Banach格上的b-Dunford-Pettis算子

李嬌嬌, 陳金喜, 陳滋利

(西南交通大學數學學院,四川 成都 611756)

Banach格上的b-Dunford-Pettis算子

李嬌嬌, 陳金喜, 陳滋利

(西南交通大學數學學院,四川 成都 611756)

為了進一步研究 Banach格上算子的性質,受b-序有界集和Dunford-Pettis集定義的啟發,給出了b-Dunford-Pettis算子的定義,研究了該算子與b-AM-緊算子（Dunford-Pettis全連續算子,弱極限算子,序Dunford-Pettis算子）間的關系;利用b-Dunford-Pettis算子與Dunford-Pettis算子的共軛關系,證明了b-Dunford-Pettis算子滿足控制性.

b-Dunford-Pettis算子;b-AM-緊算子;弱極限算子;相對緊Dunford-Pettis性質

1 引言和預備知識

近年來,關于 Banach格及其上的算子理論的研究中,主要討論算子所在的空間性質和算子本身的性質.2003年，Alpay等[1]提出了 b-序有界集和空間具有 b-性質的概念,引入了Banach格上一類b-弱緊算子并討論了其相關性質；2010年程娜[2]引入并討論了一類 b-AM-緊算子；2016年，El Kaddouri等[3]根據 b-序有界集和極限集的定義引入 b-極限算子的概念并對其相關性質進行了研究.本文介紹一類定義在 Banach格上的新算子b-Dunford-Pettis算子,并研究該算子與b-AM-緊算子（Dunford-Pettis全連續算子,弱極限算子,序Dunford-Pettis算子）間的關系以及它的控制性.

本文中算子T:E→F代表全體有界線性算子.

在介紹主要結果之前,先介紹一些基本概念和已知結果.

定義 1.1[1]Banach格E中的一個子集A如果在E的拓撲二次共軛E′′中是序有界的,則稱該集合為E中的b-序有界集.

定義 1.2[1]如果Banach格E中的b-序有界集均為序有界集,則稱該空間具有b-性質.

序有界集一定是b-序有界的,反之不一定成立.例如:集合A={en:n∈N}在Banach格c0上是b-序有界的但不是序有界的[1].

定義1.3[2]設E和F為Banach格,如果算子T:E→F將E中b-序有界集映為F中的相對緊集,則稱T為b-AM-緊算子.

引理 1.1[2]設E,F是Banach格,下列命題是等價的:

(1)算子S,T:E→F滿足0≤S≤T.如果T是b-AM-緊的,則S是b-AM-緊的;

(2)下列條件至少有一個是成立的:

(a)E′是離散的;

(b)F有序連續范數.

定義 1.4[4]Banach格E中的范數有界子集A是Dunford-Pettis集,如果E′上的每一個弱零列(fn)在A上是一致收斂的,即

定義 1.5[5]如果Banach格E中的每一個Dunford-Pettis集是相對緊的,則稱E有相對緊Dunford-Pettis性質.

例如,Schur空間和離散的KB空間有相對緊Dunford-Pettis性質[3].

定義 1.6[6]設E和F為Banach格,如果算子T:E→F將E中序有界集映為F中的Dunford-Pettis集，則稱T為序Dunford-Pettis算子.

定義1.7[7]設E和F為Banach格,如果算子T:E→F將E中閉單位映為F中的Dunford-Pettis集,則稱T為弱極限算子.等價地,T是弱極限算子如果對每一個弱零列

成立.

定義1.8[8]設E和F為Banach格,如果算子T:E→F將E中Dunford-Pettis集映為F中的相對緊集，則稱T為Dunford-Pettis全連續算子.

其它未解釋的有關Banach格和算子理論的一些概念、術語及符號詳見文獻[9,10].

2 b-Dunford-Pettis算子及與相關算子間的關系

定義2.1設E和F為Banach格,如果算子T:E→F將E中b-序有界集映為F中的Dunford-Pettis集,則稱T為b-Dunford-Pettis算子.

下面給出關于b-Dunford-Pettis算子的一些主要結果.

