三邊簡支一邊自由矩形疊層厚板的精確解

胡文鋒, 劉一華

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

三邊簡支一邊自由矩形疊層厚板的精確解

胡文鋒, 劉一華

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

文章基于三維彈性力學基本方程,應用狀態(tài)空間法求解三邊簡支一邊自由矩形單層和疊層厚板的靜力問題。為了滿足自由邊的邊界條件,在自由邊上假設一邊界位移函數(shù),并將其作為狀態(tài)變量引入狀態(tài)方程,使狀態(tài)方程從非齊次的變?yōu)辇R次的,從而得到了該問題的三維精確解。所得到的解不僅嚴格滿足三維彈性力學基本方程,而且嚴格滿足全部邊界條件。算例表明,所得精確解與有限元解吻合很好,具有很高的精度和很好的收斂性。

矩形疊層厚板;自由邊;邊界位移函數(shù);狀態(tài)變量;狀態(tài)方程;三維精確解

Exactsolutionsforrectangularthicklaminateswiththree

新型復合材料在航空、機械和土木工程等領域得到了廣泛應用,因復合材料疊層結構通常具有各向異性、不均勻性、厚度大等特點,使得傳統(tǒng)的板殼理論[1]無法滿足求解精度。因此,文獻[2-3]分別建立了考慮剪切變形的中厚板理論,文獻[4]在此基礎上提出了高階剪切理論,并得到廣泛應用。但是上述各種理論都是基于某種人為假設,將三維問題簡化為二維問題進行求解的,其彈性力學方程不能完全相容,無法獲得位移和應力沿厚度方向變化的精確分布規(guī)律。

文獻[5]采用三維彈性力學位移法分析了四邊簡支疊層矩形板的彎曲、振動與屈曲問題;文獻[6]應用狀態(tài)空間法,從三維彈性力學基本方程出發(fā),建立了疊層板的狀態(tài)方程,得到了疊層板的三維彈性力學精確解。狀態(tài)空間法在求解疊層結構精確解時,能很好地滿足不同材料間的連續(xù)性條件,并且不受結構的厚度限制,因此狀態(tài)空間法在疊層結構的精確分析中具有明顯優(yōu)勢。但對具有非簡支邊的疊層板,求解依然有些麻煩,文獻[7-10]通過引入一些特殊函數(shù),求解了含固支邊或自由邊疊層板的彎曲問題。但是這些解在非簡支邊處只能通過分層的辦法在分層點處滿足邊界條件,無法沿厚度方向嚴格滿足邊界條件。本文通過將自由邊的邊界位移函數(shù)也作為狀態(tài)變量引入狀態(tài)方程,求解三邊簡支一邊自由矩形疊層厚板的三維精確解。

1 單層板的狀態(tài)方程及其解

一正交異形矩形板如圖1所示。圖1中,y=0邊自由,其他三邊簡支;材料彈性主方向與坐標軸平行。

圖1 單層矩形板

板的應力與位移之間的關系為:

(1)

其中,u、v、w分別為x、y、z方向的位移;Cij為剛度系數(shù)。

將(1)式代入彈性力學平衡方程[6],并消去應力分量σx、σy和τxy后,可得到:

(2)

應力分量σx、σy和τxy則可由(3)式求得:

(3)

邊界條件為:

(4)

為了滿足(4)式,將位移u和v假設成(5)式形式[9-10],即

(5)

其中,v(0)為自由邊y=0的待定邊界位移函數(shù),v(0)=v(0)(x,z),由邊界條件確定;f(y)為矩形板域內的y函數(shù),如此構造是為了不因位移函數(shù)的設定而產(chǎn)生應力分量τxy。f(y)的選取不是唯一的,在采用多項式形式時,函數(shù)f(y)的三角級數(shù)展開形式簡單且收斂快,其具體形式可設為:

(6)

其中,k可取3,4,5……。

將(5)式代入(2)式,可得:

(7)

其中

為了求解微分方程(7)式,采用分離變量法,將位移、應力分量等函數(shù)展開成如下三角級數(shù):

(8)

(9)

(10)

