“授漁”與“學漁”

雷志齊

人教版五年級下冊“最大公因數”一課安排了這樣一道習題（如圖所示）。

學生用列舉方法解答后，我在講解時進行了這樣的處理———

學生匯報，教師板書：

（4，8）=4（12，36）=12（1，7）=1

（8，9）=1（12，35）=1

師：仔細觀察4和8、12和36，你們有沒有什么想說的？

生1：我發現8是4的2倍，36是12的3倍。

師：也就是說每組數中的兩個數是倍數關系，那現在你們有什么發現嗎？

生2：當兩個數之間是倍數關系時，它們的最大公因數是較小的那個數。

師：如果這兩個數是其他倍數關系時，也有這樣的規律嗎？可以怎樣驗證？

生3：可以舉幾個例子看看。

師：舉例子是一個好方法。

學生舉例驗證后，發現兩個數成倍數關系時，它們的最大公因數都是其中較小的數。

師：當我們想證明某個結論是否成立時，可以通過列舉多個相關的例子來驗證，這種方法叫列舉法，在數學中經常用到。仔細觀察1和7，它們的最大公因數是1。老師突然有個問題：1和9的最大公因數是幾？1和999的最大公因數是幾？1和1000呢？1和其他數呢？你能得出什么結論？

生4：我發現1和任何自然數的最大公因數都是1。

師：同學們再看看8和9，又有什么發現？

生5：它們是相鄰的數，最大公因數是1。

師（故作驚訝）：我不相信這位同學的發現，怎么辦？

生6：可以用列舉法進行驗證。

師：那就試試吧！

學生舉例驗證，師生共同得出：相鄰兩個數的最大公因數是1。

師：再看最后一組數12和35，你們有沒有什么想說的？

生7：兩個不同的合數，它們的最大公因數是1。

師：你們覺得他說的對嗎？請試著驗證他的說法。

生8：老師，我發現他的說法不對。12和10是兩個合數，但它們的最大公因數是2，不是1。

師：要證明一個結論成立，需要舉很多例子，而要說明一個結論不成立，只需要舉一個反例。若把這句話改成“兩個不同的質數，最大公因數是1”，這個結論正確嗎？

多數學生點頭，認為這個結論正確。還有學生馬上用列舉法驗證，發現結論正確。最后師生共同得出：兩個不同的質數，它們的最大公因數是1。

師：誰能對我們剛才的發現作個歸納小結？

生：……

師：當兩個數的最大公因數是1時，我們就說這兩個數是互質數，它們的關系叫互質關系。倍數關系、互質關系是兩種特殊情況，故我們把這種找最大公因數的方法稱為特殊法。用特殊法找最大公因數比列舉法要快。

……

反思：對這道習題，如果在學生做完后匯報各自的發現就結束的話，只是典型的授之以魚的模式。教師的做法卻是，先讓學生用一般方法求最大公因數，再引導學生發現規律，不斷質疑，多次舉例，不斷驗證，讓規律來得更“艱難”一些，讓教學之路更曲折一點。在這個過程中，教師注重學習方法的指導與滲透，讓學生充分體驗列舉法的作用，并且能夠運用它。這種既關注結果，又關注過程與方法的教學就是“授漁”。學生在學習過程中，通過自己的經歷與體驗，掌握了“觀察發現—舉例驗證—得出結論”的學習方法，這就是“學漁”。學生在自主“學漁”的過程中掌握規律，積累活動經驗。在課堂中，教師要“授漁”，學生要“學漁”。兩“漁”兼得，教學才有后勁。

（作者單位：耒陽市實驗小學）endprint