Z2Z4-加性負循環碼的對偶

胡萬寶, 吳晶伶, 李萌

(安慶師范大學數學與計算科學學院,安徽 安慶 246133)

Z2Z4-加性負循環碼的對偶

胡萬寶, 吳晶伶, 李萌

(安慶師范大學數學與計算科學學院,安徽 安慶 246133)

在Z2Z4-加性碼的基礎上研究其循環碼,進一步地引入其負循環碼.通過建立Z2Z4下的正交關系,得出其對偶仍是一個Z2Z4負循環碼;通過在Z2Z4碼與Z4[x]-子模之間建立同構映射來刻畫其負循環碼的結構以及碼的參數類型,并用構造性的方法推出了其對偶的最小生成集.這些結果,便于碼元等參數的計算及其應用.

Z2Z4-加性碼;Z2Z4-加性負循環碼;對偶

1 引言

設Z2={0,1},Z4={0,1,2,3}分別為模2、模4剩余類環,則分別為環Z2和環Z4上的n維向量空間.Z4碼即為的非空子集.二元線性碼已為大家熟知,后A.R.Hammons,N.J.A.Sloane等人在文獻[1]中研究了環Z4上的碼,發現該碼有很多優良的性質,特別是其Gray映射下的像為二元碼.最近,T.Abualrub,I.Siap等人在二元、四元碼的基礎上在文獻[2]中拓展了Z2Z4-加性循環碼,得出了其在Gray映射下的像為四元碼的結論.在文獻[3-7]中,眾多學者對Z2Z4碼及其相關知識進行了研究及拓展.

本篇文章中,引入Z2Z4-加性負循環碼的概念,也得到了與Z2Z4-加性循環碼類似的好的參數.在第二節中,介紹Z2Z4-加性循環碼的概念,其次引入Z2Z4-加性負循環碼的概念,并類似于文獻[2]定理12的步驟得出Z2Z4-加性負循環碼的生成集.在第三節中,討論了Z2Z4下的正交關系,結合剩余類環的相關知識,研究Z2Z4-加性負循環碼的對偶,最后構造性的推出了Z2Z4-加性負循環碼的對偶的多項式描述.

注1.1本文中所提及的β均為奇數.

2 Z2Z4-加性負循環碼

定義2.1的一個非空集合C叫做Z2Z4-加性碼,若C是的子群,即C同構于,其中γ,δ∈Z+.

因為任意Z2Z4-加性碼C在加法下必封閉,所以在Z4下它也必定對于乘法封閉,即對于任意元素

其中,對任意 i=0,1,···,r?1,nai執行 mod 2運算,對任意 j=0,1,···,s?1執行 mod 4運算.

因而類似于文獻[2]定義3,我們得到加性負循環碼的定義如下.

定義2.2的子集C叫做Z2Z4-加性負循環碼,若

(1)C是一個加性碼,

(2)對任意碼字

它的循環移位

因為 C和Z4[x]/xβ+1是

的Z4[x]-子模,定義以下映射

其中,

其中 a(x)|g(x)|(xβ+1)(mod 4).注意到

定義集合I為:

顯然,I是一個理想,同時也是環Z2[x]/〈xα?1〉上的一個循環碼.因此,由二元循環碼的相關知識知 I=〈f(X)〉.對任意元素 (j(x),0)∈ ker(Ψ),有

因此

所以

這就說明了ker(Ψ)是由一個形為(f(x),0)的元素生成的C的子模,其中

由第一同構定理知

令 (l(x),g(x)+2a(x))∈C,使得

以上討論內容就證明了任意Z2Z4-負循環碼可由兩個形為(f(x),0),(l(x),g(x)+2a(x))的元素生成,且它為Rα,β的 Z4-子模,即碼C 中任意元素為

其中,d1(x),d2(x)為環Z4[x]上的多項式.事實上,d1(x)可被限制為環Z2[x]上的元素.記

其中,f(x),l(x)為二元多項式,且a(x)|g(x)|(xβ+1)(mod 4).

定理2.1 令

是Rα,β中一個負循環碼.其中

l(x)是一個二元多項式且滿足

從而,C中共有2deg(hf)4deg(hg)2deg(b)個碼字.

詳細證明可類似于文獻[2]定理13所得,這里就不再贅述.

3 Z2Z4-加性負循環碼的對偶及其結構

定義3.1對任意碼字

定義它們的內積為

定義3.2若C是一個Z2Z4-加性負循環碼,則C的對偶為:

定理3.1若C是一個Z2Z4-加性負循環碼,則C⊥仍然是一Z2Z4-加性負循環碼.

