線性代數“實踐-理論-實踐”教學模式研究

（洛陽師范學院數學科學學院，河南 洛陽 471022）

《線性代數》是高校理工科專業的重要基礎課程，不僅是學習后繼課程的基礎，還是解決許多實際問題的工具。但由于線性代數概念性強、內容高度抽象以及邏輯推理繁多的特點，一直以來，沿用傳統的教材和教法，缺少人文主義精神和趣味性，也缺少理論與實際的聯系。學生對所學知識沒有興趣，不是主動學習的探索者，學生普遍只會套用解題、不能真正理解、不知用在何處。而到后繼課程或者實際中用到的時候，又不能靈活運用，學生的學習效果并不理想，更談不上創新能力和實踐能力的培養。

教育學研究表明，為了有效地學習，學生應對所學的內容感興趣，并且在學習活動中找到樂趣。否則，學習將是枯燥的、被動的、低效的。而通過實踐引入知識，再把知識用于實踐，能夠很好地激發學生的興趣和動力，從而改變理論知識枯燥無味、學生被動學習的局面，提高學生的學習效果以及實踐能力。因此，為了使學生能夠主動、有效地學習《線性代數》這門課程，并能夠熟練掌握并靈活運用，我們嘗試探索“實踐—理論—實踐”的教學模式：先舉實例歸納特點，然后抽象為嚴謹的代數概念并探索性質，最后介紹推廣領域及實踐應用實例。

一、線性代數“實踐-理論-實踐”教學模式

本課題的研究通過以下四個方面來進行。

（一）與幾何相結合，通過幾何直觀背景引入抽象的代數概念

代數和幾何，前者抽象嚴謹，后者形象直觀；在內容上，它們有著密切的聯系，代數為幾何提供解決方法，幾何為代數提供背景。幾何的很多問題用代數的知識來解決，而代數的很多概念用可以從幾何中抽象而來。在講解抽象的代數概念時，如果能用幾何解釋或者給出幾何模型，將對理解抽象的概念非常有幫助，然后再反過來把代數概念運用到解決幾何問題上，并通過數學軟件作圖進行直觀展示，這樣在很大程度上消除線性代數課程的抽象感，同時提高學生用代數知識解決幾何問題的能力。

行列式、線性方程組、向量的線性相關性、線性空間、線性變換以及二次型等很多概念都可以從幾何引入并應用于幾何。針對這些問題，我們制作了ppt 課件《線性代數概念的幾何引入及直觀展示》《二次型與二次曲線和二次曲面》、設計討論課《三個平面的相對位置》，我們及時將這些設計應用于課堂教學，取得了良好的效果。

（二）滲透建模思想，結合其他學科，合理運用教學軟件

《線性代數》的內容雖然比較抽象，但都是來源于實際問題、為解決實際問題而引入，其中涉及的多數概念和方法都有很強的實際背景。另外，隨著計算機技術、社會的信息化、定量化的不斷發展，使得過去一向被認為抽象的代數學，今天的應用范圍之廣出乎人們的意料。例如，計算機代數，代數方法在生物、物理、化學、語言學上的應用，代數編碼理論，代數圖論、矩陣方法在決策、網絡上的應用等，因此《高等代數》課程具備極其豐富的數學模型題材。線性代數的很多概念如多項式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等還可以找到相應的實際問題，作為概念的實例引入，反過來又可以用代數概念和方法來解決實際問題。這樣，不但能提高學生的學習興趣，使他們更好的理解代數概念，而且能體驗到探索、發現和創造的過程。在實際教學過程中，無論是在數學概念的講解中，還是在對問題的分析以及思維的拓展上，不斷的，反復的強調數學建模的思想，并適當的運用matlab 和mathematics 等數學軟件，將數學建模思想融合到每一個教學細節上，對我們學生掌握好數學知識，在實踐中熟練運用數學知識，培養創新思維能力，都具有很大的幫助。

針對這一思想，我們在課堂上講授矩陣概念的時候，通過城市之間的航班情況、石頭剪刀布的零和問題等來引入；講授行列式時，通過貨物交換的經濟模型和費用分攤問題來引入；講授特征值和特征向量的時候，通過昆蟲繁殖產卵的問題來引入；講授線性方程組時，結合我們熟悉的交通問題，設計了一節討論課《線性方程組和交通流量問題》；設計行星軌道計算問題，這個可以用線性方程組理論和最小二乘法來解決；在講授矩陣對角化時，設計動物數量的按年齡段預測問題，提示學生用該知識點解決。

（三）結合歷史背景和人物介紹以及前景介紹

線性代數不僅是中學數學的延拓，而且也是現代數學的基礎，其理論方法可被廣泛應用于處理和解決各種實際問題。但幾乎所有的線性代數教材都是系統、抽象的理論的介紹，很少提到其發展歷程，使得學生很難感到高等代數作為現代數學基石的地位、作用與影響。因此，我們在教學中，根據課程內容適當增加了一些代數發展相關背景知識以及歷史人物的介紹，專門制作了課件《線性代數發展簡介》，以備使用。比如：介紹集合相關理論時，穿插介紹集合論奠基人康托爾的生平事跡，集合論的發展歷程，使學生了解集合論是現代數學的基礎；數學歸納法是線性代數中非常重要而常用的一種理論證明方法，為了讓學生熟練掌握，我們為此專門設計一次討論課《數學歸納法》，介紹第一第二歸納法的背景、原理、證明和使用；學習行列式時，介紹行列式的最早提出者行列式的發展過程，與中國數學的關系；在講授代數基本定理時，可給學生介紹數學史上關于代數方程求根的探索，費馬大定理的故事等以及由此對代數學產生的深遠影響等。這樣可以在枯燥的數學推導中增添一些情趣調節課堂節奏、活躍課堂氣氛、提高學生學習興趣。

（四）注重教學延伸，引導學生深入思考

在一些理論的學習中，如果僅僅停留在教材表面，不做深入探索與思考，那么對知識的理解也不夠深刻，知識點之間的聯系也不清楚，解決綜合問題就會很困難。因此，我們應注重教學延伸，引導學生對問題深入思考，多挖掘各理論之間的聯系。比如在學習初等變換求矩陣的逆時，啟發學生探索一個矩陣做初等變換之后，相應矩陣的逆矩陣發生什么變化，為此我們設計討論課《初等變換對逆矩陣的影響》；后面學習特征值，矩陣對角化時，啟發學生探索相應的反問題，比如已知一個矩陣的特征值和特征向量，如何反過來求該矩陣，該矩陣是否唯一，這個問題的討論還要用到“初等變換對逆矩陣的影響”的相關結論。

二、實施效果總結

通過不斷的探索、嘗試以及課堂實施，這種“實踐—理論—實踐”的教學模式初步形成，我們的研究取得了很好的效果：

通過幾何直觀和數學模型引入概念，注重知識的來源與應用，很大程度上消除了線性代數課程的抽象感；引入發展背景和人物介紹、與其他學科的關聯及前景展望，提高了學生的興趣和積極性；注重知識的延伸和應用，通過實際案例，設計討論課，建立模型并用軟件解決，加深了學生對所學知識的理解，讓學生認識到這門課程的價值，并有助于掌握嚴格的代數思想與方法，培養學生解決實際問題的能力，鍛煉學生嚴密的邏輯推理能力。

關于線性代數的實踐教學改革，今后還有待進一步研究。包括建立比較完善的課件資料庫，形成一整套實踐教學方案，針對各種典型的知識點提供比較好的支持，從引入、理論學習到實踐都有系統的有效的課程設計，都需要持續地進行。