定理2.1設E和F為Banach格,T:E→F是一個算子.則下列命題是等價的:

(1)T:E→F是b-Dunford-Pettis算子;

(2)對任意從F到Banach空間Z的Dunford-Pettis全連續算子S,S?T是b-AM-緊算子;

(3)對任意Dunford-Pettis全連續算子S:F→c0,S?T是b-AM-緊算子;

(4)對E中任意b-序有界列(xn)和F′中任意弱零列(fn),有fn(T(xn))→0成立.

證明(1)推出(2).令S:F→Z是一個Dunford-Pettis全連續算子,A是E中b-序有界集.因為T:E→F是b-Dunford-Pettis算子,則T(A)是F中的Dunford-Pettis集,從而S(T(A))是相對緊集.即證明了S?T是b-AM-緊算子.

(2)推出(3).顯然.

(3)推出(4).令A是E中b-序有界集,序列(xn)?A且(fn)是F′中任意弱零列.定義算子

對任意x∈F.由文獻[9]中定理5.26知,S是弱緊算子,再由文獻[8]中推論1.1得到S是Dunford-Pettis全連續算子.

根據假設,S(T(A))是c0中的相對緊子集,由文獻[9]3.2中練習14知,

成立.

(4)推出 (1).令 A是 E中 b-序有界集.要證明 T(A)是 Dunford-Pettis集,根據Dunford-Pettis集的定義,只需證明F′中任意弱零列(fn),有

成立.假設不成立,則存在ε＞0和弱零列(fn)使得

對所有n都成立.從而存在序列(xn)?A使得

對所有n都成立,矛盾.因此,T(A)是Dunford-Pettis集,即T:E→F是b-Dunford-Pettis算子.

由定理2.1可以得到如下結論:

推論2.1設E是Banach格,下列命題是等價的:

(1)恒等算子IdE:E→E是b-Dunford-Pettis算子;

(2)對任意從E到Banach空間Z的Dunford-Pettis全連續算子S,S?T是b-AM-緊算子;

(3)對任意Dunford-Pettis全連續算子S:E→c0,S?T是b-AM-緊算子;

(4)對E中任意b-序有界列(xn)和F′中任意弱零列(fn),有fn(xn)→0成立.

如果一個算子T:E→F將E中b-序有界映為F中b-序有界,則稱T是b-序有界算子.

記L(E,F)為從E到F的所有有界線性算子所構成的空間,Lb?DP(E,F)為所有從E到F的b-Dunford-Pettis算子構成的空間.那么可得到b-Dunford-Pettis算子構成空間的性質.

命題2.1設E,F,G是Banach格,則

(1)Lb?DP(E,F)是L(E,F)的一個范閉子空間;

(2)如果 T:E→ F是 b-Dunford-Pettis算子,則對任意算子 S:F→ G,S?T是b-Dunford-Pettis算子;

(3)如果T:E→F是b-序有界算子,則對任意b-Dunford-Pettis算子S:F→G,S?T是b-Dunford-Pettis算子.

證明(1)顯然 Lb?DP(E,F)是 L(E,F)的向量子空間.只需證明 Lb?DP(E,F)是范數拓撲下的閉子空間.設S在Lb?DP(E,F)的范數閉包中,A為E中任一b-序有界集.對任意ε＞0,選擇 T∈Lb?DP(E,F)使得

成立.因為 T是 b-Dunford-Pettis算子,所以 T(A)是 Dunford-Pettis集,由文獻 [6]中引理 3.1知,S(A)也是 Dunford-Pettis集.即證明了 S是 b-Dunford-Pettis算子,由此說明Lb?DP(E,F)是L(E,F)的一個范閉子空間.

(2)設 T:E→F是b-Dunford-Pettis算子,A是 E中任一 b-序有界集,則 T(A)是Dunford-Pettis集,從而S(T(A))是Dunford-Pettis集.即 S?T是 b-Dunford-Pettis算子.

(3)設 T:E→ F是 b-序有界算子,A是 E中任一 b-序有界集,則 T(A)是 b-序有界集.因為 S是 b-Dunford-Pettis算子,故 S(T(A))是 Dunford-Pettis集.即 S?T是b-Dunford-Pettis算子.

下面結論給出空間或算子在滿足什么條件時,該算子是b-Dunford-Pettis算子.

