高中數(shù)學(xué)課程中的“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)反思

郝騰飛

摘 要：“始終要把數(shù)學(xué)教學(xué)的‘育人目標(biāo)放在心上”觀點(diǎn)很受啟發(fā)，對(duì)“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”有進(jìn)一步的實(shí)踐認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)也有了更深刻的理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；理解數(shù)學(xué)；理解學(xué)生；理解教學(xué)；課堂推進(jìn)命題；通項(xiàng)公式

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）18-080-01

0

一、對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法”的理解

1.數(shù)學(xué)歸納法的核心

學(xué)生對(duì)于歸納假設(shè)常常會(huì)感到疑惑不解：要證明某個(gè)命題正確，怎么可假以設(shè)這個(gè)命題正確呢？命題p（k）與命題p（n）有何關(guān)系？假設(shè)命題p（k）正確在證明過程中起什么作用？理解這些問題，也就理解了數(shù)學(xué)歸納法的思想內(nèi)涵：數(shù)學(xué)歸納法要證明的命題p（n）是一個(gè)命題序列，其中p（k）與p（k+1）是該命題序列中的兩個(gè)連續(xù)命題。為了證明這個(gè)命題序列整體的正確性，我們首先得證明p（1）為真（是歸納奠基）；在歸納遞推過程中k是一個(gè)變動(dòng)的量，假設(shè)命題p（k）為真是遞推證明的條件，由p（k）為真推出p（k+1）為真，表明前一個(gè)命題為真必可推出它的后繼命題也為真。由于有了第一步的奠基驗(yàn)證，歸納假設(shè)是有依據(jù)的，因此我們所要證的命題序列中，可由歸納遞推p（1）p（2），p（2）p（3），p（k）p（k+1）。根據(jù)歸納公理證明了{(lán)p（1），p（2）：p（n）。}中命題都是正確，即對(duì)任意正整數(shù)n，命題都成立。可以說，歸納假設(shè)是遞推的接力棒，沒有歸納假設(shè)，遞推就無(wú)法進(jìn)行。通過上述問題的解決過程不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納法的核心思想是歸納遞推思想。

2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)歸納法雖不是歸納法（是一種嚴(yán)格的演繹推理證明方法），但是在數(shù)學(xué)歸納法的思維模式中還是能找到歸納法的一些影子的：事先通過大量個(gè)別事實(shí)的觀察，通過歸納概括出一般性的結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明解決問題，即歸納結(jié)論推理證明兩個(gè)邏輯段?！坝^察——?dú)w納——猜想——證明”，這種思維模式的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的有效載體，它本身就是一種素質(zhì)教育。作為概念起始課，在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)它的思維作用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法的思維方式去思考問題，而不是過分強(qiáng)調(diào)它的證題格式、證題技巧。

二、理解學(xué)生是課堂推進(jìn)的基本保障

1.了解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理

由于年齡特征，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中往往會(huì)伴隨著一些叛逆心理與求異心理（類似于好斗心理與標(biāo)新心理），他們會(huì)在課堂上提出一些在教師預(yù)設(shè)之外的問題，甚至與教師“對(duì)著干”。學(xué)生的這些學(xué)習(xí)心理對(duì)教師開展課堂教學(xué)來(lái)講是一把“雙刃劍”，把握不好，會(huì)使課堂推進(jìn)失控，迷失在學(xué)生無(wú)休止的“題”外爭(zhēng)論；把握得當(dāng)，則會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與探求新知欲望。

2.了解學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法之前，有關(guān)正整數(shù)命題的問題主要在數(shù)列的學(xué)習(xí)中接觸，由于間隔時(shí)間過長(zhǎng)，數(shù)列學(xué)習(xí)中不完全歸納思想已經(jīng)深深印在學(xué)生內(nèi)心，他們對(duì)于由猜想產(chǎn)生的結(jié)論會(huì)不加懷疑，在這種認(rèn)識(shí)的作用下，學(xué)生會(huì)懷疑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性，導(dǎo)致在觀念上首先會(huì)排斥它。因此本節(jié)課的教學(xué)引入首先要解決的問題是如何讓學(xué)生在認(rèn)知上形成沖突，對(duì)固有的知識(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生懷疑，進(jìn)而形成對(duì)數(shù)學(xué)歸納法探求的迫切心理。