若f(y)取三次函數(shù)(即(6)式中令k=3),則

ξ0=8b[(2n-1)2π2-8]/[(2n-1)4π4],

ξ1=-4[(2n-1)2π2-8]/[(2n-1)3π3],

ξ2=16/[b(2n-1)2π2],

ξ3=-8/[b2(2n-1)π]。

將(5)式和(8)～(10)式代入(3)式后,得到:

(11)

將(8)～(10)式代入(7)式后,對每對(m,n),可得:

(12)

其中

Xmn(z)Ymn(z)Wmn(z)]T;

Dmn=

由(5)式、(6)式、(8)式、(9)式、(11)式可見,簡支邊x=0或a的邊界條件v=w=0和σx=0以及簡支邊y=b的邊界條件u=w=0和σy=0都已滿足;而自由邊y=0的邊界條件τxy=τyz=0也已滿足,但σy=0的條件尚未滿足。由(11)式可知,自由邊y=0的邊界條件σy=0對任意x均成立,則對每個m,必須有:

(13)

其中,k0=-C3ζ2f(0)-C4f″(0)。

(14)

為了使自由邊界條件嚴格滿足,即(13)式對任意z均成立,將(13)式對z求導可得:

(15)

將相同m的(14)式與(15)式聯(lián)立,并寫成如下矩陣形式:

(16)

其中

Φm(z)=

I為6階單位陣。

由(16)式可以得到如下齊次狀態(tài)方程:

(17)

Φm(z)=eΠm·zΦm(0)

(18)

在z=h處,有

Φm(h)=eΠm·hΦm(0)

(19)

將上、下板面的已知載荷展開成雙傅里葉級數(shù)后,Φm(0)和Φm(h)中各有3n個已知量。在邊界條件(13)式中,當z=0時,有

(20)

2 疊層板的狀態(tài)方程及其解

一疊層矩形板如圖2所示,共p層,每層均為正交各向異性材料,坐標軸沿彈性主方向,其中第j層的放大圖如圖2b所示。

圖2 疊層矩形板

對于第j層,在局部坐標系Ojxjyjzj中,參照(17)式可得狀態(tài)方程為:

(21)

其解為:

(22)

由此可得第j層上、下面力學量之間的關系為:

(23)

(24)

(25)

3 算例與分析

以下分別計算上表面受均布壓力q作用的單層厚板和3層疊層厚板中的位移和應力。板的幾何尺寸為a=b,h=0.4a;疊層板中h1=h3=0.1h,h2=0.8h。

單層厚板的材料參數(shù)與文獻[10]相同,即

C12/C11=0.246 269,C13/C11=0.083 171 5,

C22/C11=0.543 103,C23/C11=0.115 017,

C33/C11=0.530 172,C44/C11=0.266 810,

C55/C11=0.159 914,C66/C11=0.262 931。

疊層厚板第2層的材料與單層厚板相同,第1層和第3層的材料相同,第1層與第2層相應的材料常數(shù)的關系為:

單層厚板和疊層厚板的部分應力和位移的分布情況如圖3所示。圖3中實線為本文精確解，線上的點為FEM解。本文求解中函數(shù)f(y)取為三次函數(shù),級數(shù)項數(shù)m和n分別取49和50;有限元法(finite element method,FEM)的解通過有限元軟件ANSYS采用20節(jié)點三維實體單元Solid95取1/2對稱結構數(shù)值模擬得到,厚寬比h/a為0.1的單層板和疊層板沿x、y、z方向分別劃分為20×40×10=8 000和20×40×(2+8+2)=9 600個單元,厚寬比h/a為0.4的單層板和疊層板則分別劃分為16×32×16=8 192和16×32×(2+16+2)=10 240個單元。