定理 2.2設T:E→F是從Banach格E到Banach格F的一個算子.如果下列任一條件成立,則T是b-Dunford-Pettis算子:

(1)E是離散的KB空間;

(2)T是b-序有界算子,F是離散的KB空間.

證明(1)設A是E中任一b-序有界集.因為E是離散的KB空間,由文獻[11]中推論2.4知,A是范數相對緊的,則T(A)是相對緊的.從而T(A)是Dunford-Pettis集,即T是b-Dunford-Pettis算子.

(2)首先證明當F是離散的KB空間時,恒等算子IdF:F→F是b-Dunford-Pettis算子.設A是F中任一b-序有界集.因為F是KB空間,根據文獻[1]中命題2.1,F有b-性質,從而A是序有界的.故A是幾乎序有界的,即存在u∈F+使得A?[?u,u]+εBF.因為F離散且有序連續范數,由文獻[12]定理 6.1得到[?u,u]是范數緊集.由文獻[9]中定理 3.1知A是范數相對緊集,故A是Dunford-Pettis集,即IdF:F→F是b-Dunford-Pettis算子.由命題2.1,

是b-Dunford-Pettis算子.

注意到 b-Dunford-Pettis算子一定是序 Dunford-Pettis算子,弱極限算子一定是 b-Dunford-Pettis算子;反過來不一定成立.如果 Banach格 E是一個有序單位元的 AM 空間,那么E上的每一個范數有界集是序有界的,此時,每一個序Dunford-Pettis算子一定是弱極限的.

下面命題給出了b-Dunford-Pettis算子,序Dunford-Pettis算子,弱極限算子三者等價的充分條件.

命題 2.2設E是一個有序單位的AM 空間,F是Banach格,則下列命題等價:

(1)T:E→F是弱極限算子;

(2)T:E→F是b-Dunford-Pettis算子;

(3)T:E→F是序Dunford-Pettis算子.

下面定理給出了當任意b-Dunford-Pettis算子是弱極限算子時的必要條件.

定理 2.3設E和F是Banach格.如果每一個正的b-Dunford-Pettis算子T:E→F是弱極限的,則下列條件至少有一個是成立的:

(1)F′有正的 Shur性質;

(2)E′的范數是序連續的.

證明(用反證法)假設F′沒有正的Shur性質且E′的范數不是序連續的.需要構造一個正的b-Dunford-Pettis算子但不是弱極限的.事實上,如果E′的范數不是序連續的,由文獻[10]中定理2.4.14和命題2.3.11可知,E中存在與?1同構的閉子格,且存在正投影P:E→?1;另一方面,因為F′沒有正的Shur性質,則存在正的弱零列(fn)?F′使得||fn||=1對所有n成立.進而存在序列滿足||yn||≤1且存在ε＞0使得

對所有n成立.

現在,考慮正算子

其中算子S定義為:

因為?1是離散的KB空間,由定理2.2知,S是b-Dunford-Pettis算子.另一方面,P是正算子,從而是b-序有界算子.根據命題2.1可得到T是b-Dunford-Pettis算子.

但不是弱極限的.事實上,因為映射P:E→?1是滿的,則存在δ＞0使得δ·B?1?P(BE).因此,

對所有n成立.但由于(fn)是F′中的弱零列,有

矛盾.即T不是弱極限算子.

很顯然每一個b-AM-緊算子是b-Dunford-Pettis算子,但反之不一定成立.事實上,算子T:c0→?∞是極限算子[9](從而是弱極限算子),故為b-Dunford-Pettis算子.但不是b-AM-緊的(因為c0不是KB空間)[11].然而,下面結論給出了b-Dunford-Pettis算子是b-AM-緊算子時空間所滿足的條件.

命題2.3設E,F是兩個Banach格,F有相對緊Dunford-Pettis性質.則下列條件是等價的:

(1)T:E→F是b-AM-緊算子;

(2)T:E→F是b-Dunford-Pettis算子.

證明(1)推出(2).顯然.

(2)推出(1).如果T:E→F是b-Dunford-Pettis算子.因為F有相對緊Dunford-Pettis性質,則恒等算子IdF:F→F是Dunford-Pettis全連續算子.由定理2.1可知,

是b-AM-緊算子.

