順“序”而為助“學”飛躍

葉徐政

摘 要：世間萬物均按一定的“序”生發與生長。就教育教學而言，既有教育教學的“序”，亦有學生認知與學習的“序”，還有知識自身的“序”。某種意義上說，各種“序”構成教育教學規律。就小學數學教學而言，在遵循教育教學“序”的前提下，把握數學知識的“序”，尊重學生學習認知規律的“序”，方能引領學生自主學習，助推學生發展，力求實現學生知識學習與能力的飛躍。

關鍵詞：知識的“序”；認知的“序”；助學的“序”；課堂學習；學生學習

世間萬物均有其生發生長的“序”，在小學數學教學中，教育教學規律、學生學習與認知規律可視為教學的“序；知識的產生與發展以及數學知識特點則構成知識的“序”；具體的課堂形式與模型等則為學習的“序”。教學的“序”、知識的“序”以及學習的“序”的靈活實施，能有效推動課堂進程，助推學生學習，促進學生進步。

緣起

北師大版四上數學“編碼”教學片段。

師：哪組同學愿意與大家分享你們的研究成果？

生：我編的學號是4515，其中4表示四年級，5表示五班，15是學號。

師：今天4515代表的是我們班陳笑同學，那明年的今天她的學號還是4515嗎？

生齊：不能。

師：看來4515這個學號只能使用一年，那你們能想一個辦法，讓自己編的學號使用時間更長嗎？小組討論討論。

生1：在學號前面加數字2，表示第二年用這個學號24515；在學號前面加3，表示第三年使用這個學號。

生2：在學號前面加今年年份，20144515表示2014年四年級五班15號。明年就是20155515表示2015年五年級五班15號。

師：你們怎么看？

生3：我覺得剛才兩位同學的辦法很好。

生4：我也覺得很好，這樣可以知道那一年讀哪個年級。

……

課后與學生交流，意圖在于引導學生經歷學號的編制過程，最后得出用“入學年份+班級+學號”這樣能在校內使用六年的學號。然而現實是學生根本想不到“入學年份”編制到學號中去。直到一節課結束，教師提出按“入學年份+班級+學號+性別”的要求編制學號。學號編制過程中遭遇的尷尬不禁讓我們重新審視“編碼”這一學習內容。

追問

編碼是北師大版數學四年級上冊的內容，隸屬于綜合實踐活動領域。就內容而言，小學階段綜合實踐內容包括數學游戲、數學趣題、數學應用等，編碼屬于數學應用范疇。

我們知道，北師大版小學舊版教材“編碼”一課安排在六年級上冊，以“學號”作為主體研究素材，11版教材則安排在四年級上冊，以“身份證”作為主體素材展開研究，可見“身份證”與“學號”是小學生研究與理解數字編碼意義的有效載體。老師們在進行“數字編碼”的實際教學過程中，往往會有這樣兩種觀點與意見，即編碼一課素材的選擇是用學號還是身份證？或者說學習路徑是從學號到身份證，還是身份證到學號？我們到底用哪個素材作為研究對象？相信不同的老師有不同的認識與演繹。但是任何知識的學習都是有一定的結構、邏輯與認知的序，即數學知識的“序”、學生認知的“序”與課堂助學的“序”。

一、厘清教材知識的“序”，助推“課堂學習”之保障

教材總是是按照一定的“序”來編排的，11版教材將編碼安排在四年級上冊，以“身份證”為主要素材。同樣編碼本身也蘊含著知識的“序”。

序一：認識數的狀態，表示數量的數字到數字編碼的擴充。

在數字化的現代社會，數是人們表達、交流與傳遞信息的重要手段，數的應用一般有兩種情況，：一是表示數量，具有大小并可以運算；二是表示編碼，沒有大小和運算的功能。學生在一到三年級的數學學習，賦予數字兩種不同的意義，表示數量或順序，即基數與序數。編碼則是將數字按一定的規則編排在一起，就賦予數字第三種意義，即數字可以表達、交流與傳遞信息。從表示數量到傳達信息編碼這是數字意義的擴展與補充。