從圖3a～圖3f可見,本文解與FEM解的計算結果都非常吻合,具有很好的精度,充分說明了本文解法理論的正確性和計算方法的有效性。由圖3a可見,無論是單層厚板,還是疊層厚板,上、下表面的撓度w是不同的,在自由邊處相差最大,兩者之差就是板的厚度改變量。由圖3b、圖3c可見,位移u和v在中面上是不等于0的,沿厚度方向不是線性分布的,且在不同材料層中的變化規(guī)律不同。由圖3d、圖3e可見,應力σx和σy沿厚度方向也不是按簡單的直線或其他冪函數(shù)形式分布的;且在疊層板中,它們在不同材料的交接處是不連續(xù)的,在不同材料層中的變化規(guī)律也不同。由圖3f可見,應力τxz沿厚度方向不是對稱分布的,靠近表面變化較大,中心部位變化較平緩,且疊層板的分布規(guī)律更為復雜。

圖3 單層厚板(S)與疊層厚板(L)的位移和應力分布FEM解與本文解對比

級數(shù)項數(shù)m和n不同取值情況下單層厚板內4個點(a/2,0,0)、(a/2,b/2,0)、(0,b/2,h/2)、 (a/2,b,h/2)處的位移和應力計算結果見表1所列,本文解1和本文解2為函數(shù)f(y)分別取三次和四次函數(shù)時的解。當m和n取較小值時,除了自由邊位置,其余位置的應力和位移已經(jīng)能取得較精確的結果,具有很好的收斂性。而當m和n取較大值時,結果變化已經(jīng)很小,即已基本收斂;且在自由邊處,也能得到很精確的位移結果。在m和n取值情況相同時,函數(shù)f(y)取三次和四次函數(shù)的結果差別不大,高次的函數(shù)并不一定比低次好,相反,部分結果是低次的更接近FEM解;并且隨著m和n的增大,它們變化規(guī)律類似,具有相同的收斂性。上述結果說明函數(shù)f(y)可以取不同的形式,并對結果影響不大,一般選擇級數(shù)展開形式簡單且收斂性好的低次多項式即可。

表1 取不同級數(shù)項數(shù)時單層厚板內特定點處的位移和應力

4 結 論

本文將自由邊的位移函數(shù)作為狀態(tài)變量放進狀態(tài)方程中一并求解,從而將非齊次狀態(tài)方程的求解變成了齊次狀態(tài)方程的求解,使得求解過程更加簡單。本文解嚴格滿足了三維彈性力學基本方程,能夠給出各力學量沿厚度方向的精確分布規(guī)律,體現(xiàn)了狀態(tài)空間法求解疊層厚板三維問題的優(yōu)越性。本文解在自由邊處也能嚴格滿足位移邊界條件,而不是通過分層處理方法近似滿足邊界條件,得到了更高精度的結果,克服了現(xiàn)有精確解的缺點。此外,對函數(shù)f(y)的形式作了分析和比較,不同次數(shù)的多項式形式對結果影響不大,一般選擇收斂性好且形式簡單的低次多項式形式。

本文將相同m的n個6階非齊次狀態(tài)方程構成一個6n+1階的齊次狀態(tài)方程進行求解,使狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的階數(shù)增大了很多。由于本文解中的級數(shù)收斂較快,僅需較少的項數(shù)就能得到比較精確的結果,求解到結果基本收斂時,計算還是很快的。

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simplysupportededgesandonefreeedge

HU Wenfeng, LIU Yihua

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Based on the three-dimensional basic equations of elasticity, the state space method is used to solve the rectangular thick single and laminated plates with three simply supported edges and one free edge under static loads. To satisfy the free boundary conditions, boundary displacement functions are supposed on the free edges. And as state variables, they are introduced into the state equations. Therefore, the state equations become homogeneous equations from nonhomogeneous ones, and the three-dimensional exact solutions are presented. Not only the three-dimensional basic equations of elasticity, but also all boundary conditions are satisfied strictly. The results of two examples show that the solutions obtained in this paper coincide with FEM ones well and have high precision and good constringency.

rectangular thick laminate; free edge; boundary displacement function; state variable; state equation; three-dimensional exact solution

2016-01-07；

2016-03-07

胡文鋒(1987-),男,安徽歙縣人,合肥工業(yè)大學博士生;

劉一華(1959-),男,湖南桃源人,博士,合肥工業(yè)大學教授,博士生導師,通訊作者,E-mail:liuyihua@hfut.edu.cn.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.018

O343.8

A

1003-5060(2017)09-1242-06

(責任編輯 張淑艷)