3 b-Dunford-Pettis算子的控制性

b-Dunford-Pettis算子是否滿足控制性?即如果S,T:E→F是兩個正算子滿足0≤S≤T且T是b-Dunford-Pettis算子,那么S是不是b-Dunford-Pettis算子?答案是肯定的.

由文獻 [9]中定理 4.21 知,對任意 0 ≤ x′′∈ E′′,在范數 ||·||∞下由 x′′生成的主理想 Ix′′定義為:

則 Ix′′是一個有序單位的 AM 空間,且其閉單位球是序區間 [?x′′,x′′].

命題 3.1設E和F是Banach格,T:E→F是一個算子.則下列條件是等價的:

(1)T是b-Dunford-Pettis算子;

(2)對任意 0≤x′′∈E′′,T|Y:Y →F 是弱極限算子,其中

T|Y是將T限制在Y上.

證明(1)推出 (2). 任取 0≤x′′∈E′′,令 Y=Ix′′∩E.因為 Y 的閉單位球

BY是E中b-序有界集.T是b-Dunford-Pettis算子,

是Dunford-Pettis集,即T|Y:Y→F是弱極限算子.

(2)推出(1).設A是E中任一b-序有界集,要證明T(A)是F中的Dunford-Pettis集.選取 0 ≤ x′′∈ E′′使得 A ? [?x′′,x′′]且 Y 和 Ix′′同上述定義,T|Y:Y → F 是弱極限算子.因為 A?BY,則有T|Y(A)是Dunford-Pettis集，即T(A)是 Dunford-Pettis集.如此就證明了T是b-Dunford-Pettis算子.

注 3.1設T:E→F是一個算子,(fn)是F′中的弱零列,由等式

知,T是弱極限算子當且僅當T′是Dunford-Pettis算子.

結合命題3.1和注3.1可以得出下面的引理；

引理 3.1設E,F是Banach格,T:E→F是一個算子.T是b-Dunford-Pettis算子當且僅當對任意 0 ≤ x′′∈ E′′,算子

的共軛算子是Dunford-Pettis算子.

下面結果證明了b-Dunford-Pettis算子滿足控制性質.

定理 3.1設E,F是Banach格,S,T:E→F是兩個算子滿足0≤S≤T.如果T是b-Dunford-Pettis算子,則S也是b-Dunford-Pettis算子.

證明設S,T:E→F是兩個算子滿足0≤S≤T且T是b-Dunford-Pettis算子.對任意 0 ≤ x′′∈ E′′,

因為T是b-Dunford-Pettis算子,由引理3.1知,

是Dunford-Pettis算子.又因Y′有序連續范數,根據文獻[13]定理4.4,

是Dunford-Pettis算子.再由引理3.1可知,S是b-Dunford-Pettis算子.

下面給出當每一個b-Dunford-Pettis算子是b-AM-緊算子時的必要條件.

定理3.2設E,F是Banach格.如果每一個正的b-Dunford-Pettis算子是b-AM-緊的,則下列條件至少有一個成立:

(a)E′是離散的;

(b)F有序連續范數.

證明設算子S,T:E→F滿足0≤S≤T且T是b-AM-緊的,那么T是b-Dunford-Pettis算子.由定理 3.1知,S是b-Dunford-Pettis算子,由假設知S是 b-AM-緊算子,最后,由引理1.1得出結論.

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B-Dunford-Pettis operators on Banach lattices

Li Jiaojiao,Chen Jinxi,Chen Zili
(College of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 611756,China)

For the further study of the property of operators on Banach lattices,we give the de fi niton of b-Dunford-Pettis operator in light of the de fi nition of b-order bounded set and Dunford-Pettis set,and study the relationship between b-Dunford-Pettis operator and b-AM-compact operator(Dunford-Pettis completely continuous operator,weakly limited operator,order Dunford-Pettis operator)in this paper;By means of the conjugate relation between b-Dunford-Pettis operator and Dunford-Pettis operator,it was proved that b-Dunford-Pettis operator has the dominated property.

b-Dunford-Pettis operator,b-AM-compact operator,weakly limited operator,relatively compact Dunford-Pettis property

O177

A

1008-5513(2017)05-0513-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.009

2017-08-30.

國家自然科學基金(11301285).

李嬌嬌(1993-),碩士生,研究方向：泛函分析.

2010 MSC:46B42