3.了解學(xué)生在思維深刻性方面的不足

教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些情景：課堂上師生互動(dòng)熱烈，師生對(duì)話中學(xué)生對(duì)教師提出的問題能作出正確的判斷，或者學(xué)生的課堂活動(dòng)完全在教師的預(yù)設(shè)中。這很容易給我們產(chǎn)生一些錯(cuò)覺，以為學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容已經(jīng)掌握了，對(duì)概念中蘊(yùn)涵的思想方法已有所體會(huì)了。其實(shí)這種對(duì)話、活動(dòng)往往集中在部分頭腦靈活、反應(yīng)較快的學(xué)生對(duì)教師預(yù)設(shè)的問題的一種順應(yīng)，他們的思維并非一定觸及概念的思想內(nèi)涵，還有一部分學(xué)生則是充當(dāng)聽眾的角色。產(chǎn)生這種情況的原因主要在于教師在預(yù)設(shè)設(shè)時(shí)，是憑自己對(duì)對(duì)概念的理解角度，沒有站在學(xué)生的角度開展問題診斷分析，或者已經(jīng)考慮到學(xué)生的理解困難，但是被假象所蒙蔽，高估學(xué)生的思維能力，或者高估學(xué)生深層推進(jìn)的自覺意識(shí)，沒能將思維提升到一個(gè)高度讓學(xué)生去體驗(yàn)。

“數(shù)學(xué)歸納法”是高中階段一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生對(duì)其中的證明步驟的掌握不會(huì)有困難，但是要理解概念以及概念背后的思想方法不是一件容易的事，尤其是對(duì)步驟2中的“假設(shè)”感到不解，對(duì)兩個(gè)步驟之后，結(jié)論就成立了感到困惑，對(duì)正整數(shù)k與n的關(guān)系琢磨不透，教學(xué)中教師決不能對(duì)這些問題匆忙了事。

三、理解數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)

選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式。同為數(shù)學(xué)歸納法的起始課，兩位教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有著不同的理解。教師甲選擇的教學(xué)方式有著這樣一種教學(xué)理解：數(shù)學(xué)歸納法本身就是一種數(shù)學(xué)思想方法，因此教學(xué)的一開始就應(yīng)緊緊圍繞如何有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想方法的體會(huì)與理解，從理解思想方法的高度探尋數(shù)學(xué)歸納法這一有關(guān)正整數(shù)命題的推理方法。教師乙的教學(xué)理解是這樣：先讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法這種推理方法（形式化的步驟），通過辨析明確完整的數(shù)學(xué)歸納法過程，然后在后續(xù)的不等式證明中逐步體會(huì)歸納遞推思想。

兩種教學(xué)方法選擇，代表了廣大教師對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)的兩種認(rèn)識(shí)。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)內(nèi)涵揭示了這種方法背后有著豐富的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)歸納法提供的“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的思維模式?jīng)Q定了它本身就是一種數(shù)學(xué)思想方法。將數(shù)學(xué)歸納法僅僅看作一種推理方法，由于它的步驟的固定的、形式化的，容易使課堂教學(xué)變成接受的、靜態(tài)的學(xué)習(xí)環(huán)境；而抓住這種思維模式的邏輯結(jié)構(gòu)，從思想方法的角度去認(rèn)識(shí)、探索數(shù)學(xué)歸納法，才能將“數(shù)學(xué)歸納法”這一高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)有效地轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂杏H和力的教育形態(tài)，才能使教學(xué)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的生成。同時(shí)在數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下進(jìn)行信息檢索獲得的數(shù)學(xué)概念、方法，是一種概念內(nèi)化的學(xué)習(xí)方式，這對(duì)改善學(xué)生的認(rèn)知方式有極大的好處。endprint