識方式的轉變。由原來學知識，做習題變成現在研究問題，找數學原理和專業知識學習的轉變。我以書本中的例題為出發點，輔以數學理論知識，通過多媒體和現代通訊手段，再現情景等偏重于探索研究的教學方法，結合師生共同討論、歸納等多種方式來實現本章節內容的學習。

我再具體談一談這堂課的教學過程。

四、教學程序及設想

（一）從生活實踐中引入概念，進一步觀察歸納形成定義

一個長期困惑的問題——我們的學生為什么對數學缺乏興趣，甚至畏懼數學，我想其中的一個重要原因是，我們把數學的位置放的太高，認為《高等數學》是“陽春白雪”，高不可攀，認為數學在生活實際中用不上。事實上，高等數學與我們的生活息息相關，只有兩者融合起來，從生活實踐出發，利用已有的知識，去發現問題、探究問題、然后用數學知識解決問題，才能達到事半功倍的效果。

1.例如我們可以用看得見的山峰、山谷的方式引入極大值、極小值、極值、極值點等概念，直觀貼切，易于理解。

2.還可以借助多媒體再現函數圖像，指出極值點，培養學生繪圖，利用數形結合的方法來學習。

（二）互相探討研究，深入理解極值概念

在這里通過兩個函數圖象使學生更加明確了極值和極值點只是在鄰域內考慮。不同鄰域內，極大值和極小值無可比性，極值和最值間的區別和聯系。

（三）尋找充分條件和必要條件

先給出必要條件，再給出充分條件，然后討論兩者的區別和作用。進一步給出求極值的步驟，列表或者畫出圖形，最后探討總結最值取值的可能范圍。這樣的好處在于，加深函數的一階導數，二階導數在求極值中的作用。最后的求最大值和最小值的步驟，有了前面圖像的繪制和實際問題的背景，學生可以自行歸納總結。

（四）課后習題練手，鞏固知識

書中的例題4求解多項式的最值問題，包括了求函數極值、繪制函數的圖象以及討論閉區間最值問題等多個部分。一個例題很好的綜合了這一節課的大部分內容，而且多項式函數的求一階導數、二階導數、符號判斷問題都相對簡單，所以這里安排這樣一個例題是明智的。學生認識到數學知識在這里得到了有效的應用，而且操作簡單，可行性高，給學生以信心。

（五）進一步深入探討，提高認知能力

在第四節中，作者提出了實際生產生活中求最值的方法和步驟，判斷最值的通用方法。并給出三個實際應用的例子，每一個例子都有其深刻的含義，都有信息可以挖掘。可以通過小組討論或同學講授，大家提問的形式，深入挖掘例題所包含的深意。

（六）課后教學延續，留下自主探究空間

最后，我把課后的一個習題拿出來討論，甲乙共用變壓器，如何設置變壓器的位置，使得用料最省。其目的是為了引入“數學建模”， 介紹數學建模的一般方法和思維方式，讓同學在潛移默化中“把數學思想用于生產生活實踐，或者把生活中的問題轉化為數學模型”。使學生對數學知識的應用有了更深的理解，認識到數學的嚴謹性和靈活性。當然我注意了到了循序漸進的原則，使學生既鍛煉了綜合學習的能力，又不至于“跳一跳也夠不到”。

以上，我給出了《一元微分應用之函數單調性和極值》一課中的講課設計方案，不當之處還請各位老師指正。