序二：接受一種數學規定，某種意義上說，編碼屬于規定性知識。

數學知識根據性質分類有“概念性”知識，“規定性”知識，以及“規律性”知識。編碼是根據需要，按一定的規則編排，屬于一種規定性的知識，帶有較強的主觀性。其中規定合理性通常體現在以下幾方面：

適切性：一個合理的規定，應能比較客觀反映事物的特征，這是編碼的適切。如身份證通過地址碼、出生日期碼、順序碼、校驗碼這18位數字表示某省某市某縣某年某月某日出生的某某人。

準確性：數學是邏輯性非常嚴密的學科，各種規定之間不應互相矛盾，其表達應準確沒有歧義，一個身份證代表一個人，準確唯一。

簡潔性：數學上要求用盡可能少得語言來揭示事物或知識的本質。編碼用數字表達了許多信息，簡潔方便。

統一性：數學是追求統一的科學，數學上的一些規定會盡量體現這一原則。如身份證號位數統一，編制規則統一就體現了編碼的這一特性。

二、摸清學生認知的“序”，助推“學生學習”之根本

序一：數的認識，小學數學編排有一條暗線，即數的擴充。一到三年級學生研究數量運算均屬與自然數的范疇，并且建構了基本的數學運算與解決問題模型，五六年級則在這些基本模型中，將數擴充到小數與分數，編碼的編排同樣遵循這一準則，即在自然數學習告一段落時候，認識數字表示數量意義后安排數字另一種意義，即可以傳遞信息，這本身就是認識的豐富與擴充。四年學生具備學習這方面知識的能力。

序二：現實生活中編碼規則非常豐富，如果以“學號”編制為素材展開教學，我們發現：學生或無從入手，或選取非本質內容進行編碼，另外，還有高低段分班等現實問題干擾，很難從大量繁雜、非本質的信息中選取本質、有效信息進行編碼。

重構

編碼知識的序與學生認知的序似乎告訴我們，以身份證作為主體探究素材，做編碼“舉一”的文章。此時我們不禁要想，既然是規定性知識，是教師直接告訴還是學生自主探索，答案肯定是后者，其實規定性的知識也屬于“被發現”的范疇，不只是簡單的“告訴”了事，依然需要引導學生體驗規定的合理性。即學生在已知事實的基礎上嘗試做出規定，然后在生生互動、師生互動中不斷完善規定，使其不斷合理化。在具體教學的過程，需要的是優化課堂教學的“序”。

三、優化課堂教學的“序”，助推“學生學習”之飛躍

序一：“大膽猜測——事實驗證——得出結論”編碼知識學習的序。

明確“編碼”一課以“身份證”為主體研究素材后，就“身份證”編碼規則研究中具體分四環節展開，即獨立觀察比較——猜測編碼信息——自學驗證知識——解密身份證編碼信息。改進后教學設計如下：

任務一：觀察比較，提出猜測

觀察比較組內同學收集到的身份證號，猜一猜身份證號碼中隱藏著那些信息？有什么困惑？并與組內同學交流。

生1：我猜測身份證號碼中有個人的出生日期，因為我是某年某月某日出生的，身份證中的第7至13位就是我的出生日期。

生2：我猜測身份證中有我們景寧縣的代碼，我們小組身份證前6位數字都相同。

生3：我們不知道身份證最后4位數字表示什么意思？

生4：我的身份證最后一位是x，它表示什么意思？

設計意圖：學生課前收集自己或家人身份證號，通過觀察比較收集到的身份證號，對比中發現身份證中的相同與不同，提出各自的猜想與預測，猜測身份證中隱含的信息，并與同學交流發現與困惑，初步感知身份證中的編碼信息，激發學習欲望。

