例談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張連吉

用構(gòu)造法解題時(shí)，其核心思想是“構(gòu)造”，它貴在“創(chuàng)新”，常表現(xiàn)出簡(jiǎn)潔、明快、精巧等特點(diǎn)。利用構(gòu)造法解題時(shí)，從構(gòu)造的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)、圖形、向量、數(shù)學(xué)模型等。下面的例子可以看出這些想法的實(shí)現(xiàn)是非常靈活的，沒(méi)有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問(wèn)題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造。下面按構(gòu)造內(nèi)容的不同將構(gòu)造方法分成如下幾類(lèi)分別予以舉例說(shuō)明。

一、構(gòu)造函數(shù)

在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)造一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)證明、解答、問(wèn)題是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程，具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過(guò)程中，應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標(biāo)。

二、構(gòu)造方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。根據(jù)問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問(wèn)題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。

說(shuō)明：從題中給出的條件，信息量太少，如果從形式上入手，發(fā)現(xiàn)它們共同的形式與平面向量在坐標(biāo)運(yùn)算下的數(shù)量積有關(guān)，故可嘗試構(gòu)造向量來(lái)解題。

五、構(gòu)造復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的延伸，一些難以解決的實(shí)數(shù)問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問(wèn)題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)變復(fù)雜，但常使問(wèn)題簡(jiǎn)明化，正所謂“退一步海闊天空”。

六、構(gòu)造幾何圖形（體）

一般來(lái)講，代數(shù)問(wèn)題較為抽象，若能通過(guò)構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法，往往可增強(qiáng)問(wèn)題的直觀性，使解答事半功倍或獨(dú)具匠心。

說(shuō)明：如果問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過(guò)構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問(wèn)題的答案。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形以及通過(guò)建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

構(gòu)造不是無(wú)中生有，而是根據(jù)問(wèn)題中的條件發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到不同數(shù)學(xué)知識(shí)間得聯(lián)系，通過(guò)構(gòu)造有些問(wèn)題可以達(dá)到化難為簡(jiǎn)、“柳暗花明”的目的。最后還應(yīng)指出，構(gòu)造法并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對(duì)于同一道題既能有幾種構(gòu)造法，也可以用其他方法來(lái)解。

（作者單位：云南省曲靖市第一中學(xué)）