證明令C是一個Z2Z4-加性負循環碼.假設

即要證T(v)∈C⊥.因為v∈C⊥,則對任意

要證T(v)∈C⊥,即證 u·T(v)=0.令

因為C是一個Z2Z4-負循環碼,w∈C,所以

接下來討論Z2Z4-加性負循環碼的對偶的結構.在陳述和證明以下這些定理之前,首先強調中元素的正交關系.令

為環 Z2[x]/〈xn?1〉中的任一元素.注意,對任意 i=0,1,···,n?1,ai可能為零.從現在起,記

即若 an?1/=0,則 f?(x)為 f(x)的互反多項式.由定義可知,f??(x)=f(x).令

這個碼字的循環移位

顯然,集合 {u,T(u),T2(u),···,Tm?1(u)}包含了 u的所有循環移位,其中 m=lcm(α,2β).如上定義,回顧

例3.1令

則

現在,令

構造多項式

其中,m=lcm(α,2β).一般情況下,令

則

這就證明了以下定理.

定理3.2令

則u與v及其所有循環移位正交當且僅當G(x)等于

定理 3.3若 C是(α,β;k,k,k)型ZZ-加性碼,則C 的標準矩陣為:

其中A,A1,B1,B2,D,S,T均為Z2上的矩陣.

定理3.4若 C是(α,β;k0,k1,k2)型Z2Z4-加性碼,則對偶碼C⊥的生成矩陣為:

其中A,A1,B1,B2,D,S,T均為Z2上的矩陣.由C⊥的生成矩陣H,我們注意到C⊥是一個 (α,β;α?k0,β ?k1?k2,k2)型加性碼.

引理3.1令

是Rα,β中一個負循環碼.

令

則d|d1,d2|b.

證明因為,所以因為

則顯然

令

注意到

因為 f=d1d2,則 d1d2β1=d1v1b,即 d2β1=v1b.因為

因此 d2s1+v1s2=1,兩邊同乘b,則

令

既得

因此 xβ+1=d2aθ.因此,θ是 xβ+1的一個因子.又有 d=α1l+α2f,

令

則

因此,σ是(xβ+1)的一個因子.

引理3.2令 C=〈(f,0),(l,g+2a)〉是 Rα,β中一個負循環碼.其中

令

則碼C正交于碼

證明令C=〈(f,0),(l,g+2a)〉是一個Z2Z4-加性負循環碼.其中

令

則

注意到

又

因此,

即證,碼C正交于碼D.

引理3.3令

是Rα,β中一個負循環碼.令

其中

則

注意到

證明(1)顯然的一個因子.因為

或

和σ是 (xβ+1)的因子.注意到

且

因此,

(2)等式

因此,

因此,

由此定理及定理2.1得以下定理.

引理3.4令

是Rα,β中一個負循環碼.令

則 D 共有 2degd4(β?degθ)2(degθ?degσ) 個碼字.

引理3.5令

是Rα,β中一個負循環碼.令

則|C||D|=2n.

證明我們知道

注意到

因此,

又

因此,|C||D|=2p.其中

因此,

本文得到的主要定理如下:

定理3.5令

是一個Z2Z4-加性負循環碼.則

[1]Hammons A R,Kumar P V,Calderbank A R,et al.The Z4-linearity of Kerdok,Preparata,Goethals and related codes[J].IEEE Trans.Inf.Theory,1994,40(2):301-319.

[2]Abualrub T,Siap I,Aydin N.Z2Z4-cdditive cyclic codes[J].IEEE Trans.Inf.Theory,2014,60(3):1508-1514.

[3]Aydogua I,Abualrub T,Siap I.Z2Z2[u]-cyclic and constacyclic codes[J].IEEE Trans.Inf.Theory,2017,63(8):4883-4893.

[4]Pless V,Qian Z.Cyclic codes and quadratic codes over Z4[J].IEEE Trans.Inf.Theory,1996,42(5):1594-1600.

[5]Wolfmann J.Negacyclic and cyclic codes over Z4[J].IEEE Trans.Inf.Theory,1999,45(7):2527-2532.

[6]Borges J,Fernandez Cordoba C,Pujol J,et al.Z2Z4-linear codes:generator matrces and duality[J].Des.Codes Cryptogrrph,2009,54(2):167-179.

[7]Aydogdu I,Abualrub T,Siap I.On Z2Z2[u]-additive codes[J].International Journal of Compter Mathematics,2015,92(9):1806-1814.

Z2Z4-additive negacyclic codes

Hu Wanbao,Wu Jingling,Li Meng
(School of Mathematics and Computational Sciences,Anqing Normal University,Anhui246133,China)

Recently,on the basis of Z2Z44-additive codes,some scholars have studied its cyclic codes.As for a further comment,this paper introduced its negacyclic codes.By establishing the orthogonal relationship on Z2Z4,its dual is still a negacyclic codes can be proved.Through the establishment of isomorphic mapping between Z2Z4-code and Z4[x]-submodel,we can depict the structure of its negacyclic codes and the types of parameters.In addition,we give the generaters ofdual codes by constructive methods which can bring convenience to the calculation and application of the elements of codes.

Z2Z4-additive codes,Z2Z4-negacyclic codes,dual

O157.4

A

1008-5513(2017)05-0441-13

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.001

2017-10-08.

國家自然科學基金(11626032,11601009).

胡萬寶(1963-),博士,教授,研究方向：代數編碼理論.

2010 MSC:11M06