任務二：自學資料，驗證猜測。

自學課本相關身份證知識，驗證各自猜想并解惑。具體有獨立自學資料內容，組內交流所學知識，班級交流所得。

生1：身份證前六位數真的是地址碼，分別是省、市、縣的代碼。如：我們身份證中33是浙江省代碼，25是麗水市代碼，25是慶元縣代碼。

生2：身份證第7到14位是我們的出生元月日。如20040925說明是2004年9月25日出生。

生3：我們還知道身份證第15到17位是順序碼，其中第17為單數表示男性，雙數表示女性。

生4：身份證最后一位是校驗碼，它是根據前17位數按一定公式計算出來的。

……

得出結論：身份證編碼規則“6位地址碼+8位出生日期碼+3位順序碼（可區分性別）+1位校驗碼”。

師：身份證編碼有何特點？

生1：規則統一，都是18位數字組成。

生2：簡單的表示許多信息，一個人就一個號碼，不重復。

……

設計意圖：身份證編碼作為一種規定性知識，學生完全能夠自學完成。每一位學生通過自學，來驗證之前的猜測是否正確，并解決部分困惑。組內同學學習成果的再次交流，緣于學生認知水平、自學能力等各有差異，需要取長補短，互學互助。初步了解有關身份證編碼的規則、結構與方法。體會數字的意義。

序二：“確定規則----實施規則-----優化規則”編碼應用的“序”。

如果說利用身份證學習，做“舉一”文章是編碼課堂助學的第一個“序”，那么第二個序就是在應用所得，編制序號，感悟提升中做好“反三”文章。試圖讓學生經歷編碼過程，切身體會數字在表達交流信息中的作用，進一步了解編碼的規則與方法，感悟編碼的意義。具體的：

一是明確規則，學號編制規則的討論。

思考并討論：“學校教務處為每一位編制學號需要體現哪些信息？”的討論，體會學號數字排列要有一定規則，規則盡可能反映有用與需要的信息，如：年級、班級、學號。規則要盡可能反映固定穩定信息。經歷信息的取舍過程。

二是實施規則，根據規則獨立嘗試自編學號并解釋。

首先用上“年級+班級+學號+性別”給自己編一個學號；再次討論如何提高學號使用期限，用“入學年份+班級+學號+性別”再編學號；最后擴大學號使用范圍，“學校代碼+入學年份+班級+學號+性別”再編學號，甚至是縣、市、省級代碼。感受編碼規則與編碼使用時間、范圍有關，進一步體會數字的意義。

設計意圖：身份證學習為學號編制提供范例，編學號既是對所學知識的應用與鞏固，更重要的是身份證編碼學學生感受的是隨數字增加所代表人的范圍逐漸縮小，學號的編制學生感受的則是隨著使用范圍的不斷擴大編碼的數字信息在逐漸增多，讓孩子更全面地體會編碼的規則與數字意義。

如果說身份證的學習是從具體實例出發，猜測探索編碼的規則，感受數的意義，這是追本溯源的歸納推理。那么學號的編制則是換個角度思考，先研究確定編碼的規則，再根據規則編制學號，經歷編碼的形成過程，這則是由源而發的演繹推理。從身份證到學號的教學路徑則是學生認知“序”的要求。

實際教學過程中，需要盡可能優化教學的序，即在把數學知識結構中的序和學生心理發展過程中的序統一到教學活動中的序上來，并采取有力的措施幫助學生解決認知過程中可能出現的種種障礙，以此促進學生心理結構與教材知識結構的主動適應，從而推動學生認知結構沿著教材知識結構的邏輯順序向前發展，幫助學生實現認知上的飛躍。

參考文獻：

1.全日制義務教育數學課程標準.[S].北京師范大學出版社.2011.

2.孔企平.小學兒童如何學數學.[Z].華東師范大學出版社.2001.

3.小學數學教師[J].2014年第9期和第11期.

（作者單位：浙江省慶元縣隆宮鄉中心小學）